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8.6.1　直线与直线垂直
学习目标　理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.
知识点一　回顾两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)画法：
2.两条直线的位置关系
3.两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b a∥c.
③作用：证明空间两条直线平行.
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②作用：证明两个角相等或互补.
4.平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
知识点二　异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　×　)
2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.
(　√　)
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.(　√　)
4.不在某个平面内的两条直线为异面直线.(　×　)
一、异面直线所成的角
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角.
解　(1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟　求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练1　如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.
(1)求直线BC和EG所成的角；
(2)求直线AE和BG所成的角.
解　(1)连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.
∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，
∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.
易知tan∠FBG＝，
∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
二、直线与直线垂直
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.
证明　如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴A1D1綉BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，
连接AC，AD1，易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，
∴AO⊥A1B.
反思感悟　要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.
跟踪训练2如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
证明　取CC′的中点F，连EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF
即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AC′＝2，∴EF＝.
在等边△ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
1.垂直于同一条直线的两条直线一定(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
答案　D
2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是(　　)
A.SB B.SC C.BC D.AB
答案　C
3.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
答案　A
解析　如图，在正方体AC1中，∵A1B∥D1C，
∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，
又∵EF 平面A1BCD1，且两直线不平行，
∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交.
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________.
答案　60°
解析　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
5.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.
答案　60°
解析　连接BC1，AD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.
1.知识清单：
(1)平面内两直线的夹角.
(2)异面直线所成的角.
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能
答案　D
解析　当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面或平行.
2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是(　　)
A.l与AD平行
B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30°
D.l与BD垂直
答案　A
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行.
由于AD∥B1C1，∴l必与直线AD不平行.
3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
答案　A
解析　如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，连接BE，∵AB∥CD，
∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.
不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝，AC＝2，AE＝3.
∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，
∴tan∠EAB＝＝.
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D1与CD所成角的大小是________.
答案　45°
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.
答案　
解析　设棱长为1，∵A1B1∥C1D1，
∴∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.
在△AED1中，cos∠AED1＝＝＝.
7.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.
答案　60°
解析　因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，
则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1，
∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝，CA1＝.
∴△BCA1是等边三角形，
∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论正确的为________.(填序号)
答案　①③
解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
9.P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA与BC所成的角的大小.
解　如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，
∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).
在△DEF中，DE＝3，
又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
10.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.证明：CD1⊥EF.
证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)
A.直线AA1 B.直线A1B1
C.直线A1D1 D.直线B1C1
答案　D
解析　根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行.
∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确.
12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.
答案　5
解析　取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，
PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5.
13.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.
答案　
解析　∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，
连接D1C，在△D1BC中，
∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，
∴D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2，
∴∠D1CB＝90°，
∴sin∠D1BC＝＝＝，
故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
14.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为________.
答案　15°或75°
解析　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角.
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
15.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________.
答案　
解析　取AC的中点F，连接EF，BF.
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
16.在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，BD＝，AC＝，求AC与BD所成的角的大小.
解　如图，在空间四边形ABCD中，分别取AB，AD，CD，AC的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GE，EH，HG.
由中位线的性质，
得EF綉BD，FG綉AC，
则∠EFG为BD与AC所成的角(或其补角)，
又EH∥BC，HG∥AD，且AD⊥BC，所以EH⊥HG，
所以EG2＝EH2＋HG2＝2＋2＝×()2＋×12＝1.
在△EFG中，EF2＝BD2＝，FG2＝AC2＝，EG2＝EF2＋FG2＝1，所以∠EFG＝90°，
即AC与BD所成的角为90°.

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