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8.6.3　平面与平面垂直
学习目标　1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
知识点一　二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面.
3.画法：
　　　　
4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
图形语言
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
1.组成二面角的平面角的两边所在直线所确定的平面与二面角的棱垂直.(　√　)
2.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(　√　)
3.若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β.(　×　)
4.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面.(　√　)
一、二面角的求法
例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
解　由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
反思感悟　在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角.
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
①二面角D′－AB－D的大小为________.
②二面角A′－AB－D的大小为________.
答案　①45°　②90°
解析　①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
二、平面与平面垂直的判定
例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明　∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
反思感悟　证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
跟踪训练2　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，
求证：平面ABC⊥平面ASC.
证明　作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中点，
∴BH＝AC＝AH，
又SH＝SH，SA＝SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，
∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH 平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，
又SH 平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
三、平面与平面垂直的性质定理
例3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明　如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练3　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.
求证：AM⊥平面EBC.
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，BC，EC 平面EBC，
∴AM⊥平面EBC.
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
答案　C
解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n α
C.m∥n，n⊥β，m α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
答案　C
解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
3.从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
答案　C
解析　∵PE⊥α，PF⊥β，
∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，
则∠FOE为二面角的平面角，
如图①所示，
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，
∴二面角α－l－β的平面角为120°.
当点P的位置如图②所示时，
此时∠FOE＝∠EPF，
∴二面角α－l－β的平面角为60°.
4.下列命题正确的是(　　)
A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
B.若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
答案　D
解析　A项，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故A错误；
B项，直线m与平面α内的一条直线平行，也可能m α，故B错误；
C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误；
D项，a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确.
5.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是(　　)
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.既不相等也不互补
答案　A
解析　画图易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补，若它们的平面角均为锐角，则这两个二面角相等.
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直.
1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面(　　)
A.有且只有一个 B.有一个或两个
C.有且仅有两个 D.有一个或无数个
答案　D
2.直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A.平行 B.可能重合
C.相交且垂直 D.相交不垂直
答案　C
解析　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直.
3.下列命题中正确的是(　　)
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的两条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
答案　C
解析　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.
4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
答案　D
5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　)
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
答案　D
解析　∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
又由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，∴共有5对互相垂直的平面.
6.如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是________.(填序号)
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABC⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
答案　③
解析　由AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE.又DE∩BE＝E，DE，BE 平面BDE，从而AC⊥平面BDE，故③正确.
7.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.
答案　60°
解析　过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，
a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.
8.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：
①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；
②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；
③若m α，n β，且α∥β，则m∥n；
④若n β，n⊥α，则α⊥β.
其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)
答案　①④
解析　①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.
9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.
(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明　(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.
因为A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
10.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明　(1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.
又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD 平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB 平面ABC，
BC 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC 平面ABC，所以AD⊥AC.
11.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是(　　)
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β.
A.0 B.3 C.2 D.1
答案　C
解析　①设α∩β＝l，a α，b β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题.
12.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是(　　)
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案　D
解析　∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，
∴tan∠ADP＝＝＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.
13.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为________.
答案　60°
解析　正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角为60°.
14.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.
答案　①③④ ②
解析　m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α，
∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.
故答案为①③④ ②.
15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
16.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明　设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PC 平面PCD，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO 平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.

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