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微专题3　求二面角的平面角的常见解法
二面角是立体几何中最重要的知识点，是高考的热点和重点.求二面角的常见方法有定义法，三垂线法，垂面法.
一、定义法
利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.
例1　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小.
解　取AB的中点D，连接VD，CD，
∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，
∴△VAB为等边三角形，
∴VD⊥AB且VD＝，
同理CD⊥AB，CD＝，
∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，
而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，
∴二面角V－AB－C的大小为60°.
二、三垂线法
是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.
例2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；
(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.
(1)证明　∵∠SAB＝∠SAC＝90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC，
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，
∴SA⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，∴SA⊥BC，
又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
又BC 平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
(2)解　取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D，
由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD 平面SAB，
∴AD⊥平面SBC.
作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，
则DE⊥SC，
则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.
设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2，AD＝，AC＝2，SC＝4.
由题意得AE＝，
Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝，
∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为.
三、垂面法
作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.
例3　如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.
解　∵SB＝BC且E是SC的中点，
∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.
设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2.
∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.
即所求的二面角等于60°.

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