资源简介

章末复习
一、几何体的表面积与体积
1.空间几何体的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题常见类型
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
例1　如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
解　由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面，
S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，
故所求几何体的表面积为68π cm2.
由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)，
所以所求几何体的体积为
V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3).
反思感悟　熟记各类空间几何体的表面积公式和体积公式.
跟踪训练1　如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　＝－－＝.
二、空间中的平行关系
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理.
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
2.判断面面平行的常用方法
利用面面平行的判定定理.
例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
反思感悟　
跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明　∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC.
又∵AC 平面ABC，MN 平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC.
∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC∥BD，NC＝BD.
∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC.
又∵DN 平面ABC，BC 平面ABC，
∴DN∥平面ABC.
又∵MN∩DN＝N，MN 平面DMN，DN 平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
三、空间中的垂直关系
1.判定线面垂直的方法
(1)线面垂直定义.
(2)线面垂直判定定理.
(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α a⊥α).
(4)面面垂直性质(α⊥β，α∩β＝l，a β，a⊥l a⊥α).
2.判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义.
(2)面面垂直的判定定理.
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
反思感悟
跟踪训练3　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
证明　(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
四、空间角的求法
常见题型
1.异面直线所成角.
2.求直线与平面所成的角.
3.二面角的平面角.
例4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解　(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
反思感悟　(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法.
跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.
(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由.
解　(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.
又直线PB与CD所成的角为45°，
∴∠PBA＝45°，PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P－CD－B的大小为45°.
(2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，
平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：
连接AC交BD于点O，连接EO.
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.
∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO 平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.
1.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.
画图可知(图略)，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.
2.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案　A
解析　在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，
BD 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故①正确；
在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，
又AC∩CC1＝C，AC，CC1 平面ACC1，
∴BD⊥平面ACC1，
又AC1 平面ACC1，
∴AC1⊥BD，故②正确；
在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，
由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，
同理可证AC1⊥CB1，
∵B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1 平面CB1D1，
∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；
在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，
故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，
故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确.
故选A.
3.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________.
答案　
解析　设三棱柱的高为h，
∵F是AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高为，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴S△ADE＝S△ABC，
∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，
∴＝＝.
4.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________.(填序号)
答案　②④
解析　由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以MO∥平面PAC，②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确.综上所述，正确的结论是②④.
5.如图，在棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.

展开更多......

收起↑