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8.2　立体图形的直观图
学习目标　1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点二　空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.(　×　)
2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.(　√　)
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(　×　)
一、平面图形的直观图的画法
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
反思感悟　在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1　已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.
解　画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
二、空间几何体的直观图
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
解　(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
反思感悟　空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)
解　画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).
三、直观图的还原与计算
例3　如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　　)
A. B. C. D.2
答案　C
解析　直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为∶4，所以原图形的面积为，故选C.
反思感悟　平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原.
跟踪训练3　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(　　)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
答案　C
解析　如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2
＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OC＝
＝＝6(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　)
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
答案　B
解析　由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(　　)
A.45° B.135° C.90° D.45°或135°
答案　D
解析　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.
3.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)
答案　C
解析　可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.
4.利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是________.(填序号)
答案　①②
解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
5.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
答案　2.5
解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间几何体直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
1.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是(　　)
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
答案　ACD
2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(　　)
答案　C
解析　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
3.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案　D
解析　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.
过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.
所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
4.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(　　)
A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B.平行四边形的直观图仍是平行四边形
C.两条相交直线的直观图可能是平行直线
D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
答案　B
5.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
答案　A
解析　由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵A′O′＝，∴AO＝.
∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，
∴△ABC为等边三角形.
6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.
答案　(4,2)
解析　由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).
7.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.
答案　16
解析　由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.
又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB边OB上的高为8.
所以△AOB的面积为×4×8＝16.
8.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.
答案　10
解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
9.用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA.
连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示.
10.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图.
解　(1)画轴.如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面.
(3)在Oz上截取OO′＝4 cm，过点O′作平行于Ox轴的O′x′轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.
(4)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′＝3 cm.
(5)成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示.
11.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
答案　D
解析　设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2S直观图，所以×OB×h＝2××2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4.
12.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______.
答案　
解析　画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝.
13.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.
答案　8 cm
解析　由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ cm，对应原图形平行四边形OABC的高OB＝2O′B′＝2 cm，如图所示.
所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm).
14.如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________.
答案　20
解析　由题意知，S梯形ABCD＝(AB＋CD)·AD＝10，
故这个平面图形的实际面积S＝S梯形ABCD＝20.
15.如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为________.
答案　6
解析　如图所示，过C′作C′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，则∠C′D′B′＝45°，
∵B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，∴C′D′＝3.
根据斜二测画法知△ABC的边AB上的高等于2C′D′＝6.
16.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形A′B′C′边B′C′上的高及△A′B′C′的面积.
解　如图所示，作AD⊥BC于点D，在BD上取一点E，使DE＝AD.
由AC＝1可知，BC＝2，AB＝，AD＝，AE＝.
由斜二测画法知，B′C′＝BC＝2，A′E′＝2AE＝.
所以S△A′B′C′＝B′C′·A′E′＝×2×＝.

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