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8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标　1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
知识点三　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).
2.球的体积公式V＝πR3.
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　×　)
2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(　√　)
3.球的体积是关于球半径的一个函数.(　√　)
4.球的表面积是球的体积的6倍.(　×　)
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1　(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2
答案　C
解析　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A.7 B.6 C.5 D.3
答案　A
解析　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
反思感悟　圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1　圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A.4πS B.2πS C.πS D.πS
答案　A
解析　设底面半径为r，则πr2＝S，
∴r＝，
∴底面周长为2πr＝2π，
又侧面展开图为一个正方形，
∴侧面积是2＝4πS.
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　)
A. cm3 B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
答案　AB
解析　当圆柱的高为8 cm时，V＝π×2×8＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×2×12＝(cm3).
(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)
A. B. C.64π D.128π
答案　A
解析　作圆锥的轴截面，如图所示：
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝r.
由S侧＝π·r·PB＝16π，得πr2＝16π，所以r＝4.则h＝4.
故圆锥的体积V圆锥＝πr2h＝π.
反思感悟　求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.
跟踪训练2　已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.
答案　224π
解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
∴V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π.
三、球的表面积和体积
例3　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知球的体积为π，求它的表面积.
解　(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.
(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
反思感悟　计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径.
跟踪训练3　一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　)
A.64π B. C.32π D.
答案　D
解析　设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π.
1.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A.36π，144π B.36π，36π
C.144π，36π D.144π，144π
答案　B
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意得h＝2πr，∴圆柱的表面积S表＝2πr2＋2πr×h＝2πr2＋2πr×2πr＝2πr2·(1＋2π)，圆柱的侧面积S侧＝2πr×h＝2πr×2πr＝4π2r2，故＝＝.
3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　)
A.120° B.150° C.180° D.240°
答案　C
解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，
即2πr2＝πrl，得2r＝l.
设侧面展开图的圆心角为θ，则＝2πr，∴θ＝180°.
4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.
答案　2∶1
解析　S圆柱＝2·π2＋2π··a＝πa2.
S圆锥＝π2＋π··a＝πa2.
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________.
答案　3
解析　设圆台的高为h，
由题意知，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，
所以h＝3.
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.
(3)球的表面积和体积.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.
1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
答案　A
解析　设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.
2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)
A.2∶3 B.4∶9
C.∶ D.∶
答案　B
解析　由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9.
3.将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为(　　)
A. cm2 B.32π cm2
C.32 cm2 D. cm2
答案　A
解析　当以4 cm为母线长时，设圆柱底面半径为r，
则2πr＝8，∴2r＝，
∴S轴截面＝4×＝(cm2).
当以8 cm为母线长时，设圆柱底面半径为R，
则2πR＝4,2R＝，
∴S轴截面＝8×＝(cm2).
综上，圆锥的轴截面的面积为 cm2.
4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A. B. C.2π D.4π
答案　B
解析　绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝.
5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为(　　)
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
答案　B
解析　由题意可得，设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，
∴3×πr3＝πr2(6r－6)，解得r＝3，故选B.
6.一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为________cm3.
答案　
解析　如图所示，
由已知得O1A＝3 cm，OO1＝4 cm，从而R＝OA＝5 cm.
所以V球＝ ×53＝(cm3).
7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.
答案　π
解析　圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝×2π×2，∴r＝1，
∴圆锥的高h＝＝，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π.
8.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
答案　
解析　设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
9.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
解　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.
如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴＝，
即＝，∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
解　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l
＝π×13＋π×12×3＝.
11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A.12π B.12π C.8π D.10π
答案　B
解析　∵过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，
∴圆柱的高为2，底面圆的直径为2，
∴该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.
12.若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3
答案　A
解析　设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，
∴6a2＝6，∴a＝1 cm，即2R＝1，∴R＝ cm，
∴球的体积V＝πR3＝π×3＝ cm3.
13.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　)
A.1∶ B.1∶3
C.1∶3 D.1∶9
答案　C
解析　设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为，
∴V内＝π3＝，
正方体的外接球的半径为a，
∴V外＝π3＝，
∴V内∶V外＝1∶3.
14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
答案　3∶1∶2
解析　设球的半径为R，则
V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
V圆锥＝πR2·2R＝πR3，
V球＝πR3，
故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3
＝3∶1∶2.
15.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________.
答案　144π
解析　如图所示，设球的半径为R，
∵∠AOB＝90°，
∴S△AOB＝R2.
∵V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB，
而△AOB的面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥O－ABC的体积最大，
∴当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，
此时V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝×R2×R＝R3＝36，
解得R＝6，
则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.
16.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.
解　如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上.
设外接球半径为R.
∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC的中心，
∴AO1＝×a＝a，
SO1＝＝＝a，
在Rt△OO1A中，
R2＝AO＋OO＝AO＋(SO1－R)2，
即R2＝2＋2，解得R＝a，
∴所求外接球的体积V球＝πR3＝πa3.

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