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8.4.1　平　面
学习目标　1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
知识点一　平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.
3.平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
思考　几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案　没有　平行四边形
知识点二　点、线、面之间的位置关系
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示
点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α 直线l在平面α外 l α
直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l
知识点三　平面的基本性质及作用
1.
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上
2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　×　)
2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　×　)
3.空间不同三点确定一个平面.(　×　)
4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　√　)
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________________.
答案　A∈b，b β，A∈β
(2)用符号表示下列语句，并画出图形.
①点A在平面α内但在平面β外；
②直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
③直线a在平面α内，也在平面β内.
解　①A∈α，A β.(如图①)
②A∈a，B∈a，A∈α，B α，a α.(如图②)
③α∩β＝a.(如图③)
反思感悟　三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
跟踪训练1　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解　(1)用符号表示α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)用符号表示A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
二、点、线共面问题
例2　如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β.因为P∈b，b α，所以P∈α.又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
反思感悟　证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明点共线、线共点问题
典例　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
证明　∵在梯形ABCD中，
AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点.
(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
证明　∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
[素养提升]　点共线与线共点的证明方法
(1)点共线：证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
1.有以下说法：
①平面是处处平的面；
②平面是无限延展的；
③平面的形状是平行四边形；
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的.
2.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A.A a，a α，B∈α
B.A∈a，a α，B∈α
C.A a，a∈α，B α
D.A∈a，a∈α，B∈α
答案　B
解析　点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
3.下图中图形的画法正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
4.能确定一个平面的条件是(　　)
A.空间三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
答案　D
解析　A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.
答案　P∈直线DE
解析　因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)点、线、面之间的位置关系.
(3)平面的基本性质及作用.
2.方法归纳：同一法.
3.常见误区：三种语言的转化.
1.下列有关平面的说法正确的是(　　)
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示平面
答案　D
解析　我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.
2.(多选)下列命题中错误的是(　　)
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
答案　ACD
解析　共线的三点不能确定一个平面，故A错误；当A，B，C，D四点共线时，这两个平面可以是相交的，故C错误；四边都相等的四边形可以是空间四边形，故D错误.
3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)
答案　A
解析　B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.
4.如图，用符号语言可表述为(　　)
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案　A
解析　很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A.
5.如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A.l α B.l α
C.l∩α＝M D.l∩α＝N
答案　A
解析　∵M∈a，a α，∴M∈α，
又∵N∈b，b α，∴N∈α，
又M，N∈l，∴l α.
6.如图所示的图形可用符号表示为________.
答案　α∩β＝AB
7.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.
答案　1或无数
解析　当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；
当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.
8.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.
答案　A∈l，l α
9.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
证明　∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线.
10.已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面.
证明　如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.
11.空间不共线的四点可以确定平面的个数是(　　)
A.0 B.1 C.1或4 D.无法确定
答案　C
解析　若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则可以确定平面的个数是4，所以空间不共线的四点可以确定平面的个数是1或4.
12.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　)
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
答案　B
解析　两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
13.设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
答案　∈
解析　∵a∩b＝M，a α，b β，∴M∈α，M∈β.
又∵α∩β＝l，∴M∈l.
14.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
答案　7
解析　可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
15.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.M不在直线AC上，也不在直线BD上
答案　A
解析　由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.
16.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.

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