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2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
6．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
8．若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
9．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域是_________．
12．已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
13．若函数的一个零点为，则________；________．
14．设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
15．已知数列的各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
在中，．
（I）求；
（II）若，且的面积为，求的周长．
17．（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（I）求证：平面；
（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题13分）
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；
（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
20．（本小题15分）
已知函数．
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，讨论函数在上的单调性；
（III）证明：对任意的，有．
21．（本小题15分）
已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（I）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（II）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（III）若为连续可表数列，且，求证：．
2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.
12.
13. ①. 1 ②.
14. ①. 0（答案不唯一） ②. 1
15.①③④
三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（1）
（2）
17.（1）取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
（2）因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
18.（1）0.4 （2）
（3）丙
19.（1）
（2）
20.（1）
（2）在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
21.（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．
（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
（3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上
．

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