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第二节　数学模型的构建与拟合
已知数学模型解决实际问题
　为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示：
(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)
(2)求该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．
[解]　(1)由题意，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，
则an＝6＋2(n－1)＝2n＋4，n∈N*．
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36＝－(n－10)2＋64．
所以当n＝10时，y取最大值为64万元．
(2)年平均盈利＝－＋20≤－2＋20＝8，
当且仅当n＝，即n＝6时取等号 ，
所以经过6年，年平均盈利最大，最大值为8万元．
1．求解已知数学模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给数学模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
2．利用所给数学模型，借助所给模型的性质求解实际问题，并进行检验，例如：涉及到个数时，变量应取正整数；涉及到费用、速度等问题，变量的取值应该为正数．　
为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解：(1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10(0≤x≤10)．
令3x＋5＝t，t∈[5,35]，
则y＝2t＋－10≥2 －10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70．
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．
构建数学模型解决实际问题
考向1　构造函数模型
f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成立的是(　　)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021 f(2 022)＞2 022 f(2 021)
D．2 021 f(2 022)＜2 022 f(2 021)
[解析]　令g(x)＝，则g′(x)＝＝，
因为在(0，＋∞)上xf′(x)＞2f(x)，所以在(0，＋∞)上g′(x)＞0，
即g(x)＝在(0，＋∞)上为增函数．
所以g(2 022)＞g(2 021) ＞，即2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)，故选A．
[答案]　A
考向2　构造数列模型
　风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，A3B3＝A2B2－B2B3，…，AnBn＝An－1·Bn－1－Bn－1Bn，其中Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝8 m，B0B1＝0．5 m．则这五层正六边形的周长总和为(　　)
A．35 m　　　　　　　 B．45 m
C．210 m D．270 m
[解析]　由已知得：AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝0．5，因此数列{AnBn}(1≤n≤5，n∈N*)是以a1＝A0B0＝8为首项，公差为d＝－0．5的等差数列，设数列{AnBn}(1≤n≤5，n∈N*)前5项和为S5，因此有S5＝5a1＋×5×4·d＝5×8－×5×4×0．5＝35 m，所以这五层正六边形的周长总和为6S5＝6×35＝210 m．故选C．
[答案]　C
考向3　构造几何模型
　设α，β，γ为平面，l，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件为(　　)
A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥α
C．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ D．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
[解析]　构造如下图形：如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错．
[答案]　B
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题中已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．　
1．正三棱锥P ABC中，已知点E在PA上，PA，PB，PC两两垂直，PA＝4，PE＝3EA，正三棱锥P ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，则α截球O所得截面面积的最小值为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：C　由PA，PB，PC两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，设外接球半径为R，∴R＝2，过O作OH⊥PA，H为垂足，OH＝2，在Rt△OHE中，OH＝2，HE＝1，∴OE＝3，当OE垂直截面α时，截面圆半径最小．设半径为r，r2＝R2－OE2＝(2)2－32＝3，S＝πr2＝3π．故选C．
2．已知函数f(x)＝(b∈R)．若存在x∈[1,2]，使得＞－f′(x)，则实数b的取值范围是________．
解析：令g(x)＝xf(x)，x∈[1,2]，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0在x∈[1,2]上有解，∴2x(x－b)－1＞0，即b＜x－在x∈[1,2]上有解，设h(x)＝x－，x∈[1,2]，∴b＜h(x)max，∵h(x)＝x－在[1,2]上为增函数，∴h(x)max＝h(2)＝．∴b＜．实数b的取值范围是．
答案：
数学模型的拟合
考向1　拟合函数的选择
　2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通．已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，每小时运行的轨迹对应的圆心角为，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是(　　)
A．指数函数模型 B．对数函数模型
C．幂函数模型 D．三角函数模型
[解析]　如图，不妨假设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点P0处，OP0与x轴正半轴的夹角为φ，经过t小时后，卫星在点P处，则OP与x轴正半轴的夹角为φ－t，则点P的纵坐标y＝Rsin．所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型．故选D．
[答案]　D
本题以“北斗三号全球卫星导航系统”为背景考查三角函数的定义，质点的轨迹等知识，意在考查数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养．求解此类问题的关键是能从长串的文字语言中提炼出关键字眼，并能根据关键字眼寻找轨迹方程，即可判断函数模型．　
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　)
A．y＝mx2＋n(m＞0)
B．y＝max＋n(m＞0,0＜a＜1)
C．y＝max＋n(m＞0，a＞1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)
解析：B　由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0,0＜a＜1．故选B．
考向2　拟合函数的应用
　某蛋糕店制作的蛋糕尺寸有6,8,10,12,14,16(单位：英寸)六种，根据日常销售统计，将蛋糕尺寸、平均月销量y(个)以及成本和单价的数据整理得到如下的表格．
蛋糕尺寸x(英寸) 6 8 10 12 14 16
平均月销量y(个) 9 12 15 15 13 8
成本(元) 20 40 60 80 100 120
单价(元) 50 90 140 180 200 220
(1)求该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润(利润＝销售收入－成本)；
(2)根据题中数据，从y＝a＋bx与y＝c＋d(x－11)2两个模型中选择更合适的，建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0．01)．
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，…，(un，vn)，其经验回归方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估计分别是＝＝，＝－，
参考数据：(yi－)(x1－)＝－2，(xi－)2＝70，(yi－)(ti－)＝－160，(ti－)2＝600，＝i．
[解]　(1)根据题意，该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润为9×30＋12×50＋15×80＋15×100＋13×100＋8×100＝5 670(元)．
(2)由表中的数据可知x与y之间不是线性关系，所以选y＝c＋d(x－11)2，设t＝(x－11)2，则＝＋t，
＝×(9＋12＋15＋15＋13＋8)＝12，＝×(25＋9＋1＋1＋9＋25)＝，
＝＝－≈－0．27，＝－≈12＋×≈15．11，
所以＝15．11－0．27t，因此y关于x的经验回归方程为＝15．11－0．27(x－11)2．
解决此类问题的步骤
　
为帮助乡村致富，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y(单位：g/m3)与样本对原点的距离x(单位：m)的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．
(xi－)2 (ui－)2 (yi－)2 (xi－)(yi－) (ui－)(yi－)
6 97．90 0．21 60 0．14 14．12 26．13 －1．40
(1)利用样本相关系数的知识，判断y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
(2)根据(1)的结果回答下列问题：
①建立y关于x的经验回归方程；
②样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？
③已知该金属在距离原点x m时的平均开采成本W(单位：元)与x，y关系为W＝1 000(y－ln x)(1≤x≤100)，根据(2)的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
附：对于一组数据(t1，s1)，(t2，s2)，…，(tn，sn)，其样本相关系数r＝，其经验回归方程＝＋t的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－．
解：(1)y＝a＋bx的样本相关系数r1＝＝≈0．898，
y＝c＋的样本相关系数r2＝＝≈－0．996，
∵|r1|＜|r2|，∴y＝c＋更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型．
(2)①∵＝＝＝－10，＝－＝97．9－(－10)×0．21＝100，
∴＝100－10u＝100－，
∴y关于x的经验回归方程为＝100－．
②当x＝20时，金属含量的预报值为＝100－＝99．5 g/m3．
③W＝1 000(y－ln x)＝1 000(1≤x≤100)，
令f(x)＝100－－ln x(1≤x≤100)，则f′(x)＝－＝，
当1≤x＜10时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当10＜x≤100时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，故x为10时，开采成本最大．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)
解析：B　v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B．
2．(2022·重庆高三模拟)某区要从5名干部甲、乙、丙、丁、戊中随机选取2人，赴区属的某村进行驻村工作，则甲或乙被选中的概率是(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：D　从5名干部中随机选取2人，共有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)这10种等可能方案，其中符合条件的有7种方案，∴所求概率为．故选D．
3．已知函数t＝－144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是(　　)
A．144 h B．90 h
C．60 h D．40 h
解析：A　由N＝90可知，t＝－144lg＝144 (h)．
4．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是(　　)
A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)
解析：A　由题意，第10次着地时，经过的路程是100＋2×(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)，故选A．
5．在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A．1 500名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
解析：A　因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，则P(X>108)＝[1－P(88≤X≤108)]＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(1－0．682 7)＝0．158 65，而0．158 65×9 455≈1 500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．故选A．
6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷五中“商功”中的问题．意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺(1丈＝10尺)”，则该问题中“城”的体积等于(　　)
A．1．897 5×106立方尺 B．3．795 0×106立方尺
C．2．530 0×105立方尺 D．1．897 5×105立方尺
解析：A　V＝×1 265＝1 897 500＝1．897 5×106(立方尺)，故选A．
7．(多选)若f(x)满足f′(x)＋f(x)＞0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是(　　)
A．f(a)＜f(2a) B．f(a)e2a＞f(－a)
C．f(a)＞f(0) D．f(a)＞
解析：BD　设h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]，因为f′(x)＋f(x)＞0，所以h′(x)＞0，h(x)在R上是增函数，因为a是正实数，所以a＜2a，所以eaf(a)＜e2af(2a)，即f(a)＜eaf(2a)，又ea＞1，故f(a)，f(2a)大小不确定，故A；因为－a＜a，所以e－af(－a)＜eaf(a)，即e2af(a)＞f(－a)，故B正确；因为a＞0，所以eaf(a)＞e0f(0)＝f(0)，即f(a)＞，又ea＞1，所以f(a)，f(0)大小不确定，故C，D正确．故选B、D．
8．某市出租车的计价标准为1．2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1．2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11．2，表示4 km处的车费，公差d＝1．2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11．2＋(11－1)×1．2＝23．2(元)．
答案：23．2
9．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＞3，且f(3)＝4，则不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为________．
解析：构造函数g(x)＝f(x)－3x，x＞0，则g′(x)＝f′(x)－3＞0，故函数g(x)为(0，＋∞)上的增函数，则g(3)＝f(3)－9＝－5．当x＞0时，由xf(x)＞3x2－5x可得f(x)＞3x－5，即f(x)－3x＞－5，即g(x)＞g(3)，解得x＞3，所以不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为(3，＋∞)．
答案：(3，＋∞)
10．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2．故AC＝28，BC＝20．
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝．
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为．
B级——综合应用
11．在一次抽样调查中测得5组成对数据，其数值及散点图如下：
x 0．25 0．5 1 2 4
y 16 12 5 2 1
(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，试建立y与x的经验回归方程；(计算结果保留整数)
(3)在(2)的条件下，设z＝y＋x且x∈[4，＋∞)，试求z的最小值．
解：(1)由题中散点图可以判断，y＝c＋k·x－1更适宜作为y关于x的经验回归方程类型．
(2)令t＝x－1，则y＝c＋kt，构造新的成对数据，如下表：
t 4 2 1 0．5 0．25
y 16 12 5 2 1
易知y与t存在线性相关关系．
计算得＝1．55，＝7．2，≈4，＝－＝1，
所以y关于t的经验回归方程为＝4t＋1．
所以y关于x的经验回归方程为＝＋1．
(3)由(2)得z＝y＋x＝＋x＋1，易得z＝＋x＋1在x∈[4，＋∞)上单调递增函数，即最小值为6．

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