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题型(三)　结构不良型试题的特点及求解策略
最近两年的高考试卷中出现了结构不良试题，所谓结构不良，就是试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能导致不同的结论，类似于选做题．此类题型的设置一定程度上让学生参与了命题，从传统解题向解决问题的思维转变．
一、选择条件型
　(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　选条件①．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1．
选条件②．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝．
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2．
选条件③．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由③c＝b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
[点评]　本题中，条件“sin A＝sin B，C＝”是“定”的条件，条件①②③需要考生从中选取一个，具有“动”态性，选择不同条件，其解题突破口与难易程度均不一样．若先从“动”的条件中选一个，再与“定”的条件一起分析，容易增加解题难度，反之，先对“定”的条件进行分析，推断得到“b＝c”，再对照“动”的条件，结合题干的要求可发现选择条件③最为简单(此时b＝c与c＝b矛盾)．由此可见：当“定”的条件不止一个时，应先利用相关数学知识对“定”的条件进行分析推断，等价转化为最简结果，再观察分析“动”的条件，结合题干的要求选出最优条件(使解法简单且能发挥自己的优势)进行解答．
二、探索条件型
　甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知________．
(1)判断S1，S2，S3的关系；
(2)若a1－a3＝3，设bn＝|an|，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<．
甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S1，S3，S2成等差数列．
如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．
[解]　由S1，S3，S2成等差数列得S1＋S2＝2S3．
∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由题知a1≠0，故2q2＋q＝0．
又q≠0，∴q＝－．
以上各步均可逆推，∴该题缺少的条件是q＝－．
本题解答如下：
(1)∵q＝－，
∴S2＝a1－a1＝a1，S3＝a1＋a1＝a1．
又S1＝a1，∴2S3＝S1＋S2，∴S1，S3，S2成等差数列．
(2)证明：由已知可得a1－a12＝3．
∴a1＝4，an＝4·n－1．
∴bn＝．
∴Tn＝，①
Tn＝．②
①－②得Tn＝，
∴Tn＝－·＝－·<．
[点评]　本题是探索条件型结构不良试题，结论已给出，求使结论明显成立的一个条件，故而为探索条件型．其求解策略为：由结论出发，探索结论成立的充分条件．常使用分析法，即
→→…→
在平面直角坐标系xOy中，①已知点Q(，0)，直线l：x＝2，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离的比值为，②已知点H(－，0)，G是圆E：x2＋y2－2x－21＝0上的一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于点P，③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝＋．
(1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；
(2)设圆O：x2＋y2＝2上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)若选①，
设P(x，y)，根据题意得＝，
得＋＝1，
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1．
若选②，
由E：x2＋y2－2x－21＝0得(x－)2＋y2＝24，
由题意得|PH|＝|PG|，
所以|PH|＋|PE|＝|PG|＋|PE|＝|EG|＝2>|HE|＝2，
所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝，c＝，所以b＝，
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1．
若选③，
设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则x′2＋y′2＝9，(*)
因为＝＋，
所以即
代入(*)，得＋＝1，
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1．
(2)当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为x＝或x＝－．
当切线方程为x＝时，不妨设M(，)，N(，－)，
则以MN为直径的圆的方程为(x－)2＋y2＝2，(ⅰ)
当切线方程为x＝－时，不妨设M(－，)，N(－，－)，
则以MN为直径的圆的方程为(x＋)2＋y2＝2，(ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)联立，可得交点为(0,0)．
当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋m，
则＝，即m2＝2(k2＋1)．
联立切线方程与椭圆C的方程，得
消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝－8(m2－6k2－3)＝－8(2k2＋2－6k2－3)＝8(4k2＋1)>0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝．
因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)·＋km·＋m2
＝＝＝0，
所以OM⊥ON，
所以以MN为直径的圆过原点(0,0)．
综上可知，以MN为直径的圆过定点(0,0)．

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