资源简介

题型(四)　阅读理解题的特点及求解策略
阅读理解题通过给出一个新概念，或定义一种新运算，或给出新的问题情境，要求在读懂题目的基础上，将新旧知识相联系，剖开现象看本质，实现新信息向已学的知识和方法迁移，达到创新解题的目的．这类问题既能考查学生的阅读理解能力和数学语言转换能力，又能考查学生的探究能力．
一、新概念题
　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0,1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak．则(　　)
A．ω(2n)＝ω(n)
B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1
C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)
D．ω(2n－1)＝n
[解析]　由n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，则2n＝0·20＋a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，ω(2n)＝0＋a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A正确．选项B，取n＝2可排除．或者ω(2n＋3)＝ω[2(n＋1)＋1]＝ω[2(n＋1)]＋1＝ω(n＋1)＋1，不能保证与ω(n)＋1恒等．B错误．选项C，ω(8n＋5)＝ω(8n＋4＋1)＝ω(8n＋4)＋1＝ω(2n＋1)＋1＝ω(2n)＋2＝ω(n)＋2；ω(4n＋3)＝ω(4n＋2)＋1＝ω(2n＋1)＋1＝ω(n)＋2．C正确．选项D，∵2n－1＝20＋21＋22＋…＋2n－1，∴ω(2n－1)＝n．或者，当n≥2时，ω(2n＋1－1)＝ω[2(2n－1)＋1]＝ω[2(2n－1)]＋1＝ω(2n－1)＋1．又∵ω(3)＝2，ω(1)＝1，∴ω(3)＝ω(1)＋1．即对 n∈N*有ω(2n＋1－1)＝ω(2n－1)＋1，∴{ω(2n－1)}为首项为1，公差为1的等差数列．∴ω(2n－1)＝n．D正确．故选A、C、D．
[答案]　ACD
[点评]　新概念类试题是指在现有的知识基础上定义一种新的概念或新运算或规则或性质等，在此情境下设置的新问题．此类试题是典型的信息迁移题，解决该类问题的关键是提升学生的阅读理解能力、获取信息能力、处理信息能力以及挖掘新规则内涵，准确找出新特点的能力．
二、新情境题
　(2020·新高考Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　)
A．20°　　　　　　　 B．40°
C．50° D．90°
[解析]　过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°．故选B．
[答案]　B
[点评]　新高考试题情境多以现代科学技术、现实生活、学科间的交汇、社会热点等为背景创设，旨在突出新时代教育总方针——立德树人．正确解答这类问题的关键是认真阅读理解题意，快速准确的获取信息，理性思维，排除题目背景中的干扰因素，抓住关键信息，实现数学思想、方法、能力的迁移运用．
三、材料题
　阅读下面材料：
sin 3θ＝sin(2θ＋θ)＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ＝2sin θcos2θ＋(1－2sin2θ)sin θ＝2sin θ(1－sin2θ)＋(sin θ－2sin3θ)＝3sin θ－4sin3θ．
解答下列问题：
(1)证明：cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ；
(2)若函数f(x)＝＋msin－5在x∈内有零点，求实数m的取值范围．
[解]　(1)证明：cos 3θ＝cos(2θ＋θ)＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ＝(2cos2θ－1)cos θ－2sin2θcos θ＝2cos3θ－cos θ－2(1－cos2θ)cos θ＝4cos3θ－3cos θ，即cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ．
(2)化简函数f(x)解析式的思路主要有两种：
一是直接展开为单角的三角函数进行化简，这种方法较为烦琐．其中
＝
＝
＝4(cos2x－cos xsin x＋sin2x)－3＝1－4sin xcos x；
二是观察角之间的关系，利用角的变换进行化简，过程较为简便．
其中令θ＝x－，则＝＝＝3－4cos2θ．
再令t＝cos θ，则原函数可化为y＝－4t2＋mt－2．
寻找函数y＝－4t2＋mt－2在t∈内有零点的充要条件的思路主要有两种：
一是运用方程思想，转化为关于t的一元二次方程4t2－mt＋2＝0在t∈内有实根的分布问题，这时需要分类讨论与数形结合，设g(t)＝4t2－mt＋2，由于g(0)＝2>0，
故有或解得4二是运用函数思想，分离参数m，转化为m在函数h(t)＝4t＋，t∈的值域内．利用函数单调性的定义可以证明函数h(t)＝4t＋在t∈内单调递增，从而函数g(t)的值域为(4，6]，
所以实数m的取值范围是(4，6]．
[点评]　此类问题的求解策略是能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系；了解熟悉的数学命题的条件与结论之间的逻辑关系；掌握一些基本命题与定理的证明，并有条理地表述论证过程．
1．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解．当p×q(p≤q且p，q∈N*)是正整数n的最佳分解时，定义函数f(n)＝q－p，则数列{f(3n)}(n∈N*)的前2 020项和为(　　)
A．31 010＋1　　　　　 B．
C． D．31 010－1
解析：D　由最佳分解的定义，得当n为偶数时，f(3n)＝3－3＝0；当n为奇数时，f(3n)＝3－3＝2×3．所以数列{f(3n)}的前2 020项和S2 020＝2×(30＋31＋32＋…＋31 009)＝2×＝31 010－1，故选D．
2．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－3×＝π，故其总曲率为4π．
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)若多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，证明：这类多面体的总曲率是常数．
解：(1)由定义多面体总曲率＝2π×顶点数－各面内角和，而四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以四棱锥的总曲率＝2π×5－(π×4＋2π×1)＝4π．
(2)证明：设多面体有m个顶点，k个面，每个面有ai条棱(i＝1,2，…，k)，则m－＋k＝2，又每个面内角和为(ai－2)π，
所以多面体的总曲率＝2πm－＝2π－iπ＋2kπ＝4π，
故这类多面体的总曲率是一个常数．

展开更多......

收起↑