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第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
学案
一、学习目标
1. 通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念；
2. 通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义；
3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
二、基础梳理
1. 正态分布：我们称，，为参数)为___________，称它的图象为___________，简称___________.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从___________，记为___________.特别地，当时，称随机变量X服从___________.
2. 正态曲线的特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线_________对称；
（2）曲线在_________处达到峰值；
（3）当无限增大时，曲线无限接近________轴.
3. 若，则___________，___________.
4. 原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取___________中的值，这在统计学中称为原则.
三、巩固练习
1. 若随机变量X服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A.150 B. 200 C.300 D.400
3.设随机变量，若，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设随机变量，若，则( )
A. B.
C. D.
5.已知随机变量X服从正态分布，则( )
A.0.842 B.0.158 C.0.421 D.0.316
6.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩.若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为( )
A.0.86 B.0.64 C.0.36 D.0.14
7.设和Y的正态密度曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.对任意正数 D.对任意正数
8.设随机变量X服从正态分布，若，则实数___________.
9.在某市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，该学生的数学成绩小于110分的概率为___________.
10.某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值μ和方差；（结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常，并说明理由.
答案解析
基础梳理
正态密度函数；正态密度曲线；正态曲线；正态分布；；标准正态分布
；；x
；
巩固练习
1.答案：B
解析：设，则，根据对称性可得，
则，所以，即，故.故选B.
2.答案：C
解析：，，.
此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为.故选C.
3.答案：C
解析：由于随机变量，满足，
因此，根据正态曲线的对称性可知.故选C.
4.答案：A
解析：随机变量，且，
，，.故选A.
5.答案：B
解析：.
因为，所以.故选B.
6.答案：D
解析：因为学生成绩X服从正态分布，所以.
因为，所以，
所以.故选D.
7.答案：D
解析：A项，由题图可知，直线为X的正态密度曲线的对称轴，直线为Y的正态密度曲线的对称轴，，所以，故A错；B项，由题图可知，，所以，故B错；C项，对任意正数，即有，故C错；D项，对任意正数，因此有，故D正确.故选D.
8.答案：
解析：因为随机变量X服从正态分布，且，所以由正态曲线的对称性可知，解得.
9.答案：0.85
解析：，
又，
，
，
则.
∴该学生的数学成绩小于110分的概率为0.85.
10.答案：（1）.
.
（2）由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生，其体重在的概率为0.7.
随机抽取3人，相当于3重伯努利试验，随机变量X服从二项分布，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
.
（3）由题意知Y服从正态分布，
则，
所以该校学生的体重是正常的.

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