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10.1.2 事件的关系和运算
学习目标 1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的
概念.
知识点一 事件的关系
定义 符号 图示
一般地，若事件 A发生，则事件
包含
B一定发生，称事件 B包含事件 B A(或 A B)
关系
A(或事件 A包含于事件 B)
如果事件 B包含事件 A，事件 A
相等
也包含事件B，即B A且A B， A＝B
关系
则称事件 A与事件 B相等
知识点二 交事件与并事件
定义 符号 图示
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，
并事件 这样的一个事件中的样本点或者在事件 A A∪B
(或和事件) 中，或者在事件 B中，我们称这个事件为 (或 A＋B)
事件 A与事件 B的并事件(或和事件)
一般地，事件 A与事件 B同时发生，这样
交事件 的一个事件中的样本点既在事件 A中，也 A∩B
(或积事件) 在事件 B中，我们称这样的一个事件为事 (或 AB)
件 A与事件 B的交事件(或积事件)
知识点三 互斥事件和对立事件
定义 符号 图示
一般地，如果事件 A与事件 B不能同时发
生，也就是说 A∩B是一个不可能事件，
互斥事件 A∩B＝
即 A∩B＝ ，则称事件 A与事件 B互斥(或
互不相容)
一般地，如果事件 A和事件 B在任何一次
试验中有且仅有一个发生，即 A∪B＝Ω， A∪B＝Ω
对立事件
且 A∩B＝ ，那么称事件 A与事件 B互为 A∩B＝
对立，事件 A的对立事件记为 A
1.若 A，B表示随机事件，则 A∩B与 A∪B也表示事件.( √ )
2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( × )
3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( √ )
4.若事件 A与 B是互斥事件，则在一次试验中事件 A和 B至少有一个发生.( × )
一、互斥事件和对立事件的判断
例 1 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A为“只订甲报”，事件 B为“至少订
一种报”，事件 C为“至多订一种报”，事件 D为“不订甲报”，事件 E为“一种报也不
订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.
(1)A与 C；(2)B与 E；(3)B与 D；(4)B与 C；(5)C与 E.
解 (1)由于事件 C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件 A与事件 C有可能同时发生，
故 A与 C不是互斥事件.
(2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件 B与 E
是互斥事件.由于事件 B和事件 E必有一个发生，故 B与 E也是对立事件.
(3)事件 B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件 B发生，
事件 D也可能发生，故 B与 D不是互斥事件.
(4)事件 B“至少订一种报”中有 3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种
报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.
即事件 B与事件 C可能同时发生，故 B与 C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析可知，事件 E“一种报也不订”仅仅是事件 C的一种可能，事件 C与事件 E
可能同时发生，故 C与 E不是互斥事件.
反思感悟 判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能
同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两
个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能
同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有
一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.
跟踪训练 1 (1)从装有 5个红球和 3个白球的口袋内任取 3个球，那么下列各对事件中，互
斥而不对立的是( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
答案 D
解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是
红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个
红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.
(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个
方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.非互斥事件 D.以上都不对
答案 A
解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但
不是对立事件.
二、事件的运算
例 2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件 C1＝{出现 1点}，事件 C2＝{出现
2点}，事件 C3＝{出现 3点}，事件 C4＝{出现 4点}，事件 C5＝{出现 5点}，事件 C6＝{出
现 6点}，事件 D1＝{出现的点数不大于 1}，事件 D2＝{出现的点数大于 3}，事件 D3＝{出
现的点数小于 5}，事件 E＝{出现的点数小于 7}，事件 F＝{出现的点数为偶数}，事件 G＝
{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
解 (1)因为事件 C1，C2，C3，C4发生，则事件 D3必发生，所以 C1 D3，C2 D3，C3 D3，
C4 D3.
同理可得，事件 E包含事件 C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件 D2包含事件 C4，C5，C6；事件
F包含事件 C2，C4，C6；事件 G包含事件 C1，C3，C5.
且易知事件 C1与事件 D1相等，即 C1＝D1.
(2)因为事件 D2＝{出现的点数大于 3}＝{出现 4点或出现 5点或出现 6点}，
所以 D2＝C4∪C5∪C6(或 D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1
＋C3＋C5.
反思感悟 事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结
果进行事件间的运算.
(2)利用 Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这
些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练 2 抛掷相同硬币 3次，设事件 A＝{至少有一次正面向上}，事件 B＝{一次正面向
上，两次反面向上}，事件 C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件 D＝{至少一次反面向
上}，事件 E＝{3次都正面向上}.
(1)试判断事件 A与事件 B，C，E的关系；
(2)试求事件 A与事件 D的交事件，事件 B与事件 C的并事件，并判断二者的关系.
解 (1)B A，C A，E A，且 A＝B＋C＋E.
(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或 2次正面向上}，A∩D＝
B∪C.
三、随机事件的表示及含义
例 3 设 A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用 A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3)A B C (4)AB C (5)(A∪B) C
(6)AB C ∪A B C∪ A BC
延伸探究
本例条件不变，试用 A，B，C表示以下事件.
(1)三个事件都不发生；
(2)三个事件至少有两个发生.
解 (1) A B C (2)ABC∪AB C ∪A B C∪ A BC(或 AB∪BC∪AC)
反思感悟 清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.
符号 事件的运算 集合的运算
A 随机事件 子集
A A的对立事件 A的补集
AB 事件 A与 B的交事件 集合 A与 B的交集
A∪B 事件 A与 B的并事件 集合 A与 B的并集
跟踪训练 3 5个相同的小球，分别标上数字 1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件
A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件 B为“抽取的两个小球上的数字至少有一
个是偶数”，事件 C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示 A，B，C，
A∩B， A ∩ C ， B ∩C.
解 总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，
(5,5)}，
A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，
(5,4)，(5,5)}，
B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
(4,5)，(5,2)，(5,4)}，
C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，
A ∩ C ＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，
B ∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
1.某人射击一次，设事件 A为“击中环数小于 4”，事件 B为“击中环数大于 4”，事件 C
为“击中环数不小于 4”，事件 D为“击中环数大于 0且小于 4”，则正确的关系是( )
A.A与 B为对立事件
B.B与 C为互斥事件
C.C与 D为对立事件
D.B与 D为互斥事件
答案 D
2.抽查 10件产品，记事件 A为“至少有 2件次品”，则 A的对立事件为( )
A.至多有 2件次品 B.至多有 1件次品
C.至多有 2件正品 D.至少有 2件正品
答案 B
解析 至少有 2件次品包含 2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共 9种结果，故它的对立事件为含有 1或 0
件次品，即至多有 1件次品.
3.设 M，N，P是三个事件，则 M，N至少有一个不发生且 P发生可表示为( )
A.( M ∪ N )P B.( M N )P
C.( M ∪ N )∪P D.( M N)∪(M N )
答案 A
4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件 A，B，则 A B∪A B 表示
的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________.
答案 只有一人破译密码 A B∪A B ∪AB
5.从 0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件 A表示组成的两位数是偶数，
事件 B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件 A∩B用样本点表示为_______.
答案 {10,20,30,40,50,32,42,52,54}
1.知识清单：
(1)事件的包含关系与相等关系.
(2)交事件和并事件.
(3)互斥事件和对立事件.
2.方法归纳：列举法、Venn图法.
3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
1.下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于 8与命中环数小于 6
B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于 90分与平均分数不高于 90分
C.播种菜籽 100粒，发芽 90粒与发芽 80粒
D.检查某种产品，合格率高于 70%与合格率为 70%
答案 B
2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为 A，则 A的对立事件为( )
A.至多做完三套练习题 B.至多做完二套练习题
C.至多做完四套练习题 D.至少做完二套练习题
答案 B
解析 至少做完 3套练习题包含做完 3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完 0,1,2套
练习题，即至多做完 2套练习题.
3.把红、蓝、黑、白 4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4个人，每人分得 1张，事件“甲
分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.相等
C.互斥但不对立事件 D.以上说法都不对
答案 C
解析 因为只有 1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两
个事件并不是必有一个发生，所以它们不是对立事件.
4.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件 A表示两次点数之和小于 10，事件 B表示两次点数
之和能被 5整除，则事件 A B用样本点表示为( )
A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)}
C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}
答案 D
5.设 A，B为两事件，则(A∪B)( A ∪ B )表示( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.A与 B恰有一个发生 D.A与 B不同时发生
答案 C
解析 A∪B表示事件 A，B至少有 1个发生， A ∪ B 表示事件 A，B至少有一个不发生，
∴(A∪B)( A ∪ B )表示 A与 B恰有一个发生.
6.设某随机试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}，C＝{5,6,7}.则：
(1)A∪B＝________________；
(2) A ∩B＝________；
(3)A∩(B∩C)＝________.
答案 (1){2,3,4,5} (2){5} (3)
7.在某大学的学生中任选一名学生，若事件 A表示被选学生是男生，事件 B表示该生是大三
学生，事件 C表示该生是运动员，则事件 AB C 的含义是________________.
答案 该生是大三男生，但不是运动员
8.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5本书，从中任取 1本，记取到语文、数学、英语、
物理、化学书分别为事件 A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为________.
答案 B∪D∪E
解析 由题意可知事件“取到理科书”可记为 B∪D∪E.
9.从某大学数学系图书室中任选一本书.设 A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后
出版的书}.问：
(1)A∩B∩ C 表示什么事件？
(2)在什么条件下有 A∩B∩C＝A
(3)如果 A ＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？
解 (1)A∩B∩ C ＝{2000年或 2000年前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是 2000年后出版的且为中文版”的条件下才有 A∩B∩C＝A.
(3)是. A ＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学
书.同时 A ＝B又可等价成 B ＝A，因而也可以解释为：图书室中所有数学书都不是中文版
的，而且所有外文版的书都是数学书.
10.盒子里有 3 个红球，2 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A＝{3 个球中有 1 个红球 2
个白球}，事件 B＝{3个球中有 2个红球 1个白球}，事件 C＝{3个球中至少有 1个红球}，
事件 D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：
(1)事件 D与事件 A，B是什么样的运算关系？
(2)事件 C与事件 A的交事件是什么事件？
(3)把红球记为 1,2,3，白球记为 a，b，试用集合的形式表示 A∪C，C∩D.
解 (1)对于事件 D，可能的结果为 1个红球 2个白球或 2个红球 1个白球，故 D＝A∪B.
(2)对于事件 C，可能的结果为 1个红球 2个白球，2个红球 1个白球或 3 个红球，故 C∩A
＝A.
(3)A∪C＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(1,2,3)，(1，a，b)，
(2，a，b)，(3，a，b)}，
C∩D＝{(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，
a)，(2,3，b)}.
11.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件 A＝{两弹都击中飞机}，事
件 B＝{两弹都没击中飞机}，事件 C＝{恰有一弹击中飞机}，事件 D＝{至少有一弹击中飞
机}，下列关系不正确的是( )
A.A D B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
答案 D
12.(多选)一箱产品有正品 4件、次品 3件，从中任取 2件，有如下事件，其中互斥事件有
( )
A.“恰有 1件次品”和“恰有 2件次品”
B.“至少有 1件次品”和“都是次品”
C.“至少有 1件正品”和“至少有 1件次品”
D.“至少有 1件次品”和“都是正品”
答案 AD
解析 对于 A，“恰有 1件次品”就是“1 件正品，1 件次品”，与“2件都是次品”显然
是互斥事件；
对于 B，“至少有 1件次品”包括“恰有 1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”
可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；
对于 C，“至少有 1件正品”包括“恰有 1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有 1件
次品”不是互斥事件；
对于 D，“至少有 1件次品”包括“恰有 1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”
显然是互斥事件，故 AD是互斥事件.
13.盒子内分别有 3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取 2个球，则下列选项中的两个事
件互斥而不对立的是( )
A.至少有 1个白球，至多有 1个白球
B.至少有 1个白球，至少有 1个红球
C.至少有 1个白球，没有白球
D.至少有 1个白球，红球、黑球各 1个
答案 D
解析 当取出的 2个球是 1 白 1红时，A中两个事件同时发生，所以 A中的两个事件不是
互斥事件，此时 B也一样，所以排除 A，B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一
个发生，所以 C中的两个事件是对立事件，所以排除 C；D中，两个事件不可能同时发生，
但是当取出的 2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以 D中的两个事件是互斥事
件但不是对立事件.
14.电路如图所示.用 A表示事件“电灯变亮”，用 B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开
关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则 A＝____________.(用 B，C，D间的运算关系式表示)
答案 (BC)∪(BD)或 B∩(C∪D)
15.如果 A，B是互斥事件，那么( )
A. A ∪ B 是必然事件
B. A 与 B 一定是互斥事件
C. A 与 B 一定不是互斥事件
D.A∪B是必然事件
答案 A
解析 由互斥事件的概念，A，B互斥即 A∩B为不可能事件，所以 A ∪ B 是必然事件，
故 A正确；C选项中，当 B＝ A 时， A 与 B 互斥，故 C错误；D和 B可举反例，如投掷
骰子试验中，A表示向上数字 1，B表示向上数字为 2，A∪B不是必然事件， A 与 B 不是
互斥事件，故 B，D错误.
16.投掷一枚均匀的硬币，连续投掷 3次.Ai表示第 i次正面朝上，试用文字叙述下列事件.
(1)A1∪A2；
(2)A1∪A2∪A3；
(3) A 2A3；
(4) A1∪A2 ；
(5) A 1∩ A 2；
(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.
解 (1)A1∪A2表示第 1次和第 2次投掷硬币至少有 1次正面朝上.
(2)A1∪A2∪A3表示 3次投掷硬币中至少有 1次正面朝上.
(3) A 2A3表示第 2次投掷硬币反面朝上且第 3次正面朝上.
(4) A1∪A2 表示第 1次和第 2次投掷硬币均反面朝上.
(5) A 1∩ A 2表示第 1次和第 2次投掷硬币均反面朝上.
(6)3次投掷硬币中至少有 2次正面朝上.

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