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清北学堂2022年高校强基校测笔试数学学科模拟试题参考答案
1.种
解析：先按照标号相同的2张卡片合并成1张卡片，得到4张“大”卡片，将它们全排列，有种方法，再将同一列中的2张卡片交换位置，有种方法，故有种排法。
2.
解析：令，于是，
上式等号在，即，亦即时成立。
所以，的最大值为.
3．
如图，过点作，分别交于点交于点，则可知五边形为所求的截面。
易知，经计算可得：
故
而
4. 17个交点
解析：的周期为，在每个周期内，若，则与的图像有2个交点，在区间中有8个周期，得16个交点；在区间中，两曲线还有1个交点，因此共有17个交点（如图）.
5.
由于，则有，即
将换成，得。
故：
从而
所以，
6.
如图，设，则，由平行四边形法则知：
，过点作的平行线，分别交于点、.则边上的高之比为设为，故.
由相似三角形的性质得，即.从而，，所以，，解得
7.设有三个正数.
若，则这三个数不能构成三角形的三边，为使最小，取.
令，
可得一个非三角数集
.
显然，的任一子集均不是三角数集. 中最小的10个元素祖晨搞得子集为：
，所以，.
若将中的任一元素换成4到253的非任一其他正整数，由此得到的新的10元子集都是三角数.
故的最大可能值为253.
8.
如图，设为直线与轴的交点，作轴于点.由题意知.从而，有（其中，），故.
代入椭圆方程得，
即，
即
整理得.
因为,所以，
9.
如图，易知.设为面的中心，则.于是，
10.
如图，是的平分线，点在上，作出点关于的对称点，与的延长线交与点，则旋转体的 体积等于绕旋转一周所得的体积，即
11.
如图，由已知得三边所在的直线方程分别为.进一步可求得圆心到三个顶点、三边的距离分别为
当时，三角形与圆必有公共点，故的取值范围为
12.
当时，以28为棱的两侧面的三角形必须同时满足两边之和大于第三边，只有，此时长为22的棱不可能出现在均有长为28的棱的两个侧面上.
当时，如图所示的值才有可能达到最小.
在和中，，所以
最终，
13.
由柯西不等式等号成立的条件，有
.
设.
将代入中，得.
所以，，即.
14.经计算得
因为，则
因此，到原点的距离为.
15.
由题意得
因为，所以故.
因为
又因为，所以，即.
满足，且的点如图中的阴影部分.其面积为
16.
先考虑，有个元素，就有个，对每个，有，故中每个元素在是否存在决定了有个.于是，由题意知，满足要求的数对的个数是：
17.首先，就某个人而言，每周与另外3人坐在一起，则至少需要4周.其次，12个人两两配对共有对，每张桌子上有对，于是，第一周对互相认识.由于4人坐3桌，在第一周后的每一周，在每张桌子上肯定至少有两人在第一周已坐在一起，也就是新认识的对子最大数目是：
每周每桌有6-1=5（对），共计15对.
因为18+15+15+15=63,所以用4周是不可能两两有一次同坐一桌的，从而知需要5周.
用5周是可以办到的，例如，第一周18对，其余4周每周12对，共计对，下面给出具体分桌方案：
18.4
先证，存在三个相邻的数，依次递增或依次递减（反设）
19. ，于是数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，令，则
所以，数列递减，其最大项为
故的最小值为.
20．
因为，所以
所以清北学堂2022年高校强基校测笔试数学学科模拟试题
时间：60分钟
1. 红蓝两色卡片各4张,每种颜色卡片分别标有数字1 ,2,3 ,4.将全部8张卡片排成2行4列的方阵,要求标数相同的卡片在同一列.则不同的排法种数为_______
2. 设x是非负实数。则+的最大值为______
3. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是a，其中E是CD中点，F是AA1中点，则过点E,F,B1的截面面积是________
4. 函数y=x -x和y=cos 10πx在第1、4象限内有______个交点。
5. 设，那么f的10次迭代的表达式是________
6. 设P为不等边锐角三角形ABC内一点﹐且满足5AP =2AB+AC则三角形PBC的面积与三角形ABC的面积之比为______
7. 已知s是由n(≥3)个正数组成的集合.若S中存在三个不同的元素可构成三角形的三边,则称s为“三角数集”.设有连续正整数组成的集合{4 ,5 ,…, m } ,它的所有10元子集都是三角数集.则m的最大可能值是________
8. 设点P在椭圆b x +a y =a b （a>b>0）上，椭圆的左准线是l，左焦点是F。设P在l上的投影是Q，且三角形PQF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______
9. 已知ABCD-A1B1C1D1是一个单位正方体，O是底面A1B1C1D1的中心.M是棱BB1的中点.则四面体OADM的体积等于_____
10. 把三边长分别为3、4、5的三角形绕它的最大内角的平分线旋转一周所得的旋转体的体积等于________
11. 已知连结A(-3,0),B (0,-3),C(15/7,24/7)的三角形与圆x +y =R (R>0)总有公共点.则圆半径的取值范围是_______
12. 已知四面体ABCD 的六条棱的长分别是4、7、20、22、28、x，那么[x]的最小值是____（舍尾保留整数部分）
13. 若a、b、c、x ,y、z为实数,且a + b + c =25,x +y +z = 36, ax+by+cz=30,则(a+b+c)/(x+y+z)=______
14. 复数列zn满足z1=0，zn+1=zn +i，那么|z111|=___________
15. 已知椭圆b x +a y =a b （a>b>0）通过点(-√3,1).则所有这些椭圆上满足y≥1 的点组成的点集的并集的面积为________
16. 集合A、B的并集AUB={1,2,……,n}当A≠B时,(A,B)与(B,A)视为不同的集合对.则这样的集合对(A,B)的个数是______
17. 某12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐---张桌子,则至少需要_____周.
18. 设，则
的最大值为________________.
19. 已知数列满足:,且.若对一切正整数都成立,则的最小值为__________
20. 若，则的最大值为_________.

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