资源简介

江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-填空题
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2021 无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　 　．
2．（2020 无锡）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是　 　．
3．（2019 无锡）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为　 　人次．
二．平方根（共1小题）
4．（2019 无锡）的平方根为　 　．
三．完全平方公式（共1小题）
5．（2019 无锡）计算：（a+3）2＝　 　．
四．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
6．（2021 无锡）分解因式：2x3﹣8x＝　 　．
7．（2020 无锡）因式分解：ab2﹣2ab+a＝　 　．
五．二元一次方程组的应用（共1小题）
8．（2020 无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　 　尺．
六．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
9．（2019 无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为　 　．
七．反比例函数的性质（共2小题）
10．（2021 无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：　 　．
11．（2019 无锡）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 　 　（只要写出一个符合题意的答案即可）．
八．二次函数的性质（共2小题）
12．（2020 无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　 　．
13．（2020 无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　 　．
九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
14．（2021 无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　 　．
一十．菱形的性质（共1小题）
15．（2020 无锡）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．
一十一．正方形的性质（共1小题）
16．（2019 无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 　 　．
一十二．切线长定理（共1小题）
17．（2019 无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为　 　．
一十三．圆锥的计算（共3小题）
18．（2021 无锡）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　 　．
19．（2020 无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝　 　cm2．
20．（2019 无锡）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　cm．
一十四．命题与定理（共1小题）
21．（2021 无锡）下列命题中，正确命题的个数为 　 　．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
22．（2021 无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝　 　．
一十六．平行线分线段成比例（共1小题）
23．（2020 无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．
一十七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
24．（2021 无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　 　米．
江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-填空题
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2021 无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　3.2×108　．
【解答】解：320000000＝3.2×108，
故选：3.2×108．
2．（2020 无锡）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是　1.2×104　．
【解答】解：12000＝1.2×104．
故答案为：1.2×104．
3．（2019 无锡）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为　2×107　人次．
【解答】解：将20000000用科学记数法表示为：2×107．
故答案为：2×107．
二．平方根（共1小题）
4．（2019 无锡）的平方根为　±　．
【解答】解：的平方根为±＝±．
故答案为：±．
三．完全平方公式（共1小题）
5．（2019 无锡）计算：（a+3）2＝　a2+6a+9　．
【解答】解：（a+3）2＝a2+6a+9．
故答案为：a2+6a+9．
四．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
6．（2021 无锡）分解因式：2x3﹣8x＝　2x（x﹣2）（x+2）　．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
7．（2020 无锡）因式分解：ab2﹣2ab+a＝　a（b﹣1）2　．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
五．二元一次方程组的应用（共1小题）
8．（2020 无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　8　尺．
【解答】解：设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有
，
解得，．
故井深是8尺．
故答案为：8．
六．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
9．（2019 无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为　x＜2　．
【解答】解：∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，
则b＝6k，
故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，
∵k＜0，
∴x﹣2＜0，
解得：x＜2．
故答案为：x＜2．
七．反比例函数的性质（共2小题）
10．（2021 无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：　y＝﹣答案不唯一　．
【解答】解：若反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，则k＜0，
故k可取﹣1，此时反比例函数解析式为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣答案不唯一．
11．（2019 无锡）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 　y＝x2（答案不唯一）　（只要写出一个符合题意的答案即可）．
【解答】解：y＝x2中开口向上，对称轴为x＝0，
当x＞0时y随着x的增大而增大，
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
八．二次函数的性质（共2小题）
12．（2020 无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　（，﹣9）或（，6）　．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
设点M的坐标为：（，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD垂直对称轴于D，
则∠1＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，
∴＝2，
∴DM＝3，
∴M（，6），
当∠M′AB＝90°时，
∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，
∴M′N＝9，
∴M′（，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（，﹣9）或（，6）．
故答案为：（，﹣9）或（，6）．
13．（2020 无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　y＝x2　．
【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
14．（2021 无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　y＝x2　．
【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
一十．菱形的性质（共1小题）
15．（2020 无锡）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　115　°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE＝∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
一十一．正方形的性质（共1小题）
16．（2019 无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 　8　．
【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．
∵AB＝AC＝5，BC＝4，
∴BM＝CM＝2，
∴△AMB∽△CGB，
∴，
即
∴GB＝8，
设BD＝x，则DG＝8﹣x，
∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，
∴△EDH≌△DCG（AAS），
∴EH＝DG＝8﹣x，
∴S△BDE＝＝＝，
当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．
故答案为8．
一十二．切线长定理（共1小题）
17．（2019 无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为　25　．
【解答】解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．
∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，
∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，
∴△EFG∽△ACB，
∴EF：FG：EG＝AC：BC：AB＝5：12：13，
设EF＝5k，FG＝12k，
∵×5k×12k＝，
∴k＝或﹣（舍弃），
∴EF＝，
∵四边形EKJF是矩形，
∴KJ＝EF＝，
设AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，
∵∠ACH＝∠AMH＝90°，∠HAC＝∠HAM，AH＝AH，
∴△HAC≌△HAM（AAS），
∴AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，
在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m﹣x）2，
∴x＝m，
∵EK∥CH，
∴＝，
∴＝，
∴AK＝，
∴AC＝AK+KJ+CJ＝++1＝，
∴BC＝××12＝10，AB＝××13＝，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝+10+＝25，
解法二：如图，作直线EF交AB，BC于H，G，作FM⊥AB于M．
由题意，DE∥BC，EF∥AC，
∴△DEF∽△BCA，
∴EF：ED：FD＝5：12：13，
设EF＝5k，ED＝12k，DF＝13k，则×5k×12k＝，
∴k＝或﹣，
∴EF＝，
∵EF∥AC，FM⊥AB，
∴∠MHF＝∠A，∠FMH＝∠C＝90″，
∴△FMH∽△BCA，
∴＝，
∴HF＝，
∴GH＝++1＝，
∵EF∥AC，
∴△HGB∽△ACB，设AC＝5a，BC＝12a，
∴＝，
∴＝，
∴a＝，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝5a+12a+13a＝25，
故答案为25．
一十三．圆锥的计算（共3小题）
18．（2021 无锡）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝．
故答案为：．
19．（2020 无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝　2π　cm2．
【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h＝cm，
∴圆锥的母线l＝＝2（cm），
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
故答案为：2π．
20．（2019 无锡）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为 　3　cm．
【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，
∴15π＝π r 5
∴r＝3
故答案为：3．
一十四．命题与定理（共1小题）
21．（2021 无锡）下列命题中，正确命题的个数为 　1　．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【解答】解：①所有的正方形都相似，正确，符合题意；
②所有的菱形都相似，错误，不符合题意；
③边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；
④对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，
正确的有1个，
故答案为：1．
一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
22．（2021 无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝　　．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
故答案为：．
一十六．平行线分线段成比例（共1小题）
23．（2020 无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　　．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
一十七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
24．（2021 无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　10　米．
【解答】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故答案为：10．江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-选择题
一．相反数（共2小题）
1．（2021 无锡）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．（2019 无锡）5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
二．倒数（共1小题）
3．（2020 无锡）﹣7的倒数是（　　）
A．7 B． C．﹣ D．﹣7
三．整式的加减（共1小题）
4．（2020 无锡）若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
四．同底数幂的除法（共1小题）
5．（2021 无锡）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2 a3＝a5
五．因式分解-运用公式法（共1小题）
6．（2019 无锡）分解因式4x2﹣y2的结果是（　　）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
六．二次根式的乘除法（共1小题）
7．（2020 无锡）下列选项错误的是（　　）
A．cos60°＝ B．a2 a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
七．解二元一次方程组（共1小题）
8．（2021 无锡）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
八．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2019 无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
九．函数自变量的取值范围（共3小题）
10．（2021 无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2
11．（2020 无锡）函数y＝2+中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥ C．x≤ D．x≠
12．（2019 无锡）函数y＝中的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠ B．x≥1 C．x＞ D．x≥
一十．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
13．（2019 无锡）如图，已知A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
14．（2021 无锡）一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2020 无锡）反比例函数y＝与一次函数y＝的图象有一个交点B（，m），则k的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
一十二．二次函数的性质（共1小题）
16．（2021 无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
一十三．三角形的重心（共1小题）
17．（2021 无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
一十四．多边形内角与外角（共1小题）
18．（2020 无锡）正十边形的每一个外角的度数为（　　）
A．36° B．30° C．144° D．150°
一十五．矩形的性质（共1小题）
19．（2019 无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
一十六．矩形的判定（共1小题）
20．（2021 无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
一十七．切线的性质（共1小题）
21．（2019 无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
一十八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
22．（2020 无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（　　）
A． B． C． D．
一十九．中心对称图形（共3小题）
23．（2021 无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
24．（2020 无锡）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
25．（2019 无锡）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
26．（2020 无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+．
其中，正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二十一．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2019 无锡）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是（　　）
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
二十二．中位数（共1小题）
28．（2020 无锡）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
二十三．众数（共2小题）
29．（2021 无锡）已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
30．（2019 无锡）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-选择题
参考答案与试题解析
一．相反数（共2小题）
1．（2021 无锡）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
2．（2019 无锡）5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：A．
二．倒数（共1小题）
3．（2020 无锡）﹣7的倒数是（　　）
A．7 B． C．﹣ D．﹣7
【解答】解：﹣7的倒数是﹣．
故选：C．
三．整式的加减（共1小题）
4．（2020 无锡）若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
【解答】解：∵x+y＝2，z﹣y＝﹣3，
∴（x+y）+（z﹣y）＝2+（﹣3），
整理得：x+y+z﹣y＝2﹣3，即x+z＝﹣1，
则x+z的值为﹣1．
故选：C．
四．同底数幂的除法（共1小题）
5．（2021 无锡）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2 a3＝a5
【解答】解：A．a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．a2 a3＝a5，故此选项符合题意．
故选：D．
五．因式分解-运用公式法（共1小题）
6．（2019 无锡）分解因式4x2﹣y2的结果是（　　）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故选：C．
六．二次根式的乘除法（共1小题）
7．（2020 无锡）下列选项错误的是（　　）
A．cos60°＝ B．a2 a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
【解答】解：A．cos60°＝，故本选项不合题意；
B．a2 a3＝a5，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本选项符合题意．
故选：D．
七．解二元一次方程组（共1小题）
8．（2021 无锡）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，
①+②得：2x＝8，
∴x＝4，
把x＝4代入①得：4+y＝5，
∴y＝1，
∴方程组的解为．
故选：C．
八．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2019 无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，
则15an＝2160，
得到an＝144．
所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．
整理，得ax+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，
整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a至少为9．
方法二：根据题意知：12（a+2）＜15a，
解得a＞8，
又a为整数，
所以a的最小值为9．
故选：B．
九．函数自变量的取值范围（共3小题）
10．（2021 无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故选：A．
11．（2020 无锡）函数y＝2+中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥ C．x≤ D．x≠
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x≥．
故选：B．
12．（2019 无锡）函数y＝中的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠ B．x≥1 C．x＞ D．x≥
【解答】解：函数y＝中：2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故选：D．
一十．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
13．（2019 无锡）如图，已知A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：D．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
14．（2021 无锡）一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在y＝x+n中，令y＝0，得x＝﹣n，
∴B（﹣n，0），
∵A（1，m）在一次函数y＝x+n的图象上，
∴m＝1+n，即n＝m﹣1，
∴B（1﹣m，0），
∵△AOB的面积为1，m＞0，
∴OB |yA|＝1，即|1﹣m| m＝1，
解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴m＝2，
故选：B．
15．（2020 无锡）反比例函数y＝与一次函数y＝的图象有一个交点B（，m），则k的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：∵一次函数y＝的图象过点B（，m），
∴m＝×+＝，
∴点B（，），
∵反比例函数y＝过点B，
∴k＝×＝，
故选：C．
一十二．二次函数的性质（共1小题）
16．（2021 无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
一十三．三角形的重心（共1小题）
17．（2021 无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：
∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴四边形AEPD是矩形，
设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，
Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，
Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，
Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，
∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2
＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100
＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，
∴x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，
此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，
∵∠A＝90°，PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴＝，即＝，
∴AM＝3，
∴AM＝AB，即M是AB的中点，
同理可得AN＝AC，N为AC中点，
∴P是△ABC三条中线的交点，
故选：D．
一十四．多边形内角与外角（共1小题）
18．（2020 无锡）正十边形的每一个外角的度数为（　　）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
故选：A．
一十五．矩形的性质（共1小题）
19．（2019 无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
一十六．矩形的判定（共1小题）
20．（2021 无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
【解答】解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD h，S△DCF＝CD h，
∴S△BDE＝S△DCF，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF＝BC，DF＝AB，
若AB＝BC，则FE＝DF，
∴四边形AEDF不一定是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．
一十七．切线的性质（共1小题）
21．（2019 无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOP＝∠B+∠OAB，
∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．
故选：B．
一十八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
22．（2020 无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，
设MN＝x，
∵tan∠AED＝，
∴＝，
∴NE＝2x，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2，
由翻折可知：
∠EAC＝30°，
∴AM＝2MN＝2x，
∴AN＝MN＝3x，
∵AE＝AB＝3，
∴5x＝3，
∴x＝，
∴AN＝，MN＝，AM＝，
∵AC＝2，
∴CM＝AC﹣AM＝，
∵MN＝，NE＝2x＝，
∴EM＝＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝30°，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴CD是∠ECM的角平分线，
∴＝＝，
∴＝，
解得，ED＝．
方法二：
如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，
∴AE∥DM，
∴∠AED＝∠EDM，
∴tan∠AED＝tan∠EDM＝，
∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，
设EM＝m，由折叠性质可知，EC＝CB＝，
∴CM＝﹣m，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴tan∠ECD＝＝，
∴DM＝（﹣m）×＝1﹣m，
∴tan∠EDM＝＝，
即＝
解得，m＝，
∴DM＝，EM＝，
在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，
解得，DE＝．
故选：B．
一十九．中心对称图形（共3小题）
23．（2021 无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
24．（2020 无锡）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
【解答】解：A、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
25．（2019 无锡）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
26．（2020 无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+．
其中，正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，或通过计算可知DQ的最大值为，PC的最小值为，所以PC＞DQ，故①错误．
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴当＝或＝时，△ADQ与△BPC相似，
即或＝，解得x＝1或或，
∴当AQ＝1或或时，两三角形相似，故②正确
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．
过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，FH＝﹣﹣＝，
∴CH＝CJ+HJ＝，
∴CF＝＝＝，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+，故④错误，
故选：D．
二十一．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2019 无锡）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是（　　）
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
【解答】解：∵有2个视图是长方形，
∴该几何体为柱体，
∵第3个视图是长方形，
∴该几何体为长方体．
故选：A．
二十二．中位数（共1小题）
28．（2020 无锡）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
【解答】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5＝24；
把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，
则中位数是25；
故选：A．
二十三．众数（共2小题）
29．（2021 无锡）已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、53、54、55、55、58，
中位数为54，
∵55出现的次数最多，
∴众数为55，
故选：A．
30．（2019 无锡）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选：B．江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题
一．单项式乘单项式（共1小题）
1．（2019 无锡）计算：
（1）|﹣3|+（）﹣1﹣（）0；
（2）2a3 a3﹣（a2）3．
二．分式的加减法（共2小题）
2．（2021 无锡）计算：
（1）|﹣|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）﹣．
3．（2020 无锡）计算：
（1）（﹣2）2+|﹣5|﹣；
（2）．
三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
4．（2019 无锡）解方程：
（1）x2﹣2x﹣5＝0；
（2）＝．
四．解一元二次方程-公式法（共1小题）
5．（2020 无锡）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）．
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2021 无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
六．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2021 无锡）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
七．一次函数的应用（共1小题）
8．（2019 无锡）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE﹣EF所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．
八．一次函数综合题（共1小题）
9．（2019 无锡）一次函数y＝kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO＝．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
九．二次函数的应用（共1小题）
10．（2020 无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
一十．二次函数综合题（共3小题）
11．（2021 无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．
12．（2020 无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
13．（2019 无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
一十一．全等三角形的判定与性质（共3小题）
14．（2021 无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
15．（2020 无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
16．（2019 无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
一十二．四边形综合题（共2小题）
17．（2021 无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
18．（2019 无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若AB＝2．
①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．
一十三．作图—复杂作图（共2小题）
19．（2021 无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　 　．（如需画草图，请使用图2）
20．（2020 无锡）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　 　．
一十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
21．（2019 无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
①如图2，在 ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．
一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
22．（2020 无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE＝，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
一十六．相似三角形的判定（共1小题）
23．（2021 无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
一十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2020 无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
一十八．扇形统计图（共2小题）
25．（2021 无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号） 0＜x≤5（A） 5＜x≤10（B） 10＜x≤15（C） 15＜x≤20（D） 20＜x≤25（E） 25＜x≤30（F）
频数 10 a 68 c 24 6
频率 0.05 b 0.34 d 0.12 0.03
（1）表格中a＝　 　；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
26．（2019 无锡）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级 优秀 良好 及格 不及格
平均分 92.1 85.0 69.2 41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是　 　；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
一十九．条形统计图（共1小题）
27．（2020 无锡）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年
收入 3 8 9 a 14 18
支出 1 4 5 6 c 6
存款余额 2 6 10 15 b 34
（1）表格中a＝　 　；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
二十．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2021 无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
29．（2020 无锡）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是　 　；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
30．（2019 无锡）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为　 　；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题
参考答案与试题解析
一．单项式乘单项式（共1小题）
1．（2019 无锡）计算：
（1）|﹣3|+（）﹣1﹣（）0；
（2）2a3 a3﹣（a2）3．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣1＝4；
（2）原式＝2a6﹣a6＝a6．
二．分式的加减法（共2小题）
2．（2021 无锡）计算：
（1）|﹣|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）﹣．
【解答】解：（1）原式＝+8+
＝1+8
＝9．
（2）原式＝﹣
＝
＝．
3．（2020 无锡）计算：
（1）（﹣2）2+|﹣5|﹣；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝4+5﹣4
＝5；
（2）原式＝
＝
＝．
三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
4．（2019 无锡）解方程：
（1）x2﹣2x﹣5＝0；
（2）＝．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴△＝4﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
则x＝＝1±，
∴；
（2）两边都乘以（x+1）（x﹣2），得：x+1＝4（x﹣2），
x+1＝4x﹣8，
x﹣4x＝﹣8﹣1，
﹣3x＝﹣9，
x＝3，
经检验x＝3是方程的解．
四．解一元二次方程-公式法（共1小题）
5．（2020 无锡）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2），
解①得，x≥0，
解②得，x＜1，
所以不等式组的解集为0≤x＜1．
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2021 无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，
依题意得：+＝25，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝60，3x＝45．
答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．
（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，
依题意得：60m+45n＝1275，
∴n＝．
∵m，n均为正整数，且4≤m≤10，
∴或或，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；
方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；
方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．
六．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2021 无锡）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）∵（x+1）2﹣4＝0，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
（2），
由①得，x≥1，
由②得，x＜3，
故不等式组的解集为：1≤x＜3．
七．一次函数的应用（共1小题）
8．（2019 无锡）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE﹣EF所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．
【解答】解：（1）由题意可得：小丽速度＝＝16（km/h）
设小明速度为xkm/h
由题意得：1×（16+x）＝36
∴x＝20
答：小明的速度为20km/h，小丽的速度为16km/h．
（2）由图象可得：点E表示小明到了甲地，此时小丽没到，
∴点E的横坐标＝＝，
点E的纵坐标＝＝
∴点E（，）
八．一次函数综合题（共1小题）
9．（2019 无锡）一次函数y＝kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO＝．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）过点M作MN⊥BO于点N，
由垂径定理得：点N为OB的中点，
∴MN＝OA，
∵MN＝3，∴OA＝6，即A（﹣6，0），
∵sin∠ABO＝，
∴∠ABO＝60°，
∵OA＝6，
∴OB＝＝＝，
即B（0，），
设y＝kx+b，将A、B代入得：，
（2）NB＝OB＝，MN＝3，
tan∠BMN＝＝，则∠BMN＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∴∠AMO＝120°
∴阴影部分面积为．
九．二次函数的应用（共1小题）
10．（2020 无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，
参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x） x 20+（20+20﹣2x） x 60+（30﹣2x）（20﹣2x） 40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000，
∵﹣400＜0，
∴随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
一十．二次函数综合题（共3小题）
11．（2021 无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：
∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3﹣2，
∴N（0，3+1）．
12．（2020 无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【解答】解：（1）①∵点A在y＝x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（m，m）．
②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（﹣m，m），
∴P（﹣m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m＝．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），
∴直线OA的解析式为y＝ax，
∴M（，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，可得N（﹣，2），
∴P（﹣，4），代入抛物线的解析式得到，﹣＝±4，
解得，a＝4±4，
∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y＝﹣x＝﹣（±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝﹣（±1）x．
13．（2019 无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），
∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即
∵a＞0，∴b＜0；
（2）①过点D作DM⊥y轴，
则，
∴，
设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m
∵OC＝4，∴CM＝2，
∴D（m，﹣6），B（4m，0），
则，
∴OE＝8，
S△BEC＝×4×4m＝8，
∴m＝1，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
设y＝a（x+2）（x﹣4），
即y＝ax2﹣2ax﹣8a，
令x＝0，则y＝﹣8a，
∴C（0，﹣8a），
∴﹣8a＝﹣4，a＝，
∴；
②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，
CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，
当∠CDB为锐角时，
CD2+DB2＞CB2，
m2+4+9m2+36＞16m2+16，
解得﹣2＜m＜2；
当∠BCD为锐角时，
CD2+CB2＞DB2，
m2+4+16m2+16＞9m2+36，
解得，
综上：，；
故：．
一十一．全等三角形的判定与性质（共3小题）
14．（2021 无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
【解答】证明：（1）在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB．
15．（2020 无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
16．（2019 无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中，
∴△DBC≌△ECB（SAS）；
（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC．
一十二．四边形综合题（共2小题）
17．（2021 无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【解答】解：（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，
∵等腰直角三角形AEF，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：
∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAE'+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝m（1﹣m），
∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，h最大值是；
（2）①当0≤m≤时，如图：
∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△EGH，
∴＝，即＝，
∴HG＝﹣m2+m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ+BE，
设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，
∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣（﹣m2+m）﹣
＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，如图：
∵MG∥AB，
∴＝，即＝，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣﹣
＝，
∴y＝，
综上所述，y＝．
18．（2019 无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若AB＝2．
①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝，
∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，
∴△PCB′∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴PB′＝2﹣4．
∴t＝PB＝2﹣4．
②如图2﹣1中，当∠PCB′＝90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∴DB′＝＝，
∴CB′＝CD﹣DB′＝，
在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，
∴t2＝（）2+（3﹣t）2，
∴t＝2．
如图2﹣2中，当∠PCB′＝90°时，
在Rt△ADB′中，DB′＝＝，
∴CB′＝3
在Rt△PCB′中则有：，解得t＝6．
如图2﹣3中，当∠CPB′＝90°时，易证四边形ABP′为正方形，易知t＝2．
综上所述，满足条件的t的值为2或6或2．
（2）如图3﹣1中，
∵∠PAM＝45°
∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°
又∵翻折，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠ADM＝∠AB′M，AM＝AM，
∴△AMD≌△AMB′（AAS），
∴AD＝AB′＝AB，
即四边形ABCD是正方形，
如图，设∠APB＝x．
∴∠PAB＝90°﹣x，
∴∠DAP＝x，
易证△MDA≌△B′AM（HL），
∴∠BAM＝∠DAM，
∵翻折，
∴∠PAB＝∠PAB′＝90°﹣x，
∴∠DAB′＝∠PAB′﹣∠DAP＝90°﹣2x，
∴∠DAM＝∠DAB′＝45°﹣x，
∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．
一十三．作图—复杂作图（共2小题）
19．（2021 无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　　．（如需画草图，请使用图2）
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
20．（2020 无锡）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　　．
【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN＝＝＝，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴×1×＝×1×r+××r，
解得，r＝．
故答案为：．
一十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
21．（2019 无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
①如图2，在 ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．
【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交圆O于点C，作AC的中垂线交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求．
（2）①如图2，连接AC，BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求
②如图3所示，AH即为所求．
一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
22．（2020 无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE＝，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE＝，
∴AE＝＝，
∴tan∠AED＝＝，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S＝（+）×1＝；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a＝，
∴S＝＝．
一十六．相似三角形的判定（共1小题）
23．（2021 无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
即∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．
一十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2020 无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
【解答】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝30°+90°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠DCB＝120°＝∠BOC，
又∵∠B＝∠B＝30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D＝30°，DC＝，∠OCD＝90°，
∴DC＝OC＝，DO＝2OC，
∴OC＝1＝OB，DO＝2，
∵∠B＝∠D＝30°，
∴DC＝BC＝，
∴△BCD的周长＝CD+BC+DB＝++2+1＝3+2．
一十八．扇形统计图（共2小题）
25．（2021 无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号） 0＜x≤5（A） 5＜x≤10（B） 10＜x≤15（C） 15＜x≤20（D） 20＜x≤25（E） 25＜x≤30（F）
频数 10 a 68 c 24 6
频率 0.05 b 0.34 d 0.12 0.03
（1）表格中a＝　42　；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
【解答】解：（1）a＝200×21%＝42（人），
故答案为：42；
（2）b＝21%＝0.21，
C组所占的百分比：0.34＝34%，
D组所占的百分比是：d＝1﹣0.05﹣0.21﹣0.34﹣0.12﹣0.03＝0.25＝25%，
扇形统计图补充完整如图：
；
（3）估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500×（0.34+0.25+0.12+0.03）＝1110（人）．
答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人．
26．（2019 无锡）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级 优秀 良好 及格 不及格
平均分 92.1 85.0 69.2 41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是　4%　；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
【解答】解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是1﹣52%﹣18%﹣26%＝4%；
故答案为：4%；
（2）92.1×52%+85.0×26%+69.2×18%+41.3×4%＝84.1；
答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；
（3）设总人数为n个，80.0≤41.3×n×4%≤89.9 所以 48＜n＜54.5，又因为 4%n为整数 所以n＝50，
即优秀的学生有52%×50÷10%＝260 人．
一十九．条形统计图（共1小题）
27．（2020 无锡）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年
收入 3 8 9 a 14 18
支出 1 4 5 6 c 6
存款余额 2 6 10 15 b 34
（1）表格中a＝　11　；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
【解答】解：（1）10+a﹣6＝15，解得，a＝11，
故答案为：11；
（2）根据题意得，解得，，
即存款余额为22万元，
条形统计图补充为：
（3）小李在2018年的支出最多，支出了7万元．
二十．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2021 无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相同的概率为＝；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
29．（2020 无锡）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是　　；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率＝＝．
30．（2019 无锡）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为　　；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
所以小红获得2份奖品的概率＝＝．

展开更多......

收起↑