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江苏省苏州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-填空题
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2021 苏州）全球平均每年发生的雷电次数约为16000000次，数据16000000用科学记数法可表示为 　 　．
二．同类项（共1小题）
2．（2020 苏州）若单项式2xm﹣1y2与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝　 　．
三．同底数幂的乘法（共1小题）
3．（2019 苏州）计算：a2 a3＝　 　．
四．因式分解-提公因式法（共1小题）
4．（2019 苏州）因式分解：x2﹣xy＝　 　．
五．因式分解-运用公式法（共1小题）
5．（2021 苏州）因式分解：x2﹣2x+1＝　 　．
六．因式分解的应用（共1小题）
6．（2021 苏州）若m+2n＝1，则3m2+6mn+6n的值为 　 　．
七．二次根式有意义的条件（共2小题）
7．（2020 苏州）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　 　．
8．（2019 苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
八．解二元一次方程组（共1小题）
9．（2019 苏州）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为　 　．
九．不等式的性质（共1小题）
10．（2021 苏州）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 　 　．
一十．坐标与图形性质（共1小题）
11．（2020 苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　 　．
一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2020 苏州）若一次函数y＝3x﹣6的图象与x轴交于点（m，0），则m＝　 　．
一十二．七巧板（共1小题）
13．（2019 苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为　 　cm（结果保留根号）．
一十三．等腰三角形的性质（共1小题）
14．（2021 苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　 　°．
一十四．勾股定理（共2小题）
15．（2020 苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　 　．
16．（2019 苏州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为　 　．
一十五．菱形的性质（共1小题）
17．（2021 苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为 　 　.（结果保留根号）
一十六．切线的性质（共1小题）
18．（2020 苏州）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是　 　°．
一十七．作图—复杂作图（共1小题）
19．（2020 苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝　 　．
一十八．旋转的性质（共1小题）
20．（2021 苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝　 　．
一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2019 苏州）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2（结果保留根号）．
二十．概率公式（共1小题）
22．（2019 苏州）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为　 　．
二十一．几何概率（共2小题）
23．（2021 苏州）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　 　．
24．（2020 苏州）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　 　．
江苏省苏州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-填空题
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2021 苏州）全球平均每年发生的雷电次数约为16000000次，数据16000000用科学记数法可表示为 　1.6×107　．
【解答】解：16 000 000＝1.6×107，
故答案为：1.6×107．
二．同类项（共1小题）
2．（2020 苏州）若单项式2xm﹣1y2与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝　4　．
【解答】解：∵单项式2xm﹣1y2与单项式x2yn+1是同类项，
∴，
∴m+n＝4，
故答案为：4．
三．同底数幂的乘法（共1小题）
3．（2019 苏州）计算：a2 a3＝　a5　．
【解答】解：a2 a3＝a2+3＝a5．
故答案为：a5．
四．因式分解-提公因式法（共1小题）
4．（2019 苏州）因式分解：x2﹣xy＝　x（x﹣y）　．
【解答】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．
故答案为：x（x﹣y）．
五．因式分解-运用公式法（共1小题）
5．（2021 苏州）因式分解：x2﹣2x+1＝　（x﹣1）2　．
【解答】解：原式＝（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2
六．因式分解的应用（共1小题）
6．（2021 苏州）若m+2n＝1，则3m2+6mn+6n的值为 　3　．
【解答】解：∵m+2n＝1，
∴3m2+6mn+6n
＝3m(m+2n)+6n
＝3m×1+6n
＝3m+6n
＝3(m+2n)
＝3×1
＝3,
故答案为：3．
七．二次根式有意义的条件（共2小题）
7．（2020 苏州）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　x≥1　．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
8．（2019 苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　x≥6　．
【解答】解：若在实数范围内有意义，
则x﹣6≥0，
解得：x≥6．
故答案为：x≥6．
八．解二元一次方程组（共1小题）
9．（2019 苏州）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为　5　．
【解答】解：∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，
则a＝2，
故a+b＝5．
故答案为：5．
九．不等式的性质（共1小题）
10．（2021 苏州）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 　0＜x＜　．
【解答】解：由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，
根据0＜y＜1可知0＜﹣2x+1＜1，
∴﹣1＜﹣2x＜0，
∴0＜x＜．
故答案为：0＜x＜．
一十．坐标与图形性质（共1小题）
11．（2020 苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　　．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO＝，在Rt△CBE中，tan∠BCE＝，
∴＝，即，
解得n＝，
故答案为．
一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2020 苏州）若一次函数y＝3x﹣6的图象与x轴交于点（m，0），则m＝　2　．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣6的图象与x轴交于点（m，0），
∴3m﹣6＝0，
解得m＝2，
故答案为2．
一十二．七巧板（共1小题）
13．（2019 苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为　　cm（结果保留根号）．
【解答】解：10×10＝100（cm2）
＝（cm）
答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm．
故答案为：．
一十三．等腰三角形的性质（共1小题）
14．（2021 苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　54　°．
【解答】解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
一十四．勾股定理（共2小题）
15．（2020 苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　1　．
【解答】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1
∵EC＞0
∴EC＝1．
另解1：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，
即可得判定△CDE∽△BDA，
且相似比为1：2，
∴＝，
即CE＝1．
另解2：取AB中点F，连接DF、FE，
∴DF＝AB＝1，
∵E是AD中点，
∴FE＝BD，FE∥BD，
∵BD＝2DC，
∴FE∥DC，FE＝DC，
∴四边形FECD是平行四边形，
∴EC＝FD＝1，
故答案为：1．
16．（2019 苏州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为　5　．
【解答】解：连接OP，如图所示．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°．
∵PC⊥OA，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC＝CD＝1．
设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，
在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，
∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，
解得：r＝5．
故答案为：5．
一十五．菱形的性质（共1小题）
17．（2021 苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为 　　.（结果保留根号）
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH＝，
∴DB＝2，
故答案为2．
一十六．切线的性质（共1小题）
18．（2020 苏州）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是　25　°．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OBD＝∠AOC＝25°，
即∠ABD的度数为25°，
故答案为：25．
一十七．作图—复杂作图（共1小题）
19．（2020 苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝　　．
【解答】解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．
由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，
∵AD∥EO，
∴∠ADO＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∴AD＝OB，AD∥OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，
∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE＝10，
∴OE＝2OB＝20，
∴OD＝＝＝16，
∵DH⊥OE，
∴DH＝＝＝，
∴sin∠MON＝sin∠DBH＝＝＝．
故答案为．
一十八．旋转的性质（共1小题）
20．（2021 苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝　　．
【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，
过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，如图：
∵OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，
∴OB＝5，OC＝AC＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，
∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，
∴B'C'＝BC＝3，A'C'＝AC＝4，∠BOC＝∠B'OC'，
∵∠B'C'D＝∠B'C'O﹣∠DC'O＝90°﹣∠DC'O＝∠B'OC'，
∴cos∠B'C'D＝，
Rt△B'C'D中，＝，即＝，
∴C'D＝，
∵AE∥ON，
∴∠B'OC'＝∠C'A'E，
∴sin∠C'AE＝sin∠B'OC'＝sin∠BOC＝，
Rt△A'C'E中，＝，即＝，
∴C'E＝，
∴DE＝C'D+C'E＝，
而A'H⊥ON，C'D⊥ON，A'E⊥DC'，
∴四边形A'EDH是矩形，
∴A'H＝DE，即A'到ON的距离是．
故答案为：．
方法二：过A作AC⊥OB于C，如图：
由旋转可知：点A′到射线ON的距离d＝AC，
∵OB AC＝OA BD，
∴AC＝＝．
一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2019 苏州）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为　（10）　cm2（结果保留根号）．
【解答】解：如图，
EF＝DG＝CH＝，
∵含有45°角的直角三角板，
∴BC＝，GH＝2，
∴FG＝8﹣﹣2﹣＝6﹣2，
∴图中阴影部分的面积为：
8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2
＝32﹣22+12
＝10+12（cm2）
答：图中阴影部分的面积为（10）cm2．
故答案为：（10）．
二十．概率公式（共1小题）
22．（2019 苏州）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为　　．
【解答】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个，
故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为：．
故答案为：．
二十一．几何概率（共2小题）
23．（2021 苏州）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　　．
【解答】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，
所以该小球停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
24．（2020 苏州）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　　．
【解答】解：若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，
所以该小球停留在黑色区域的概率是＝，
故答案为：．江苏省苏州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-选择题
一．相反数（共1小题）
1．（2019 苏州）5的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．（2019 苏州）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.26×108 B．2.6×108 C．26×106 D．2.6×107
三．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
3．（2020 苏州）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A．1.64×10﹣5 B．1.64×10﹣6 C．16.4×10﹣7 D．0.164×10﹣5
四．实数大小比较（共1小题）
4．（2020 苏州）在下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．
五．同底数幂的除法（共1小题）
5．（2020 苏州）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．a3÷a＝a3
C．（a2）3＝a5 D．（a2b）2＝a4b2
六．分式的化简求值（共1小题）
6．（2021 苏州）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
七．二次根式的性质与化简（共1小题）
7．（2021 苏州）计算（）2的结果是（　　）
A． B．3 C．2 D．9
八．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
8．（2021 苏州）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
九．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
9．（2019 苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
一十．解一元一次不等式（共1小题）
10．（2020 苏州）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
一十一．动点问题的函数图象（共1小题）
11．（2021 苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
一十二．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2021 苏州）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
一十三．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
13．（2019 苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（　　）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
一十四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
14．（2020 苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　）
A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，）
一十五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
15．（2021 苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
一十六．平行线的性质（共1小题）
16．（2019 苏州）如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（　　）
A．126° B．134° C．136° D．144°
一十七．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2021 苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（　　）
A．1 B． C． D．
一十八．菱形的性质（共1小题）
18．（2019 苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
一十九．切线的性质（共1小题）
19．（2019 苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　）
A．54° B．36° C．32° D．27°
二十．扇形面积的计算（共1小题）
20．（2020 苏州）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣
二十一．旋转的性质（共2小题）
21．（2021 苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2020 苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（　　）
A．18° B．20° C．24° D．28°
二十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2019 苏州）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．8
二十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
24．（2020 苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
25．（2019 苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（　　）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
二十四．简单几何体的三视图（共1小题）
26．（2021 苏州）如图，圆锥的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
二十五．简单组合体的三视图（共1小题）
27．（2020 苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
二十六．算术平均数（共1小题）
28．（2021 苏州）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如表：
班级 一班 二班 三班 四班 五班
废纸重量（kg） 4.5 4.4 5.1 3.3 5.7
则每个班级回收废纸的平均重量为（　　）
A．5kg B．4.8kg C．4.6kg D．4.5kg
二十七．加权平均数（共1小题）
29．（2020 苏州）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：
日走时误差 0 1 2 3
只数 3 4 2 1
则这10只手表的平均日走时误差（单位：s）是（　　）
A．0 B．0.6 C．0.8 D．1.1
二十八．中位数（共1小题）
30．（2019 苏州）有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
江苏省苏州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-选择题
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2019 苏州）5的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【解答】解：5的相反数是﹣5．
故选：D．
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．（2019 苏州）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.26×108 B．2.6×108 C．26×106 D．2.6×107
【解答】解：将26000000用科学记数法表示为：2.6×107．
故选：D．
三．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
3．（2020 苏州）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A．1.64×10﹣5 B．1.64×10﹣6 C．16.4×10﹣7 D．0.164×10﹣5
【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故选：B．
四．实数大小比较（共1小题）
4．（2020 苏州）在下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．
【解答】解：将﹣2，，0，在数轴上表示如图所示：
于是有﹣2＜0＜＜，
故选：A．
五．同底数幂的除法（共1小题）
5．（2020 苏州）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．a3÷a＝a3
C．（a2）3＝a5 D．（a2b）2＝a4b2
【解答】解：a2 a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意；
a3÷a＝a3﹣1＝a2，因此选项B不符合题意；
（a2）3＝a2×3＝a6；因此选项C不符合题意；
（a2b）2＝a4b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
六．分式的化简求值（共1小题）
6．（2021 苏州）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：方法一：+
＝
＝
＝，
∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴ab≠0，
当a+b＝0时，原式＝＝﹣2，
故选：A．
方法二：∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴+
＝
＝﹣1+（﹣1）
＝﹣2，
故选：A．
七．二次根式的性质与化简（共1小题）
7．（2021 苏州）计算（）2的结果是（　　）
A． B．3 C．2 D．9
【解答】解：（）2＝3．
故选：B．
八．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
8．（2021 苏州）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．
故选：D．
九．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
9．（2019 苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：设软面笔记本每本售价为x元，
根据题意可列出的方程为：＝．
故选：A．
一十．解一元一次不等式（共1小题）
10．（2020 苏州）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．
故选：C．
一十一．动点问题的函数图象（共1小题）
11．（2021 苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，
∴CD＝10﹣1﹣1＝8，
∵PC＝t，
∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，
设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：
2πr＝；．
解得：r＝，R＝，
∴两个圆锥的底面面积之和为S＝
＝
＝，
根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．
故选：D．
一十二．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2021 苏州）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【解答】解：∵点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，
∴m＝2+1，n＝2×+1＝3+1＝4，
∵2+1＜4，
∴m＜n，
故选：C．
一十三．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
13．（2019 苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（　　）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．
故选：D．
一十四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
14．（2020 苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　）
A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，）
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2＝，
∴k＝6，
∴反比例函数y＝，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（3，2），
则2＝3m，
∴m＝，
∴OB的解析式为y＝x，
∵反比例函数y＝经过点C，
∴设C（a，），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为，
∵OB的解析式为y＝x，
∴B（，），
∴BC＝﹣a，
∴S△OBC＝××（﹣a），
∴2×××（﹣a）＝，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴B（，3），
故选：B．
解法2：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2＝，
∴k＝6，
∴反比例函数y＝，
同上得：B（，），
∴BC＝﹣a，
∵平行四边形OABC的面积是，
∴（﹣a）×＝，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴B（，3），
故选：B．
一十五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
15．（2021 苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+） ﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3） ﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3） ﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
一十六．平行线的性质（共1小题）
16．（2019 苏州）如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（　　）
A．126° B．134° C．136° D．144°
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，∠1＝54°，
∴∠1＝∠3＝54°，
∴∠2＝180°﹣54°＝126°．
故选：A．
一十七．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2021 苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CE＝AC＝，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D＝＝．
故选：B．
一十八．菱形的性质（共1小题）
18．（2019 苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝6，
∴AB'＝＝＝10；
故选：C．
一十九．切线的性质（共1小题）
19．（2019 苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　）
A．54° B．36° C．32° D．27°
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABO＝36°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠ADC＝∠OAD，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，
∴∠ADC＝∠AOB＝27°；
故选：D．
二十．扇形面积的计算（共1小题）
20．（2020 苏州）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，
故选：B．
二十一．旋转的性质（共2小题）
21．（2021 苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；
B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；
C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；
D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
22．（2020 苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（　　）
A．18° B．20° C．24° D．28°
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
二十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2019 苏州）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．8
【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，
∴S△DEC：S△ACB＝1：4，
∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，
∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，
∴S△ACB＝4，
故选：B．
二十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
24．（2020 苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝b tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．
25．（2019 苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（　　）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°，
∴∠ADE＝30°，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE tan30°＝18m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，
故选：C．
二十四．简单几何体的三视图（共1小题）
26．（2021 苏州）如图，圆锥的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，
故选：A．
二十五．简单组合体的三视图（共1小题）
27．（2020 苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
二十六．算术平均数（共1小题）
28．（2021 苏州）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如表：
班级 一班 二班 三班 四班 五班
废纸重量（kg） 4.5 4.4 5.1 3.3 5.7
则每个班级回收废纸的平均重量为（　　）
A．5kg B．4.8kg C．4.6kg D．4.5kg
【解答】解：每个班级回收废纸的平均重量为×（4.5+4.4+5.1+3.3+5.7）＝4.6（kg），
故选：C．
二十七．加权平均数（共1小题）
29．（2020 苏州）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：
日走时误差 0 1 2 3
只数 3 4 2 1
则这10只手表的平均日走时误差（单位：s）是（　　）
A．0 B．0.6 C．0.8 D．1.1
【解答】解：＝＝1.1，
故选：D．
二十八．中位数（共1小题）
30．（2019 苏州）有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
【解答】解：这组数据排列顺序为：2，2，4，5，7，
∴这组数据的中位数为4，
故选：B．江苏省苏州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题
一．实数的运算（共3小题）
1．（2021 苏州）计算：+|﹣2|﹣32．
2．（2020 苏州）计算：+（﹣2）2﹣（π﹣3）0．
3．（2019 苏州）计算：（）2+|﹣2|﹣（π﹣2）0
二．分式的化简求值（共2小题）
4．（2021 苏州）先化简，再求值：（1+） ，其中x＝﹣1．
5．（2019 苏州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中，x＝﹣3．
三．解二元一次方程组（共1小题）
6．（2021 苏州）解方程组：．
四．解分式方程（共1小题）
7．（2020 苏州）解方程：+1＝．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2019 苏州）解不等式组：
六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2020 苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
七．一次函数的应用（共2小题）
10．（2021 苏州）如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．
（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．
11．（2020 苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
日期 销售记录
6月1日 库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日 从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日 补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日 800kg水果全部售完，一共获利1200元．
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
12．（2021 苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，一次函数y＝﹣3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求k的值．
13．（2019 苏州）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
14．（2020 苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
一十．二次函数综合题（共2小题）
15．（2021 苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．
16．（2019 苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020 苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．
一十二．四边形综合题（共1小题）
18．（2019 苏州）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点M的运动速度为 　 　cm/s，BC的长度为 　 　cm；
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）
①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；
②试探究S1 S2是否存在最大值，若存在，求出S1 S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．
一十三．圆内接四边形的性质（共1小题）
19．（2021 苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．
一十四．圆的综合题（共2小题）
20．（2020 苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
21．（2019 苏州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
一十五．旋转的性质（共1小题）
22．（2019 苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2020 苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
一十七．相似形综合题（共1小题）
24．（2021 苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　 　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
一十八．条形统计图（共2小题）
25．（2021 苏州）某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 　 　名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占 　 　%；
（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？
26．（2019 苏州）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝　 　，n＝　 　；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
一十九．中位数（共1小题）
27．（2020 苏州）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是　 　．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量 平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分
100 93.5 100% 70% 100 80
分数段统计（学生成绩记为x）
分数段 0≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
频数 0 5 25 30 40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
二十．列表法与树状图法（共2小题）
28．（2020 苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
29．（2019 苏州）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是　 　；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．
二十一．游戏公平性（共1小题）
30．（2021 苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 　 　；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
江苏省苏州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2021 苏州）计算：+|﹣2|﹣32．
【解答】解：原式＝2+2﹣9
＝﹣5．
2．（2020 苏州）计算：+（﹣2）2﹣（π﹣3）0．
【解答】解：+（﹣2）2﹣（π﹣3）0．
＝3+4﹣1，
＝6．
3．（2019 苏州）计算：（）2+|﹣2|﹣（π﹣2）0
【解答】解：原式＝3+2﹣1
＝4．
二．分式的化简求值（共2小题）
4．（2021 苏州）先化简，再求值：（1+） ，其中x＝﹣1．
【解答】解：（1+）
＝
＝
＝x+1，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．
5．（2019 苏州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中，x＝﹣3．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝＝＝．
三．解二元一次方程组（共1小题）
6．（2021 苏州）解方程组：．
【解答】解：
由①式得y＝3x+4，
代入②式得x﹣2（3x+4）＝﹣3
解得x＝﹣1
将x＝﹣1代入②式得﹣1﹣2y＝﹣3，得y＝1
∴方程组解为
四．解分式方程（共1小题）
7．（2020 苏州）解方程：+1＝．
【解答】解：方程的两边同乘x﹣1，得x+（x﹣1）＝2，
解这个一元一次方程，得，
经检验，是原方程的解．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2019 苏州）解不等式组：
【解答】解：解不等式x+1＜5，得：x＜4，
解不等式2（x+4）＞3x+7，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜1．
六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2020 苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16．
七．一次函数的应用（共2小题）
10．（2021 苏州）如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．
（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．
【解答】解：（1）如图②中，连接FH，
∵正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，
∴AB＝10米，
∴容器甲的容积＝102×6＝600（立方米），
∵∠FEH＝90°，
∴FH为直径，
在Rt△EFH中，EF＝2EH，FH＝10米，
∴EH2+4EH2＝100，
∴EH＝2（米），EF＝4（米），
∴容器乙的容积＝2×4×6＝240（立方米）．
（2）①当t＝4时，h＝﹣＝1.5，
∵MN∥t轴，
∴M（4，1.5），N（6，1.5），
∵6小时后的高度差为1.5米，
∴﹣＝1.5，
解得a＝37.5．
②当注水t小时后，由h乙﹣h甲＝0，可得﹣＝0，
解得t＝9，即P（9，0），
设线段PN所在的直线的解析式为h＝kt+m，
∵N（6，1.5），P（9，0）在直线PN上，
∴，
解得，
∴线段PN所在的直线的解析式为h＝﹣t+．
11．（2020 苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
日期 销售记录
6月1日 库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日 从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日 补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日 800kg水果全部售完，一共获利1200元．
【解答】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元）
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：
（10﹣8）×[600﹣（a﹣200）]+（10﹣8.5）×200＝1200，
解这个方程，得a＝350，
∴点B坐标为（350，400），
设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），则：
，解得，
∴线段BC所在直线对应的函数表达式为．
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
12．（2021 苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，一次函数y＝﹣3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求k的值．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+k，得x＝，
∴C（，0），
.∵BC⊥x轴，
∴点B横坐标为，
把x＝代入y＝，得y＝3，
∴B（，3），
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∴D（，3），
∵点D在直线y＝﹣3x+k上，
∴3＝﹣3×+k，
∴k＝6．
13．（2019 苏州）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝2×6＝12．
（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
14．（2020 苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即﹣b＝2，解得：b＝﹣4，
（2）∵b＝﹣4
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，
由，解得；
由，解得．
一十．二次函数综合题（共2小题）
15．（2021 苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣（m+1）x+m＝0，解得x＝1或m，
故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），
则点C的横坐标为（m+1），即点C的坐标为（，0）；
（2）由点C的坐标知，CO＝＝CE，
故BC＝OB﹣CO＝1﹣（m+1）＝，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠ODC＝90°，
∴∠DBC＝∠ODC，
∴tan∠DBC＝tan∠ODC，即CD2＝CO BC＝（m+1）（1﹣m）＝，
∵点C是OE中点，则CD为三角形EOF的中位线，
则FO2＝（2CD）2＝4CD2＝1﹣m2，
在Rt△AOF中，AF2＝AO2+OF2＝m2+1﹣m2＝1，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，
理由：△AFQ的周长＝AF+FQ+AQ＝1+QF+BQ＝1+BF为最小，
即1+BF＝，
则BF2＝OF2+OB2＝1﹣m2+1＝（﹣1）2，解得m＝，
∵﹣1＜m＜0，
故m＝﹣．
16．（2019 苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴
解得：a＝﹣3，a＝4（舍去）
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，
∵由A（﹣3，0），B（1，0），
∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1
将x＝﹣1代入y＝﹣x，
解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）
（3）作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP＝AB PM＝×4d
∵S△PQB＝S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等，
∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y＝x+b
∵直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1
联立
解得：
∴点P坐标为（﹣4，﹣5）
又∵∠PAQ＝∠AQB，
∴∠BPA＝∠PBQ，
∴AP＝QB，
在△PBQ与△BPA中，
，
∴△PBQ≌△ABP（SAS），
∴PQ＝AB＝4
设Q（m，m+3）
由PQ＝4得：
解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去）
∴Q坐标为（﹣4，﹣1）
一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020 苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．
【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD（AAS），
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP+PC＝AB+CD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴＝＝．
一十二．四边形综合题（共1小题）
18．（2019 苏州）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点M的运动速度为 　2　cm/s，BC的长度为 　10　cm；
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）
①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；
②试探究S1 S2是否存在最大值，若存在，求出S1 S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵t＝2.5s时，函数图象发生改变，
∴t＝2.5s时，M运动到点B处，
∴动点M的运动速度为：＝2cm/s，
∵t＝7.5s时，S＝0，
∴t＝7.5s时，M运动到点C处，
∴BC＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm），
故答案为：2，10；
（2）①∵两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），
∴当在点C相遇时，v＝＝（cm/s），
当在点B相遇时，v＝＝6（cm/s），
∴动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/s＜v≤6cm/s；
②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图3所示：
则EF∥BC，EF＝BC＝10，
∴＝，
∵AC＝＝5，
∴＝，
解得：AF＝2，
∴DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，PF＝＝4，
∴EP＝EF﹣PF＝6，
∴S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM﹣S△ABM＝×4×2+（4+2x﹣5）×3﹣×5×（2x﹣5）＝﹣2x+15，
S2＝S△DPM＝S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM＝×2×6+（6+15﹣2x）×3﹣×5×（15﹣2x）＝2x，
∴S1 S2＝（﹣2x+15）×2x＝﹣4x2+30x＝﹣4（x﹣）2+，
∵2.5＜＜7.5，在BC边上可取，
∴当x＝时，S1 S2的最大值为．
一十三．圆内接四边形的性质（共1小题）
19．（2021 苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE于M，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM tan∠2＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝．
一十四．圆的综合题（共2小题）
20．（2020 苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，OB＝BD．
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OB＝BD＝x，PD＝8﹣t﹣x，
∵BD∥OQ，
∴，
∴，
∴x＝．
∴OB＝＝﹣（0＜t＜8）．
∵﹣＜0．
∴当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为2cm．
（3）方法一：∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圆的直径．
∴∠PCQ＝90°．
∵∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．
∴S△PCQ＝PC QC＝PQ＝PQ2．
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．
∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝，
＝，
＝4t﹣+16﹣4t＝16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
方法二：
过点C作CD⊥ON，CE⊥OM，
∵CP＝CQ，∠PCE+∠QCE＝∠QCD+∠QCE＝90°，
∴∠PCE＝∠QCD，
∴Rt△QCD≌Rt△CPE（AAS），
∴S△QCD＝S△CPE，
∴S四边形CPOQ＝S正方形OECD，
∵OE+OD＝OP+OQ＝8，
∴OE＝OD＝4，
∴S四边形CPOQ＝42＝16．
21．（2019 苏州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，
所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
而∠BOD＝2∠BAD，
所以∠CAB＝∠BOD，
所以DO∥AC；
（2）∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，
∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝，
设：DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴＝3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD＝，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA＝．
一十五．旋转的性质（共1小题）
22．（2019 苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2020 苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
一十七．相似形综合题（共1小题）
24．（2021 苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　＝　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE PH＝2ab，PG PF＝2ab，
∴PP2 PH＝PP1 PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝（）2＝，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝（）2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．
一十八．条形统计图（共2小题）
25．（2021 苏州）某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 　50　名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占 　10　%；
（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？
【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为＝50（名），
剪纸的人数有：50﹣15﹣10﹣5＝20（名），补全统计图如下：
故答案为：50；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生所占的百分比是：×100%＝10%．
故答案为：10；
（3）1000×＝200（名），
答：估计选择“刺绣”课程的学生有200名．
26．（2019 苏州）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝　36　，n＝　16　；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），
航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），
补全图形如下：
（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，
即m＝36、n＝16，
故答案为：36、16；
（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%＝192（人）．
一十九．中位数（共1小题）
27．（2020 苏州）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是　方案三　．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量 平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分
100 93.5 100% 70% 100 80
分数段统计（学生成绩记为x）
分数段 0≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
频数 0 5 25 30 40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在90≤x＜95，因此中位数在90≤x＜95组中；
②由题意得，1200×70%＝840（人），
答：该校1200名学生中达到“优秀”的有840人．
二十．列表法与树状图法（共2小题）
28．（2020 苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
【解答】解：用列表格法表示点A所有可能的情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中点A在坐标轴上有5种，
∴P（点A在坐标轴上）＝．
29．（2019 苏州）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是　　；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．
【解答】解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为＝，
故答案为：．
（2）根据题意列表得：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，
所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为＝．
二十一．游戏公平性（共1小题）
30．（2021 苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 　　；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
0 1 ﹣2 3
0 1 ﹣2 3
1 ﹣1 ﹣3 2
﹣2 2 3 5
3 ﹣3 ﹣2 ﹣5
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
∴此游戏公平．

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