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高一期末复习（一）
1．（2021·湖北·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
(1)求的值；(2)记复数，求复数的模．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：知是关于的方程的一个根，
所以，即，
所以，解得.
所以
(2)解：由（1）得复数，
所以
所以复数的模为
2．（2021·河北安平中学高一期末）如图所示，某镇有一块空地，其中 km， km，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M、N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的一周安装防护网．
(1)当 km时，求OM长度；
(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；
(3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)；(2)；(3)，﹒
【解析】(1)在Rt△OAB中，tan∠OAB＝，∴∠OAB＝60°，
在中，，，，
由余弦定理得
＝；
(2)设，∵，
∴，即，
在中，由正弦定理得，，
即，即，即，
由，得，∴，即；
(3)设，由(2)知，
又在中，由，得，
∴，
∴当且仅当，即时，
的面积取最小值为﹒
3．（2022·全国·高二期末）矩形ABCD中，，，E、F分别为CD，AB边上的点，且，，将沿BE折起至位置（如图所示），联结AP、PF，其中．
(1)求证：平面平面ABDE；
(2)在线段PA上是否存在点Q使得平面PBE？若存在，求出点Q的位置，若不存在，请说明理由；
(3)求点A到平面PBE的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)当为的三等分点（靠近时，平面．(3)
【解析】(1)证明：连结，
由翻折不变性可知，，，又，
在中，，
所以
在图1中，利用勾股定理，得，
在中，，
，
又，平面，平面，
平面．
平面，
平面平面
(2)解：当为的三等分点（靠近时，平面．
证明如下：
，，
又平面，平面，
平面．
(3)解：由（1）知平面，
为三棱锥的高．
设点到平面的距离为，
由等体积法得，
即，
又，，
，
即点到平面的距离为．
4．（2022·全国·高二期末）如图，在五棱锥中，平面，，．
(1)求二面角的大小；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，即，
又平面，面，则，
，故面，面，则，
所以二面角的平面角为，
在△中且，则.
故二面角的大小为.
(2)由（1）知：，令到面的距离为，所以，
又，，则，
又，故，可得.
由，又平面，面，
则，，故面，且面，
所以，则在△中，，故，
综上，直线与平面所成角的正弦值.
5．（2022·河北深州市中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，
，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
(2)由（1）知，，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
6．（2021·湖南师大附中高一期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．
(1)求直方图中的值；
(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．
【答案】(1)0.01；(2)中位数是，平均数是；(3).
【解析】
(1)由频率分布直方图得：.
(2)由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62，
因此，该校语文成绩的中位数，则，解得，
语文成绩的平均数为，
所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是.
(3)由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人，
因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人，
记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F，
从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能，
选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：，
所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是.
7．（2021·湖南师大附中高一期末）锐角的三个内角是，满足．
(1)求角的大小及角的取值范围；
(2)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．
【答案】(1)，角的取值范围为；(2)
【解析】(1)设的外接圆的半径为，
因为，
由正弦定理可得，，，
所以，又，
所以，因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
所以角的取值范围为；
(2)由已知为的外接圆的圆心，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，所以，
设，则，
又，所以
所以
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围为.
8．（2021·湖南师大附中高一期末）如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，
证明：平面平面；
若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)连接OM，MN，如图，是半圆上的两个三等分点，则有，
而，即有都为正三角形，因此，，
四边形是菱形，，而，，平面，
因此，平面，平面，
所以平面平面.(2)由（1）知，平面平面，平面平面，则点在底面圆内的射影在上，因点在底面圆内的射影在上，因此，点在底面圆内的射影是与的交点，即平面，有，，
，而，即有，取的中点，连，于是得，则有是二面角的平面角，在中，，
所以，
所以二面角的余弦值是.
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