资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2021-2022学年浙教版七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1
2．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）
A．130° B．110° C．80° D．70°
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．a3×a4＝a12 B．a5÷a＝a5 C．（ab2）＝ab6 D．（a3）2＝a6
4．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有0.000 000 07克．数据0.000 000 07用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣7 B．7×10﹣7 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．a2+8ab+16b2＝（a+4b）2 B．a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）
C．4a2+2ab+b2＝（2a+b）2 D．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2
6．“端午节”放假后，赵老师从七年级650名学生中随机抽查了其中50名学生的数学作业，发现有5名学生的作业不合格，下面判断正确的是（　　）
A．赵老师采用全面调查方式
B．个体是每名学生
C．样本容量是650
D．该七年级学生约有65名学生的作业不合格
7．若x2+2（2p﹣3）x+4是完全平方式，则p的值等于（　　）
A． B．2 C．2或1 D．或
8．使得分式的值为零时，x的值是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝﹣4或x＝4 D．以上都不对
9．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（　　）
A． B．
C． D．
10．已知关于x，y的方程组，以下结论：
①当x＝1，y＝2时，k＝3；②当k＝0，方程组的解也是y﹣x＝的解；③存在实数k，使x+y＝0；④不论k取什么实数，x+9y的值始终不变，
其中正确的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．因式分解：a2﹣2a＝　 　．
12．对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是7，频率是0.2，那么该班级的人数是　 　人．
13．3x2y （　 　）＝18x4y3．
14．若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为　 　．
15．如图，将一条两边平行的纸带折叠，当∠2＝80°，则∠1＝　 　．
16．六张形状大小完全相同的小长方形卡片，分两种不同形式不重叠地放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分图形的周长为l1，图2中两个阴影部分图形的周长和为l2，则用含m，n的代数式表示l1＝　 　，l2＝　 　，若l1＝l2，则m＝　 　．（用含n的代数式表示）．
三、解答题（共66分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣1）2019+（﹣3）﹣1+（π﹣0.1）0；
（2）（2a+3）（3﹣2a）．
18．（6分）（1）解分式方程：﹣4＝；
（2）解二元一次方程组
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣），再从﹣2，﹣1，0，1，2选择一个你喜欢的数代入求值．
20．（8分）已知：如图，AB∥CD，DE∥BC．
（1）判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）若∠B＝（105﹣2x）°，∠D＝（5x+15）°，求∠B的度数．
21．（8分）某校5月组织了学生参加“学习强国”知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（满分为100分）进行统计，绘制如下不完整的频数直方图，若将频数直方图划分的五组从左至右依次记为A、B、C、D、E，绘制如下扇形统计图，请你根据图形提供的信息，解答下列问题：
（1）频数分布直方图中，A组的频数a＝　 　，并补全频数直方图；
（2）扇形统计图中，D部分所占的圆心角n＝　 　度；
（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
22．（10分）湖州奥体中心是一座多功能的体育场，目前体育场内有一块一长80m，宽60m的长方形空地，体育局希望将其改建成花园小广场，设计方案如图，阴影区域是面积为192平方米的绿化区（四块相同的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样．
（1）体育局先对四个绿化区域进行绿化，在完成工作量的后，施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍结果提前四天完成四个绿化区域的改造，问原计划每天绿化多少平方米？
（2）老师提出了一个问题：你能不能求出活动区的出口宽度是多少呢？
请你根据小丽的方法求出活动区的出口宽度，请把过程写下来．
23．（10分）[阅读理解]
我们知道，1+2+3+..+n＝，那么12+22+32+..+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行三角形中的数为1，即12，第2行两个三角形中数的和为2+2，即22，..；第n行n个三角形中数的和为即n2，这样，该三角形数阵中共有个三角形，所有三角形中数的和为12+22+32+…+n2．
[规律探究]
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置三角形中的数（如第n﹣1行的第一个三角形中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个三角形中数的和均为　 　，由此可得，这三个三角形数阵所有三角形中数的总和为3（12+22+32+..+n2）＝　 　，因此，12+22+32+..+n2＝　 　．
[解决问题]
根据以上发现，计算：
24．（12分）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 　，∠β＝　 　．
（2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠GHF的度数；
（3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出∠BAM的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】分母不为零，分式有意义，依此求解．
【解答】解：由题意得x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
2．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）
A．130° B．110° C．80° D．70°
【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义即可求得∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝110°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是数形结合思想的应用．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．a3×a4＝a12 B．a5÷a＝a5 C．（ab2）3＝ab6 D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，即可解答．
【解答】解：A、a3×a4＝a7，故本选项错误；
B、a5÷a＝a4，故本选项错误；
C、（ab2）3＝a3b6，故本选项错误；
D、正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方．
4．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有0.000 000 07克．数据0.000 000 07用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣7 B．7×10﹣7 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000007=7*10﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．a2+8ab+16b2＝（a+4b）2 B．a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）
C．4a2+2ab+b2＝（2a+b）2 D．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2
【分析】原式各项分解得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝（a+4b）2，正确；
B、原式＝（a2+4）（a+2）（a﹣2），错误；
C、原式不能分解，错误；
D、原式不能分解，
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．“端午节”放假后，赵老师从七年级650名学生中随机抽查了其中50名学生的数学作业，发现有5名学生的作业不合格，下面判断正确的是（　　）
A．赵老师采用全面调查方式
B．个体是每名学生
C．样本容量是650
D．该七年级学生约有65名学生的作业不合格
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、调查是抽查；
B、个体是每名学生的数学作业；
C、样本容量是50；
D、，所以该七年级学生约有65名学生的作业不合格．
故选：D．
【点评】本题考查样本估计总体、个体、样本容量等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
7．若x2+2（2p﹣3）x+4是完全平方式，则p的值等于（　　）
A． B．2 C．2或1 D．或
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出p的值．
【解答】解：∵x2+2（2p﹣3）x+4是完全平方式，
∴2p﹣3＝±2，
解得：p＝或，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．使得分式的值为零时，x的值是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝﹣4或x＝4 D．以上都不对
【分析】根据题意列出分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：根据题意列得：＝0，
去分母得：x﹣2﹣2（x﹣3）＝0，
去括号得：x﹣2﹣2x+6＝0，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据两点间直线距离最短，使DCAA′为平行四边形即可，即AA′垂直河岸且等于河宽，接连A′B即可．
【解答】解：作AA'垂直于河岸l2，使AA′等于河宽，
连接BA′，与另一条河岸相交于D1，
则CD∥AA′且CD＝AA′，
于是四边形DCAA′为平行四边形，故DA′＝CA，
根据“两点之间线段最短”，BA′最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
10．已知关于x，y的方程组，以下结论：
①当x＝1，y＝2时，k＝3；②当k＝0，方程组的解也是y﹣x＝的解；③存在实数k，使x+y＝0；④不论k取什么实数，x+9y的值始终不变，
其中正确的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】①把x＝1，y＝2代入方程组求出k，两个k相等即为所求；
②把k＝0代入方程组求出解，代入方程检验即可；
③方程组消元k得到x与y的方程，检验即可；
④方程组整理后表示出x+9y，检验即可．
【解答】解：①当x＝1，y＝2时，
第一个方程k+2＝1+4，解得k＝3，
第二个方程3k﹣1＝2﹣6，解得k＝﹣1，
故选项错误；
②当k＝0，方程组为，
解得，
y﹣x＝﹣4/7＝，
故选项正确；
③由x+y＝0，得到y＝﹣x，
代入方程组得：，即3（k+2）+3k﹣8＝0，
解得：k＝﹣，
则存在实数k＝﹣，使x+y＝8，
故选项正确；
④x+9y＝3（k+3）﹣（3k﹣1）＝5，故选项正确．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．因式分解：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　．
【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可．
12．对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是7，频率是0.2，那么该班级的人数是　35　人．
【分析】根据题意直接利用频数÷频率＝总数进而得出答案．
【解答】解：∵80.5～90.5分这一组的频数是8，频率是0.2，
∴该班级的人数是：7÷0.2＝35．
故答案为：35．
【点评】此题主要考查了频数与频率，正确利用频数与频率之间的关系求出是解题关键．
13．3x2y （　6x2y2　）＝18x4y3．
【分析】根据单项式乘以单项式法则求出即可．
【解答】解：18x4y3÷3x2y＝6x2y2，
故答案为：6x2y2．
【点评】本题考查了单项式乘以单项式法则，能熟记单项式乘以单项式法则的内容是解此题的关键．
14．若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为　1　．
【分析】设另一个因式为x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2+mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得m﹣n的值．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则x2+mx+n＝（x+1）（x+a）＝x2+ax+x+a＝x2+（a+1）x+a，
由此可得，
由①得：a＝m﹣1③，
把③代入②得：n＝m﹣1，
m﹣n＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．
15．如图，将一条两边平行的纸带折叠，当∠2＝80°，则∠1＝　70°　．
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝80°，
∵将一条上下两边互相平行的纸带折叠
∴∠3＝∠3＝80°，
∴∠5＝360°﹣90°﹣80°×5＝110°，
∴∠1＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．六张形状大小完全相同的小长方形卡片，分两种不同形式不重叠地放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分图形的周长为l1，图2中两个阴影部分图形的周长和为l2，则用含m，n的代数式表示l1＝　2m+2n　，l2＝　4n　，若l1＝l2，则m＝　　．（用含n的代数式表示）．
【分析】可先求出两个图形中阴影部分的周长，观察到图1中的可得阴影部分的周长与长方形ABCD的周长相等，再根据长方形周长计算可求出l1，对于图2可设小卡片的长为x，宽为y，则x+3y＝m，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解l2，再根据l1＝l2，即可求m、n的关系式．
【解答】解：图1中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为m，即图1中阴影部分的图形的周长l3＝2m+2n，
图2中，设小长形卡片的长为x，则x+3y＝m，
所求的两个长方形的周长之和为：2m+6（n﹣3y）+2（n﹣x），
整理得3m+4n﹣2m＝6n，
即l2＝4n，
∵l1＝l2，
∴2m+2n＝×4n，
整理得m＝．
故答案为：2m+2n，4n，．
【点评】考查了整式的加减，关键是灵活运用长方形周长计算公式．
三、解答题（共66分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣1）2019+（﹣4）﹣1+（π﹣0.1）0；
（2）（2a+3）（3﹣2a）．
【分析】（1）首先根据有理数的乘方、负整数指数幂的性质、零次幂的性质进行计算，然后再算加减法即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+1＝﹣；
（2）原式＝9﹣4a2．
【点评】此题主要考查了整式的运算和实数的运算，解题的关键是掌握平方差公式，掌握在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
18．（6分）（1）解分式方程：﹣4＝；
（2）解二元一次方程组
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣4x+12＝3，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，分式方程无解；
（2），
①×8+②得：10x＝20，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣6，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣），再从﹣2，﹣1，0，1，2选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝
＝，
当a＝﹣2，5，2时；
当a＝0时，原式＝﹣；
当a＝﹣1时，原式＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）已知：如图，AB∥CD，DE∥BC．
（1）判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）若∠B＝（105﹣2x）°，∠D＝（5x+15）°，求∠B的度数．
【分析】（1）先根据直线AB∥CD得出∠1+∠B＝180°，再由DE∥BC得出∠1＝∠D，由此可得出结论；
（2）根据（1）中的结论列出关于x的方程，求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：（1）如图，∵直线AB∥CD，
∴∠1+∠B＝180°，
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠D，
∴∠B+∠D＝180°．
（2）依题意有105﹣6x+5x+15＝180，
解得x＝20，
∴∠B＝105°﹣2×20°＝65°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
21．（8分）某校5月组织了学生参加“学习强国”知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（满分为100分）进行统计，绘制如下不完整的频数直方图，若将频数直方图划分的五组从左至右依次记为A、B、C、D、E，绘制如下扇形统计图，请你根据图形提供的信息，解答下列问题：
（1）频数分布直方图中，A组的频数a＝　16　，并补全频数直方图；
（2）扇形统计图中，D部分所占的圆心角n＝　126　度；
（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
【分析】（1）由于B组有40人，所占百分比为20%，则可计算出调查的总人数，然后计算A组的频数a的值，再计算出C组的频数后补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以D组的频率可得到n的值；
（3）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可．
【解答】解：（1）样本容量为40÷20%＝200，
则a＝200×8%＝16，
C组的人数是：200×25%＝50．
频数直方图补充如下：
故答案为：16；
（2）n＝360×＝126．
故答案为：126；
（3）∵样本D、E两组的百分数的和为1﹣25%﹣20%﹣7%＝47%，
∴2000×47%＝940（名）．
答：估计成绩优秀的学生有940名．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
22．（10分）湖州奥体中心是一座多功能的体育场，目前体育场内有一块一长80m，宽60m的长方形空地，体育局希望将其改建成花园小广场，设计方案如图，阴影区域是面积为192平方米的绿化区（四块相同的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样．
（1）体育局先对四个绿化区域进行绿化，在完成工作量的后，施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍结果提前四天完成四个绿化区域的改造，问原计划每天绿化多少平方米？
（2）老师提出了一个问题：你能不能求出活动区的出口宽度是多少呢？
请你根据小丽的方法求出活动区的出口宽度，请把过程写下来．
【分析】（1）设原计划每天绿化x平方米，根据施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍结果提前四天完成四个绿化区域的改造，列出方程即可求解；
（2）设直角三角形较长直角边为x米，较短直角边为y米，根据出口宽度一样；阴影区域是面积为192平方米的绿化区；列出方程组即可求解．
【解答】解：（1）设原计划每天绿化x平方米，则
﹣＝6，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解．
故原计划每天绿化16平方米；
（2）设直角三角形较长直角边为x米，较短直角边为y米，则
，，
∵（x+y）5＝（x﹣y）2+4xy＝484，
∴x+y＝22，
再由可得．
故活动区的出口宽度是80﹣2x＝80﹣32＝48米．
【点评】本题是有关几何图形的应用问题，考查了分式方程、二元二次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．．
23．（10分）[阅读理解]
我们知道，1+2+3+..+n＝，那么12+22+32+..+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行三角形中的数为1，即12，第2行两个三角形中数的和为2+2，即22，..；第n行n个三角形中数的和为即n2，这样，该三角形数阵中共有个三角形，所有三角形中数的和为12+22+32+…+n2．
[规律探究]
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置三角形中的数（如第n﹣1行的第一个三角形中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个三角形中数的和均为　2n+1　，由此可得，这三个三角形数阵所有三角形中数的总和为3（12+22+32+..+n2）＝　　，因此，12+22+32+..+n2＝　　．
[解决问题]
根据以上发现，计算：
【分析】【规律探究】将同一位置三角形中的数相加即可，所有三角形中的数的和应等于同一位置三角形中的数的和乘以三角形的个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案；
【解决问题】运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得．
【解答】解：【规律探究】
由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n＝3n+1，
由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
3（22+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（6+2+3+…+n）＝，
因此12+42+32+…+n2＝；
【解决问题】
原式＝＝．
故答案为：5n+1，，．
【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律，并运用规律解决实际问题是解题的关键．
24．（12分）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　15°　，∠β＝　150°　．
（2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠GHF的度数；
（3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出∠BAM的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠E＝∠α+∠BAC，
∴α＝∠E﹣∠BAC＝60°﹣45°＝15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β＝180°﹣∠DFE＝180°﹣30°＝150°；
故答案为：15°；150°；
（2）∵PQ∥MN，
∴∠GEF＝∠CAB＝45°，
∴∠FGQ＝75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH＝37.5°，∠GFH＝75°，
∴∠FHG＝67.5°；
（3）当BC∥DE时，如图4，
此时∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠MAE+∠CAE，∠BAM＝∠MAE+∠CAE﹣∠BAC＝45°+30°﹣45°＝30°，
当BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°，
当BC∥DF时，如图3，
此时，AC∥DE，
∴∠BAM＝∠MAN﹣∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣45°＝120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑