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2022全国新高考1卷数学评析
——立意新颖，界定明确，有效区分
“立意新颖，不为题海战术开方便之门。界定明确，对一线教师的教学有导向功能。有效区分，让不同水平的学生高低立显。[1]”这是命题研究组对2022全国新高考1卷数学的总体感知。落实到2022全国新高考1卷数学的试题教学，这种感触逐步加深。
2022全国数学高考落下帷幕，命题研究组通过研题、试讲、回顾、反思，对2022年全国新高考1卷数学题，深受启发，特撰写此文。
立意新颖，不为题海战术开方便之门
2022全国高考数学试题颇具江苏特色。譬如：选择题压轴题第8题，解答题压轴题第21题等。
选择题第8题及其出题背景研究
该题为2016年江苏高考试题第17题的改编。选项具有迷惑性，做到了“有效区分”。命题研究组研究员在给高一学生讲解第8题时，发现：有高一学生，采用“极端思想”，求得答案为B。实则答案为C。
参考答案：；注意到
，故，答案选C，而非B。
本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题。
教材习题 求函数的最大值。
试题修改 对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理方向：处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为”.
（1）按处理方向处理，形成1稿.
1稿 已知一正四棱锥的高为,侧棱长为，记，求其体积的最大值及此时的长。
提示：，
2稿 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥，其侧棱长为，其底面正方形的中心为,下部分形状为正四棱柱，其底面正方形的中心为,要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.
2稿分析：记，则；注意到，当且仅当，即时，等号成立；
，. 2016年江苏高考第17题为2稿的特例（高考题为的情况，,）
按处理方向处理，形成问题变式.
变式 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为,底面圆圆心为的圆锥，其母线长为，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为，要求圆柱的高是圆锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.
注：该例为笔者文章“[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J]. 文理导航(中旬),2017,(02)”节选。也是《江苏高考数学复习指南》（刘蒋巍著）、《中学学科学法指导》（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：《拓展阅读1：2019江苏19题第3问及其新解法》
解答题第21题及其出题背景研究
笔者长期从事竞赛数学教学工作。当笔者看到2022年全国卷第21题时，颇感熟悉。
其出题背景为：“当点在曲线上时，过点A作两条斜率互为相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为P，Q，则直线PQ的斜率为定值。”
这让笔者联想到2009年、2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题。（解答见《拓展阅读2》）
原题如下：
（2009年江苏高中联赛复赛解答题第3题）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，，，．证明：，，，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补．
（2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题） 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线与椭圆分别交于和，且直线的斜率互为相反数.
（1）证明：；
（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值.
引理　过不在曲线上的点作两条直线分别与椭圆交于和两点，且直线的倾斜角互补，则．
证明：设过点倾斜角为的直线参数方程为(t为参数)，
与椭圆E联立方程组，整理得：
所以．同理可得，
故成立．
反之，若，也有，即倾斜角互补．
由于非平行的等长线段在同一伸缩变换作用下所得线段长度是不一定相等的，需要增加条件“两条直线倾斜角互补”，椭圆中的“割线定理”才能成立．
当点在椭圆的内部时，即为相交弦定理；
当点在椭圆的外部时，即为割线定理；
当点在曲线上时，过点作两条斜率互为相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为，则直线的斜率为定值．（2022年全国1卷第21题出题背景）
若曲线为椭圆时，；
若曲线为椭圆时，；
若曲线为抛物线时，；
推论1：过点作两条直线分别与椭圆交于和两点，且直线的斜率互为相反数，则．
推论2：过点作两条直线分别与双曲线交于A,B与C,D两点，且直线的斜率互为相反数，则．
推论3：过点作两条直线分别与抛物线交于A,B与C,D两点，且直线的斜率互为相反数，则．
界定明确，对一线教师的教学有导向功能
“基础题送分到位，中档题多题把关，难题有效区分。”
选择题第6题为中档题，此类问题在往年全国卷及2021~2022年模考卷中常有涉及。方法较多，譬如：构造函数法。此类问题，需要考生熟悉常见的函数模型。
参考答案：C
类似考题：
另外，多选题第12题、填空题第16题均属于把关题，能够有效区分不同水平的学生。
有效区分，让不同水平的学生高低立显
2022年全国1卷第22题，第1问是期望大部分学生能够得到分数的。时间来不及的学生，也可以通过猜想：a=1并验证，得到一点分数。但第1问，要拿满分，需要分类讨论。第2问，则需要严谨证明。在全卷多题把关的情况下，第22题取得满分，实属凤毛麟角了。
参考文献
刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析[J].中学数学教学参考,2018(07):60-61.
例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J]. 文理导航(中旬),2017,(02)
拓展阅读1：《2019江苏19题第3问及其新解法》
设函数、为f（x）的导函数．
若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
（3）因为，所以，
．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以的极大值．
解法三：
注意到：当时，
，
当且仅当，即时，等号成立；
令，则；
因为，所以．
．
《拓展阅读2：2009年、2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题》
（2009年江苏高中联赛复赛解答题第3题）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，，，．证明：，，，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补．
解 设、的倾斜角分别为、，由题设知
、. 易知直线的参数方程为
，
代入抛物线方程可化得 .
设上述方程的两根为、，则 . 由参数的几何意义，得 .
同理.
若、、、四点共圆，则 ，即 .
因为、，所以 .
又由、不重合，则. 所以.
反过来，若，则因、，故，且，.
所以 ，即.
故、、、四点共圆.
（2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题） 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线与椭圆分别交于和，且直线的斜率互为相反数.
（1）证明：；
（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值.
（常规方法）由题意知，过点的直线的斜率存在，记直线的斜率为，则的斜率为，设．
故直线的方程为：，即，与椭圆联立方程组，整理得：
，
则有
同理，可得：，故．
（参数方程法）由题意知，可设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，且，故直线的参数方程为．与椭圆联立方程组，整理得：
由参数t的几何意义可得
同理，可得：，故．
（2）证明略。
x
y
O
P
A
C
B
D
x
y
O
P
A
C
B
D

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