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第1讲.有理数的基本概念
一、正负数
知识引入
①观察一下电梯里有什么数
跟我们以前学的有什么不同？
②不同在哪里？
③生活中还有哪些地方出现
了类似的数？
大家想一想生活中还有哪些地方会出现正负数？
天气预报中的温度 潜水艇所在的高度
面粉的重量
知识导航
定义 示例剖析
正数：像 、 、 这样大于0的数叫做正数．
负数：像 、 、 、 这样在正数前面加上负号“ ”
正数：1，2.5，
的数叫做负数．
一个数前面的“ ”，“ ”号叫做它的符号．
负数： ， ，
注：正数前面的“ ”可以省略，
注意：
负数前面的“ ”不可以省略．
与 表示是同一个正数．
0既不是正数，也不是负数．
与 表示是不同的数．
数=符号+数值
a可以表示任何数，正数负数或0
相反意义的量：可以用正负数表示相反意义的量．
两层含义：①相反意义：由’+’’-’表示；②量：单位一致．
经典例题
例题1
1 收入 元记作 元，则支出 元记作 元．
答案
解析 ∵收入 元记作 元，
∴支出 元记作 元．
故答案为： ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反量的表示
2 如果用 表示向西走 米，那么向东走 米可以记作 ．
答案 米
解析 “正”和“负”相对，
所以向西走 米记作 ，那么向东走 米就记作 米．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反量的表示
3 若上升 米记作 米，则 米表示 ．
答案 下降 米
解析 负号表示下降， 表示下降 米．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反量的表示
4 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）．
A. 节约汽油 升和浪费粮食 B. 向东走 公里和向北走 公里
C. 收入 元和支出 元 D. 身高 和身高
答案 C
解析 略．
标注 数 >有理数 >正数和负数 >相反意义的量
例题2
1 在一次立定跳远测试中，合格的标准是 ，小明跳出了 ，记为 ，小明跳出了
，记为 ．
答案
解析 因为 为标准， ，
所以 ，记作 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反量的表示
2 如图，检测 个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻
重的角度看，最接近标准的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 标准的球是记为 ，那么最接近 的数对应的球是最接近标准的球．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反量的表示
3 面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为 ，现随机选取 袋面粉进行质量检测，结果如下
表所示：
序号
质量（ ）
则不符合要求的有（ ）．
A. 袋 B. 袋 C. 袋 D. 袋
答案 A
解析 ∵标准在 ，即在 之间，
∴只有 不符合要求．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反量的表示
二、有理数
知识引入
自公元前230年至公元前221年，秦国以摧枯拉朽之势，先后灭亡韩、赵、魏、楚、燕、齐六国，结
束了自公元前770年西周覆灭后，其封建的数百诸侯国因争霸或兼并，而展开的长达五百余年之久的分
裂割据混战状态，重新实现了国家统一和社会大致和平稳定。
在数的历史里，也有着很多不同的成员，现在有一个非常厉害的人来把其中的一些成员都统一了，
聪明的你想知道是谁统一了他们吗？还有哪些成员没被统一呢？
知识导航
定义 示例剖析
有理数：整数与分数统称为有理数.
【思考】小数怎么办？
正整数：1，2，10，……
负整数： ， ，$
正分数： ，1.5， ，……
负分数： ， ， ，……
有限小数： ， ， ，……
无限循环小数： ， ，……
无限不循环小数： ，
经典例题
例题3
1 判断下列说法是否正确
1. 一个有理数不是整数就是分数
2. 一个有理数不是正数就是负数
3. 一个整数不是正的，就是负的
4. 一个分数不是正的，就是负的
5. 整数和分数组成有理数
6. 没有“ ”号，所以 是正数
7. 字母 没有“ ”号，所以 是正数
答案 TFFTT FF
解析 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有理数的分类
2 在下表适当的空格里打上“√”号．
非负整
整数 分数 正数 负数 负整数 正整数 正分数 非负数 无理数
数
答案
非负整
整数 分数 正数 负数 负整数 正整数 正分数 非负数 无理数
数
√ √ √
√ √
√ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √
√ √
√ √
√ √ √ √ √
解析 略
标注 数 >有理数 >正数和负数
三、数轴
知识引入
从无形到有形
生活中的一些工具可以帮我们捕捉到一些看不见、摸不着的东西，比如，长度本是无形的，但我们
把它放在了直尺上，1cm，2cm，3cm整齐的排好，想怎么量就怎么量.大象的鼻子就这样被生生的贴在
了直尺上，求此时大象的心理阴影面积.
再比如看不见的冷热，可以以温度的方式放在温度计上，零上和零下按顺序排好，这样温度的上升
和下降，升了几度，降了几度，都可以明明白白的看到了.俗话说的好，冷暖自知，就成了冷暖温度计知.
就这样，当看不见的东西变成了看得见的东西，一切就形象多了，从无形到有形的转变好像是一件
还挺有意思的事情.
那么请你想想，如果要把看不见的数形象化该怎么办呢？
其实有点像直尺的刻度，有点像水平的温度计，我们只要把抽象的数一个个按顺序摆在一条直线
上，数就变成了一个个活生生的点，那么这个用来表示数的直线叫——数轴！嗯，轴就是直线的意思，
数轴就是用来表示数的直线啦！
知识导航
【数轴的定义】
画一条水平直线，在直线上取一点表示O（叫做原点，origin），选取某一长度作为单位长度（unit
length），规定直线上向右的方向为正方向（positive direction），就得到下面的数轴（number line）.
【数轴的三要素】原点、正方向、单位长度
【注】在同一数轴上，单位长度必须一致.
【数轴的画法】
（1）画一条水平的直线.
（2）在直线上适当选取一点为原点.
（3）通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）.
（4）根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标为
1，2，3，……，从原点向左，用类似方法依次标出-1，-2，-3，……
【数轴的用途】
（1）数轴可以用来表示数.
【注】数轴上的点和实数一一对应.
（2）数轴可以用来比较大小.
【注】右大左小；负数＜0＜正数.
经典例题
例题4
1 以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 数轴的三要素是原点、单位长度，故排除 、 、 选项中， ， 两数对应的位置不正确，
故选 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴的画法
2 已知数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，则
(1) 确定 ， ， 的符号： ， ， ．
(2) 比较 ， ， 的大小： ．
答案
(1) 1．
2．
3．
(2) 1．
2．
3．
解析 (1) 由数轴的性质，原点右侧表示的数是正数，原点左侧表示的数是负数，可得 ，
， ．
(2) 数轴右侧点表示的数比左侧点表示的数大，有 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：用数轴比较大小
3 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“ ”连接．
， ， ， ， ， ， ，
答案 ．
数轴上表示（如图所示）：
解析 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：用数轴比较大小
例题5
1 在数轴上与原点距离为 的点表示的数是 ．
答案
解析 ， ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴上两点间距离
2 在数轴上，与表示数 的点的距离是 的点表示的数是（ ）．
A. B. C. D. 或
答案 D
解析 在数轴上，与表示数 的点的距离是 的点表示的数有两个： ； ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴上两点间距离
3 一个点从数轴上表示 的点开始，先向右平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度，则此时这
个点表示的数是 ．
答案
解析 从表示 的点开始向右平移 个单位长度，该点表示的数是 ，再向左平移 个单位长度，该点
表示的数是 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴上两点间距离
4 一个小虫在数轴上先向右爬 个单位，再向左爬 个单位，所在位置正好距离数轴原点 个单位，则
小虫的起始位置所表示的数是 ．
答案 或
解析 ,解得 ， ，解得 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴上点的平移
四、相反数
知识引入
现实中很多事情和想象中都是截然相反的，例如：
也许这就是传说中的——理想很丰满，现实很骨感.
那你们能试着想一想截然相反的数是什么？我们前面学过，数=符号+数值，那么问题
来了，相反数到底是把什么相反了？
知识导航
知识点 示例剖析
相反数的定义： 例如：+5和 互为相反数，或
只有符号不同的两个数互称为相反数． 者说+5是 的相反数， 是+5
特别地，0的相反数是0． 的相反数；
相反数必须成对出现，不能单独存在． 而+3与 虽然符号不同，但它
们不互为相反数．
相反数的性质：
①代数：互为相反数的两个数的和为零．即，若a与b互为相反数，则 例如：4与-4互为相反数，
a+b=0；反之，若a+b=0，则a与b互为相反数． 则4+(-4)=0
②几何：一对非零的相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原
点的距离相等．
相反数的求法： 例如：3的相反数为-3
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． -3的相反数为-(-3)
一般地，数a的相反数是-a；这里a表示任意一个数，可以为正数、0、
负数，也可以是任意一个代数式．注意-a不一定是负数．
当a>0时，-a < 0； 0的相反数为0
当a=0时，-a=0； -(-3)>0
当a < 0时，-a>0．
多重符号的化简：
①一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；
②一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉； 例如： +[+(+6)]=6
③一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号，即“奇负偶
正”（其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简
的最后结果的符号）
经典例题
例题6
1 写出下列各数的相反数．
原数 相反数
答案
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
解析 原数 相反数
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：求一个数的相反数
2 有理数 、 在数轴上的位置如图所示，则 、 、 、 的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 A
解析 根据图示，可得
．
故选： ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：用数轴比较大小
3 如果 是一个有理数，那么 一定是一个（ ）．
A. 正数 B. 负数
C. D. 正数或负数或
答案 D
解析 若 是一个有理数，
则当 时， ，为负数，
当 时， ，
当 时， ，为正数，
故 为正数， 或负数．
故答案为 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：区分正负数
4 若 与 互为相反数，那么 ．
答案
解析 略.
标注 数 >有理数 >相反数 >相反数的定义
例题7
1 化简：
． ．
． ．
． ．
． ．
答案 1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
解析 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：多重符号化简
2 下列各组数不是互为相反数的是（ ）．
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
答案 D
解析 ∵ ，
，
∴ ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反数的性质
五、倒数
知识引入
生活中的人、动物、水杯都能上下颠倒，如果把数上下颠倒了会变成什么？
知识导航
倒数
倒数：
乘积为1的两个数互为倒数． 例如： ，3与 互为倒数.
若a，b互为倒数，则 ；反之亦然．
注意：
①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；
②互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；
③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可；
④±1的倒数是它本身.
经典例题
例题8
1 求下表中各数的倒数．
原数 倒数
答案 原数 倒数
解析 略.
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：求倒数
2 下列说法：①互为倒数的两个数相乘积为 ．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．③小于
的数的倒数大于其本身．④大于 的数的倒数小于其本身．⑤一个数的倒数不可能等于它本
身．其中正确的说法有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 ①互为倒数的两个数相乘积为 ，故①正确．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，故②正确．
③小于 的数的倒数大于其本身，故③正确．
④大于 的数的倒数小于其本身，故④正确．
⑤一个数的倒数可能等于它本身，故⑤错误．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：互为倒数
课后作业
习题1
如果向北行进 ，记作： ，那么 表示的意义是（ ）．
A. 向东行进 B. 向南行进 C. 向西行进 D. 向北行进
答案 B
解析 向北行进 ，记作： ，
那么 表示向南行进 ．
标注 数 >有理数 >正数和负数 >相反意义的量
习题2
一种巧克力的质量标识为，“ 千克”，则下列哪种巧克力是合格的（ ）．
A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克
答案 D
解析 巧克力质量合格范围为 千克．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反量的表示
习题3
关于数“ ”有下面几种说法：①不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③不是整数，是
有理数；④是整数，不是自然数．其中正确的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 方法一：略
方法二： 不是正数，也不是负数，①对；
是整数，也是有理数，②对；
是整数，③错；
是自然数，④错．
所以正确的个数是 个．
故选： ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有理数的分类
习题4
把下列各数填在相应的大括号里：
， ， ， ， ， ， ， ， ．
正整数集合：{ }
非负整数集合：{ }
负数集合：{ }
分数集合：{ }．
答案 正整数： ，
非负整数： ， ，
负数： ， ， ，
分数： ， ， ， ， ， ．
解析 正整数：
非负整数： ，
负数： ， ，
分数： ， ， ， ， ， ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有理数的分类
习题5
如果数轴上的点 对应的数为 ，那么数轴上与点 相距 个单位长度的点所对应的有理数为
．
答案 或
解析 数轴上与 点距 个单位长度的点有两个，
因为点 对应的数为 ，
所以这两个点表示的有理数为 或 ．
标注 数 >有理数 >相反数 >相反数的定义
习题6
如图，数轴的单位长度为 ，如果点 表示的数为 ，那么点 表示的数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵数轴单位长度为 ， 表示的数是： ，
相距 ，
∴ 表示的数为 ．
故选： ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴上两点间距离
习题7
点 表示数轴上的一个点，将点 向右移动 个单位，再向左移动 个单位，终点恰好是原点，则点
表示的数是 ．
答案
解析
设点 表示的数是 ．
依题意，有 ，解得 ．
故答案为 .
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴上点的平移
习题8
1 填空：
(1) .
(2) 与 互为相反数．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 根据“ ”（负号）奇负偶正．
(2) 注意是求 的相反数．
标注 数 >有理数 >相反数 >多重符号的化简
2 当 时， 的值与 互为相反数．
答案
解析 根据题意得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
故答案为： ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反数的性质
习题9
1 的倒数是 ．
答案
解析 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：求倒数
2 下列说法一定正确的是（ ）．
A. 的倒数是 B. 的相反数是
C. 是负数 D. 是偶数
答案 B
解析 ． 的倒数是 （ ），故 错误；
． 的相反数是 ，故 正确；
． 是负数，故 错误；
． （ 为整数）是偶数，故 错误；
故选 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反数的性质
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
个性脑图，让知识刻骨铭心~
说说心里话
良好的开端是成功的一半——柏拉图
第一天，加油~
你的姓名：_______________________________________________________________
第一节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：
_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第1讲.有理数的基本概念
一、正负数
知识引入
①观察一下电梯里有什么数
跟我们以前学的有什么不同？
②不同在哪里？
③生活中还有哪些地方出现
了类似的数？
大家想一想生活中还有哪些地方会出现正负数？
天气预报中的温度 潜水艇所在的高度
面粉的重量
知识导航
定义 示例剖析
正数：像 、 、 这样大于0的数叫做正数．
负数：像 、 、 、 这样在正数前面加上负号“ ”
正数：1，2.5，
的数叫做负数．
一个数前面的“ ”，“ ”号叫做它的符号．
负数： ， ，
注：正数前面的“ ”可以省略，
注意：
负数前面的“ ”不可以省略．
与 表示是同一个正数．
0既不是正数，也不是负数．
与 表示是不同的数．
数=符号+数值
a可以表示任何数，正数负数或0
相反意义的量：可以用正负数表示相反意义的量．
两层含义：①相反意义：由’+’’-’表示；②量：单位一致．
经典例题
例题1
1 收入 元记作 元，则支出 元记作 元．
2 如果用 表示向西走 米，那么向东走 米可以记作 ．
3 若上升 米记作 米，则 米表示 ．
4 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）．
A. 节约汽油 升和浪费粮食 B. 向东走 公里和向北走 公里
C. 收入 元和支出 元 D. 身高 和身高
例题2
1 在一次立定跳远测试中，合格的标准是 ，小明跳出了 ，记为 ，小明跳出了
，记为 ．
2 如图，检测 个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻
重的角度看，最接近标准的是（ ）．
A. B. C. D.
3 面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为 ，现随机选取 袋面粉进行质量检测，结果如下
表所示：
序号
质量（ ）
则不符合要求的有（ ）．
A. 袋 B. 袋 C. 袋 D. 袋
二、有理数
知识引入
自公元前230年至公元前221年，秦国以摧枯拉朽之势，先后灭亡韩、赵、魏、楚、燕、齐六国，结
束了自公元前770年西周覆灭后，其封建的数百诸侯国因争霸或兼并，而展开的长达五百余年之久的分
裂割据混战状态，重新实现了国家统一和社会大致和平稳定。
在数的历史里，也有着很多不同的成员，现在有一个非常厉害的人来把其中的一些成员都统一了，
聪明的你想知道是谁统一了他们吗？还有哪些成员没被统一呢？
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定义 示例剖析
有理数：整数与分数统称为有理数.
【思考】小数怎么办？
正整数：1，2，10，……
负整数： ， ，$
正分数： ，1.5， ，……
负分数： ， ， ，……
有限小数： ， ， ，……
无限循环小数： ， ，……
无限不循环小数： ，
经典例题
例题3
1 判断下列说法是否正确
1. 一个有理数不是整数就是分数
2. 一个有理数不是正数就是负数
3. 一个整数不是正的，就是负的
4. 一个分数不是正的，就是负的
5. 整数和分数组成有理数
6. 没有“ ”号，所以 是正数
7. 字母 没有“ ”号，所以 是正数
2 在下表适当的空格里打上“√”号．
非负整
整数 分数 正数 负数 负整数 正整数 正分数 非负数 无理数
数
三、数轴
知识引入
从无形到有形
生活中的一些工具可以帮我们捕捉到一些看不见、摸不着的东西，比如，长度本是无形的，但我们
把它放在了直尺上，1cm，2cm，3cm整齐的排好，想怎么量就怎么量.大象的鼻子就这样被生生的贴在
了直尺上，求此时大象的心理阴影面积.
再比如看不见的冷热，可以以温度的方式放在温度计上，零上和零下按顺序排好，这样温度的上升
和下降，升了几度，降了几度，都可以明明白白的看到了.俗话说的好，冷暖自知，就成了冷暖温度计知.
就这样，当看不见的东西变成了看得见的东西，一切就形象多了，从无形到有形的转变好像是一件
还挺有意思的事情.
那么请你想想，如果要把看不见的数形象化该怎么办呢？
其实有点像直尺的刻度，有点像水平的温度计，我们只要把抽象的数一个个按顺序摆在一条直线
上，数就变成了一个个活生生的点，那么这个用来表示数的直线叫——数轴！嗯，轴就是直线的意思，
数轴就是用来表示数的直线啦！
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【数轴的定义】
画一条水平直线，在直线上取一点表示O（叫做原点，origin），选取某一长度作为单位长度（unit
length），规定直线上向右的方向为正方向（positive direction），就得到下面的数轴（number line）.
【数轴的三要素】原点、正方向、单位长度
【注】在同一数轴上，单位长度必须一致.
【数轴的画法】
（1）画一条水平的直线.
（2）在直线上适当选取一点为原点.
（3）通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）.
（4）根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标为
1，2，3，……，从原点向左，用类似方法依次标出-1，-2，-3，……
【数轴的用途】
（1）数轴可以用来表示数.
【注】数轴上的点和实数一一对应.
（2）数轴可以用来比较大小.
【注】右大左小；负数＜0＜正数.
经典例题
例题4
1 以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 已知数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，则
(1) 确定 ， ， 的符号： ， ， ．
(2) 比较 ， ， 的大小： ．
3 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“ ”连接．
， ， ， ， ， ， ，
例题5
1 在数轴上与原点距离为 的点表示的数是 ．
2 在数轴上，与表示数 的点的距离是 的点表示的数是（ ）．
A. B. C. D. 或
3 一个点从数轴上表示 的点开始，先向右平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度，则此时这
个点表示的数是 ．
4 一个小虫在数轴上先向右爬 个单位，再向左爬 个单位，所在位置正好距离数轴原点 个单位，则
小虫的起始位置所表示的数是 ．
四、相反数
知识引入
现实中很多事情和想象中都是截然相反的，例如：
也许这就是传说中的——理想很丰满，现实很骨感.
那你们能试着想一想截然相反的数是什么？我们前面学过，数=符号+数值，那么问题
来了，相反数到底是把什么相反了？
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知识点 示例剖析
相反数的定义： 例如：+5和 互为相反数，或
只有符号不同的两个数互称为相反数． 者说+5是 的相反数， 是+5
特别地，0的相反数是0． 的相反数；
相反数必须成对出现，不能单独存在． 而+3与 虽然符号不同，但它
们不互为相反数．
相反数的性质：
①代数：互为相反数的两个数的和为零．即，若a与b互为相反数，则 例如：4与-4互为相反数，
a+b=0；反之，若a+b=0，则a与b互为相反数． 则4+(-4)=0
②几何：一对非零的相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原
点的距离相等．
相反数的求法：
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．
一般地，数a的相反数是-a；这里a表示任意一个数，可以为正数、0、 例如：3的相反数为-3
负数，也可以是任意一个代数式．注意-a不一定是负数． -3的相反数为-(-3)
当a>0时，-a < 0； 0的相反数为0
当a=0时，-a=0； -(-3)>0
当a < 0时，-a>0．
多重符号的化简：
①一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；
②一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉； 例如： +[+(+6)]=6
③一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号，即“奇负偶
正”（其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简
的最后结果的符号）
经典例题
例题6
1 写出下列各数的相反数．
原数 相反数
2 有理数 、 在数轴上的位置如图所示，则 、 、 、 的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D.
3 如果 是一个有理数，那么 一定是一个（ ）．
A. 正数 B. 负数
C. D. 正数或负数或
4 若 与 互为相反数，那么 ．
例题7
1 化简：
． ．
． ．
． ．
． ．
2 下列各组数不是互为相反数的是（ ）．
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
五、倒数
知识引入
生活中的人、动物、水杯都能上下颠倒，如果把数上下颠倒了会变成什么？
知识导航
倒数
倒数：
乘积为1的两个数互为倒数． 例如： ，3与 互为倒数.
若a，b互为倒数，则 ；反之亦然．
注意：
①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；
②互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；
③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可；
④±1的倒数是它本身.
经典例题
例题8
1 求下表中各数的倒数．
原数 倒数
2 下列说法：①互为倒数的两个数相乘积为 ．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．③小于
的数的倒数大于其本身．④大于 的数的倒数小于其本身．⑤一个数的倒数不可能等于它本
身．其中正确的说法有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
课后作业
习题1
如果向北行进 ，记作： ，那么 表示的意义是（ ）．
A. 向东行进 B. 向南行进 C. 向西行进 D. 向北行进
习题2
一种巧克力的质量标识为，“ 千克”，则下列哪种巧克力是合格的（ ）．
A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克
习题3
关于数“ ”有下面几种说法：①不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③不是整数，是
有理数；④是整数，不是自然数．其中正确的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
习题4
把下列各数填在相应的大括号里：
， ， ， ， ， ， ， ， ．
正整数集合：{ }
非负整数集合：{ }
负数集合：{ }
分数集合：{ }．
习题5
如果数轴上的点 对应的数为 ，那么数轴上与点 相距 个单位长度的点所对应的有理数为
．
习题6
如图，数轴的单位长度为 ，如果点 表示的数为 ，那么点 表示的数是（ ）．
A. B. C. D.
习题7
点 表示数轴上的一个点，将点 向右移动 个单位，再向左移动 个单位，终点恰好是原点，则点
表示的数是 ．
习题8
1 填空：
(1) .
(2) 与 互为相反数．
2 当 时， 的值与 互为相反数．
习题9
1 的倒数是 ．
2 下列说法一定正确的是（ ）．
A. 的倒数是 B. 的相反数是
C. 是负数 D. 是偶数
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
个性脑图，让知识刻骨铭心~
说说心里话
良好的开端是成功的一半——柏拉图
第一天，加油~
你的姓名：_______________________________________________________________
第一节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：
_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】

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