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2022高考数学真题分类汇编
十一、解析几何
一、单选题
1.（2022·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.（2022·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.（2022·全国乙（文）T6） 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
4.（2022·全国乙（理）T5） 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
5.（2022·全国乙（理）T11）11. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.（2022·新高考Ⅰ卷T11） 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
7.（2022·新高考Ⅱ卷T10） 已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则（ ）
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
8. （2022·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1 D.
二、填空题
9.（2022·全国甲（文）T15） 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
10.（2022·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
11.（2022·全国甲（理）T14）. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
12.（2022·全国乙（文）T15） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
13.（2022·全国乙（理）T14） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
14（2022·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
7.（2022·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
15.（2022·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________．
16.（2022·新高考Ⅱ卷T16） 已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________．
17.（2022·北京卷T12）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
18.（2022·浙江卷T16） 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
19.（2022·浙江卷T17） 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
三、解答题
20.（2022·全国甲（文）T21） 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
21.（2022·全国甲（理）T）20. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
22.（2022·全国乙（文）T）21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
23（2022·全国乙（理）T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
24.（2022·新高考Ⅰ卷T21） 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面积．
25.（2022·新高考Ⅱ卷T21） 设双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
26.（2022·北京卷T19） 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
27.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求的最小值．
变式训练
一、单选题
1．（2022·山东聊城·三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C．D．
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知双曲线的左 右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·广西·南宁三中二模（文））已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
9．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为2
10．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
11．（2022·湖北·模拟预测）已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（ ）
A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1
B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与E：相外切，则
12．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
三、填空题
13．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左焦点为，是上一点，是的渐近线上一点，为坐标原点．若，，则双曲线的离心率为________．
15．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知抛物线，不过原点O的直线与抛物线C交于M，N两点，设直线的倾斜角分别为，则___________．
16．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______________．
四、解答题
17．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．
(1)若的坐标为，求四边形的面积；
(2)若与椭圆相切于且，求的值；
(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．
18．（2022·山东泰安·模拟预测）已知抛物线上一点（）到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求与面积之比的最大值.
19．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
20．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：
（i）的面积等于的面积；
（ii）为定值．
21．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知椭圆的右焦点为，且C过点．
(1)求C的方程；
(2)若点M是C上的一点，过M作直线l与C相切，直线l与y轴的正半轴交于点A，过M与PF平行的直线交x轴于点B，且，求直线l的方程．
22．（2022·山东·胜利一中模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
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2022高考数学真题分类汇编
十一、解析几何
一、单选题
1.（2022·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2.（2022·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
3.（2022·全国乙（文）T6） 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
4.（2022·全国乙（理）T5） 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
5.（2022·全国乙（理）T11）11. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到，即可得解；
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
所以，因为，所以在双曲线的右支，
所以，，，设，，
由，即，则，，，
在中，
，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，即，
所以双曲线的离心率
故选：C
6.（2022·新高考Ⅰ卷T11） 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
7.（2022·新高考Ⅱ卷T10） 已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则（ ）
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
8. （2022·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．
二、填空题
9.（2022·全国甲（文）T15） 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【解析】
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
10.（2022·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
11.（2022·全国甲（理）T14）. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
12.（2022·全国乙（文）T15） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】
【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
13.（2022·全国乙（理）T14） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】
【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
14（2022·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
7.（2022·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为故答案为：13.
15.（2022·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
16.（2022·新高考Ⅱ卷T16） 已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
17.（2022·北京卷T12）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；故答案为：
18.（2022·浙江卷T16） 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
19.（2022·浙江卷T17） 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
三、解答题
20.（2022·全国甲（文）T21） 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【小问1详解】
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
【小问2详解】
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
21.（2022·全国甲（理）T）20. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【小问1详解】
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
【小问2详解】
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
22.（2022·全国乙（文）T）21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
【小问2详解】
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
23（2022·全国乙（理）T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
【小问2详解】
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，综上，可得直线HN过定点
24.（2022·新高考Ⅰ卷T21） 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．
【小问1详解】
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
【小问2详解】
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
因为，所以，即，
即，解得，
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，
点到直线的距离，
故的面积为．
25.（2022·新高考Ⅱ卷T21） 设双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【小问1详解】
右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
【小问2详解】
由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
26.（2022·北京卷T19） 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
【小问1详解】
解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即整理得，解得
27.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出；
（2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值．
【小问1详解】
设是椭圆上任意一点,,则
，当且仅当时取等号，故的最大值是.
【小问2详解】
设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则
，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
变式训练
一、单选题
1．（2022·山东聊城·三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设双曲线的标准方程为，利用已知条件确定的值，即可求解
【详解】
设双曲线的标准方程为，
则由题意最小横截面的直径为20cm，可知，
设点，
则
解得，
所以，
故选：D
2．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接设，根据两点间距离公式代入运算整理．
【详解】
∵，即
设，则，整理得
故选：B．
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.
【详解】
当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，
所以，
同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.
4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合思想，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
由，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，
即，
故选：D
5．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知双曲线的左 右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；
【详解】
解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】
设，则满足，
则
即当时，的最小值为，
解得（舍负），
即抛物线，焦点，
设，，
则，即，
即线段中点的横坐标为3，
故选：B.
7．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答.
【详解】
圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，
依题意，，四边形周长，
当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，
四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为.
故选：D
8．（2022·广西·南宁三中二模（文））已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
不妨设在第一象限，设是双曲线的左焦点，显然关于原点对称，因此是平行四边形，又，所以是矩形，由的面积可得，再由双曲线的定义得，两者结合可得，由勾股定理得关系，从而得离心率．
【详解】
如图，不妨设在第一象限，设是双曲线的左焦点，显然关于原点对称，因此是平行四边形，
又，所以是矩形，，
，又，所以，所以．
故选：D．
二、多选题
9．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为2
【答案】AB
【解析】
【分析】
求出，即可求出，可判断A；由椭圆定义可判断B；联立椭圆和抛物线方程求出点坐标可判断CD.
【详解】
由椭圆方程可得，所以，即，故A正确；
由椭圆定义可得，故B正确；
联立方程，解得（负值舍去），即点的横坐标为，
由抛物线定义可得，故C错误；
将代入抛物线可得，所以，故D错误.故选：AB.
10．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．
【详解】
根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则
当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；
当时，如图1，点在线段AB上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即
则椭圆的离心率，B正确；
当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；
当时，过点作圆的切线，切点为
若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴，渐近线方程为，C正确；
故选：BCD．
11．（2022·湖北·模拟预测）已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（ ）
A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1
B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与E：相外切，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A：根据题意利用点到直线距离可得，故圆C上有4个点到直线l的距离为1；对于B：利用两圆公共弦的求法理解处理；对于C：根据向量和垂径定理可得，理解分析；对于D：根据两圆外切得，运算判断．
【详解】
圆C的圆心，半径，
圆心到直线l：的距离，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A不正确；
过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，故B正确；
设PQ的中点为D，则．因为，
即，可得，
则，故的最大值为，故C正确；
圆E：的圆心，半径
根据题意可得，即得，故D错误．
故选：BC．
12．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
【答案】BCD
【解析】
【分析】
选项A需要对曲线C中x分5类讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数；选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】
对于A：曲线中，，当时，
分5类讨论：，分别代入曲线方程，可得：
整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整数点有9个，选项A错误；
对于B：曲线C中，当时，此时与原点距离为2，
当，时，设半椭圆上动点P坐标为(2cosθ，3sinθ)，
则，
最大值与最小值之和为5，选项B正确；
对于C：又A(0，－)、B(0，)恰为椭圆的两个焦点．
那么，
当且仅当，即P在x轴上时，等号成立，
在△PAB中，，由余弦定理知：
，选项C正确；
对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为(2，3)，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
先由判断出四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将点代入椭圆及圆，即可求出，即可求得短轴长.
【详解】
由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，
又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，
故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，
又，解得，则，故短轴长为.
故答案为：6.
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左焦点为，是上一点，是的渐近线上一点，为坐标原点．若，，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设在上，由及勾股定理可得，进而求得，利用向量的数量关系求A的坐标，再由点在曲线上得到关于参数的齐次方程，即可求离心率.
【详解】
不妨假设在上，由，即，
在△中，若，则，且，
所以，即，而，故，
所以，则，又，故，
若，则，
由，即，可得，
由A在双曲线上，，整理可得，又，
所以.
故答案为：
15．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知抛物线，不过原点O的直线与抛物线C交于M，N两点，设直线的倾斜角分别为，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
设，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，求出，计算并代入，，化简可得．
【详解】
设，
由得，
显然，，直线不过原点，，
且，，
，，
，，
，
分别在一、四象限，中一个为锐角，一个为钝角，
所以．
故答案为：．
16．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据左焦点到右顶点距离可得；在中，利用正弦定理可求得，由此可得，进而求得离心率.
【详解】
如图所示，
伞柄底端应该位于椭圆的左焦点，且左焦点到右顶点的距离为，即；
在中，由正弦定理得：，
，
，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．
(1)若的坐标为，求四边形的面积；
(2)若与椭圆相切于且，求的值；
(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；；
【解析】
【分析】
（1）根据点斜式方程可得，再联立椭圆方程得到，再根据求解即可；
（2）设，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到，再根据，化简可得，进而得到，再根据直角三角形中的关系求解的值即可；
（3）设，表达出，再根据列式化简可得，结合与椭圆的方程即可求得和直线的方程
(1)
由题意，，故，所以
与椭圆方程联立 ，可得：，即，又由题意，故解得，代入椭圆方程可得，故且
则
(2)
由于直线PN的斜率必存在，则设
与椭圆方程联立，可得：
由相切，，则
同时有韦达定理，代入有，化简得，故
而，解得
则，所以轴，故在直角三角形中，
(3)
由于N与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知
四边形是平行四边形，则与是平行的，
故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距离d．
设，其中，易验证，当时，与之间的距离为，不合要求，设，则，即，
发现当时，，即，整理得
代入得：，代入整理得，即由于，所以，代入椭圆方程有，故，
则的直线方程为
18．（2022·山东泰安·模拟预测）已知抛物线上一点（）到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求与面积之比的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，并结合抛物线的定义，求得的值，即可.
（2）设直线的方程为，，，易得和的长，将直线，的方程与圆的方程联立，得到点和点的坐标，进而得到和，再由面积公式可得化简运算，得解.
(1)
依题意可得，因为，所以解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)
设过F点的直线方程为，
联立方程得，则，
所以①，②，
设，，代入①②得③，
则直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
联立方程，解得，同理可得，
则④，
由③得，代入④得，
当且仅当时等号成立，，所以的最大值为.
故与面积之比的最大值为.
19．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【答案】(1)
(2)32
【解析】
【分析】
（1）可得的外接圆圆心在直线上，然后可求出圆的半径，然后根据周长可求出的值；
（2）设点，，，直线AB的斜率为，由可得，然后结合、可得，然后可得，然后可求出答案.
(1)
因为，所以的外接圆圆心在直线上，又外接圆与准线相切，
所以半径为
所以周长为，所以
故抛物线方程为
(2)
设点，，，直线AB的斜率为，
因为，则直线BC的斜率为.因为，
则，得，①
因为，则，得，②
因为，则，即，③
将②③代入①，得，即，
则，
所以
因为，则，又，则
从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.
20．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：
（i）的面积等于的面积；
（ii）为定值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据，，由，直线的斜率为求解；
（2）设直线的方程为，得到，，与椭圆方程联立，根据，，利用韦达定理求解.
(1)
解：、是椭圆的两个顶点，
且，直线的斜率为，
由，，得，
又，解得，，
椭圆的方程为；
(2)
设直线的方程为，则，，
联立方程消去，整理得．
， 得
设，，，．
，．
所以，
则有
的面积等于的面积；
，
，
，
，
.
21．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知椭圆的右焦点为，且C过点．
(1)求C的方程；
(2)若点M是C上的一点，过M作直线l与C相切，直线l与y轴的正半轴交于点A，过M与PF平行的直线交x轴于点B，且，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由求解；
（2）易得直线PF的方程为，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，根据过M作直线l与C相切，由得到，进而得到直线l的方程，令，得到，再由，得到，进而得到直线MB的方程，令，得到，再由求解.
(1)
解：由题意知
解得，，
所以C的方程为．
(2)
易得直线PF的方程为，即．
显然直线l的斜率存在且不为0，设点，
设直线l的方程为，即．
由消去y，得．
因为过M作直线l与C相切，所以，
整理得，即，所以直线l的方程为．
令，得，所以．
因为，所以，
所以直线MB的方程是，
即．
令，解得，所以．
因为，所以，即，
所以，
又因为，所以，
解得，
因为，所以，所以，．
所以直线l的方程是，即．
22．（2022·山东·胜利一中模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)的面积不存在最小值，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）把已知条件用坐标表示后化简即可得；
（2）设，，，，，且．求出点坐标，利用在双曲线上可求得点轨迹方程，设直线的斜率为，直线的斜率为，求出，，求出三角形面积关于的表达式，利用基本不等式得最小值，及相应的，检验直线是否与双曲线相交即可得．
(1)
由，，，，，
，，得，即．
(2)
设，，，，，，且．
，，，，
则，得，
，得．即．
将A，B两点的坐标代入双曲线中，得，
即，，
（且），则，
得动点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为，直线的斜率为，
，，
（当且仅当时取“=”，此时直线与双曲线不存在相交于两个不同点A，B，
因此，的面积不存在最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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