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第十章 概率
10.3 频率与概率
10.3.2 随机模拟
学案
一、学习目标
1.了解随机模拟试验出现的意义与基本过程.
2.会用随机模拟方法估计事件发生的概率.
3.理解用模拟法估计概率的实际意义.
二、基础梳理
1.产生随机数的方法：利用计算器或计算机软件产生随机数；构建模拟试验产生随机数.
2.蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法.
3.随机数与伪随机数：若要产生之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把n个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数. 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质，因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，称为伪随机数.
4.随机模拟解题的主要步骤：
①构造或描述概率过程；
②按要求产生随机变量；
③建立估计量，从中得到问题的解.
三、巩固练习
1.袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止.用随机模拟的方法估计“取球直到第二次停止”的概率，先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 34
21 23 13 32 21 24 42 13 32 21
据此估计，“取球直到第二次停止”的概率为( )
A. B. C. D.
2.采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347
4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75
3.某地天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置开始，按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计，四天中恰有三天下雨的概率为( )
A. B. C. D.
4.某种心脏病手术的成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为( )
A.0.6 B.0.4 C. D.
5.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35
6.已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次抛掷的结果.经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
101 111 010 101 010
100 100 011 111 110
000 011 010 001 111
011 100 000 101 101
据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为( )
A.0.30 B.0.35 C.0.40 D.0.65
7.通过随机模拟试验，产生了20组随机数：
6830，3013，7055，7430，7740，4422，7884，2604，3346，0952，
6807，9706，5774，5725，6576，5929，9768，6071，9138，6754.
若恰有三个数字在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为___________.
8.甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率.
先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率为__________.
9.某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
10.盒中有大小，形状相同的5个白球，2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
（1）任取一球，得到白球.
（2）任取三球，都是白球.
答案以及解析
1.答案：B
解析：20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计“取球直到第二次停止”的概率为.故选B.
2.答案：D
解析：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为，故选D.
3.答案：B
解析：在40组四位随机数中，0~5的整数恰出现3次的有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.故选B.
4.答案：B
解析：设恰好成功1例的事件为A，A所包含的基本事件为191，270，832，912，134，370，027，703，共8个，而一共有20个基本事件，则恰好成功1例的概率为，故选B.
5.答案：A
解析：两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数字为1，2，3，4之一，它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，而共有20个随机数，因此所求的概率为.故选A.
6.答案：B
解析：拋部这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有010，010，100，100，010，001，100，共7组，则抛掷这枚硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为，故选B.
7.答案：
解析：由题意，四次射击中恰有三次击中目标对应的随机数有3个数字在1，2，3，4，5，6中，这样的随机数有3013，2604，5725，6576，6754，共5个，而共有20个随机数，故所求的概率约为.
8.答案：0.367
解析：产生30组随机数，就相当于做了30次试验.
如果6，7，8，9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707.共11个.
所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为.
9.解析：要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成.
（1）按班级，学号顺序把学生档案输人计算机.
（2）用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同).
（3）使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001，0002，…，1200，然后0001~0030为第一考场，0031 ~0060为第二考场，依次类推.
10.解析：（1）用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球.
步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是.
（2）步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数a；
②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；
③任取三球，都是白球的概率估计值是.

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