资源简介

28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形应用问题
一、新课导入
1.课题导入
情景：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)？
问题：你能运用解直角三角形和圆的知识解决这个问题吗？（板书课题）
2.学习目标
（1）会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题.
（2）知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题.
3.学习重、难点
重点：解直角三角形.
难点：将实际问题转化为数学问题.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P74例3.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：仔细体会直角三角形的直角是怎样得到的.
（4）自学参考提纲：
①实际问题转化成数学模型，画出如图所示的图形，用⊙O表示 地球 ，点F是 组合体 的位置，则视线FQ与⊙O 相切 ，切点Q是观测地球时看到的最 远 点，要求的最远点与P点的距离就是求的长.
②∵FQ是⊙O的切线，∴∠FQO= 90 °，∴△FOQ是 直角三角形 .
③选择关系式求α的度数.
∵cosα=≈0.9491,∴α≈18.36°.
④求的长.
.
⑤想一想：怎样得到∠FQO是直角的？为什么的长是最远点与P点的距离？
⑥如图是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80 m，最低点C离地面6 m，旋转一周所用的时间为6 min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：
经过2 min后，小明离地面的高度是多少米？
过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE=×360°=120°,∴∠GOE=60°.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）,
∴小明离地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66(m).
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否理解Rt△FQO中相关元素的实际意义.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化
圆中获得直角的主要途径有：
(1)过圆心作弦的垂线段.
(2)构造直径所对的圆周角.
(3)连接切点和圆心.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P75例4.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：先自主探索，再同桌之间互相讨论、纠错.
（4）自学参考提纲：
①仰角和俯角的概念：
如图，从下往上看， 视线 与 水平线 的夹角叫做仰角，从上往下看， 视线 与 水平线 的夹角叫做俯角.图中的∠1是 仰角 ， ∠2是 俯角 .
②教材P75例4中，过点A作AD ⊥ BC于D，则在Rt△ABD中，∠BAD= 30° ，AD= 120 ，故选择关系式可求BD的长；在Rt△ACD中，∠CAD= 60° ，AD= 120 ，故选择关系式可求CD的长.所以这栋楼的高BC=BD+CD≈ 277 m .
③热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 45°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
120×tan45°+120×tan60°≈328(m)
④热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
120×tan60°-120×tan30°≈139(m)
⑤在斜三角形、梯形、矩形、菱形和正方形中，怎样添加辅助线构造直角三角形？
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学提纲的解答情况，特别是第④、第⑤题.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：生生互动，交流研讨、纠正.
4.强化
（1）仰角、俯角的定义.
（2）当问题涉及到的三角形不是直角三角形时，添加辅助线构造直角三角形的图例.
三、评价
1.学生学习的自我评价：在这节课学习中，你有哪些收获？还有哪些困惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度，小组交流合作状况，回答问题情况等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，让学生明白俯角、仰角的含义.引导学生将实际问题转化为简单的数学模型。其中画出几何图形是解题关键，通过几何图形的分析来得到边、角的关系，再应用计算、推理手法解决问题.还要注意从实际生活出发，努力体现数学与生活的联系.此外，还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能力，注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=303 m，拱形的半径R=30 m，则拱形的弧长等于 20π m.
第1题图 第2题图 第3题图
2.(10分) 如图，在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，C为优弧上任意一点，则∠ACB=（B）
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.(10分)如图，身高1.6 m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树高大约为 5.1 m
(结果精确到0.1 m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高).
4.(20分)如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=，PB=1，求sin∠APC的值.
解：连接OA.∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP=90°.
在Rt△OAP中，设OA=x,则OP=OB+PB=x+1.又有PA=,
∴x2+（）2=(x+1)2，∴x=1.即OA=1，OP=2.∴sin∠APC==.
5.(20分)如图，一枚运载火箭从地面L处发射.当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43°；1s后，火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A到B的平均速度是多少？（结果保留小数点后两位，参考数据：sin43°≈0.682, cos43°≈0.731,tan43°≈0.933; sin45.54°≈0.714,cos45.54°≈0.700,tan45.54°≈1.019）
解：LR=AR·cos43°≈6×0.731=4.386.
AL=AR·sin43°≈6×0.682=4.092.
BL=LR·tan45.54°≈4.386×1.019=4.469334.
AB=BL-AL≈0.377334.
∴这枚火箭从A到B的平均速度为0.377334÷≈1358.40（km/h）.
二、综合应用（20分）
6.(20分)某校课外活动小组在距离湖面7 m高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖面的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？
参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈
解：设过点A的水平线交PP′于点D，则DC=AB=7，设AD=x.
则PD=AD·tan37°≈34x.P′D=AD·tan53°≈43x.
∵P′、P关于直线BC对称，∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.
∴x+7=x-7.∴x=24,∴PC≈25米.
因此，这个热气球P距湖面的高度PC约为25米.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5 cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度.
解：（1）过点M作MD⊥OA于D.易证四边形ABMD是矩形.∴BM=AD,AB=DM.
又MD=OM·sinα=5×5×=15（cm）.
∴OD==20,∴AD=OA-OD=5,∴BM=5 cm.
(2)延长DM交FC于点E.ME=BC=AC-AB=11×5-15=40（cm）.
又∵∠FME=∠MOD=α,cosα=,
∴MF==50(cm).

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