资源简介

第4讲 有理数计算高级综合运算
一、有理数的混合运算
知识引入
知识导航
有理数混合运算的运算顺序
有理数混合运算的运算顺序：
①先乘方，再乘除，最后加减；
其中加减法为一级运算，乘除法为二级运算，
乘方和开方（初二学）称为三级运算．
运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到
②同级运算，按从左到右的顺序进行；
低（级），从小（括号）到大（括号）”
不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最
后一级．
③如有括号，先做括号内的运算；
按小括号、中括号、大括号依次进行．
经典例题
例题1
1 计算：
．
2 计算：
．
3 计算： ．
4 计算：
例题2
1 计算： ．
2 计算： ．
3 计算：
．
4 计算：
．
例题3
1 计算：
．
2 计算：
．
3 计算下列各题：
．
4 计算：
．
二、有理数混合运算的应用
经典例题
例题4
1 定义 ※ ，则 ※ ※ .
2 现定义运算“★”，对于任意实数 ， ，都有 ★ ，如： ★ ，那么
★ ．
3 定义运算※为 ※ ．
(1) 求 ※ ， ※ ．
(2) 求 ※（ ※ ），（ ※ ）※ ．
(3) 这个运算“※”有交换律、结合律吗？
(4) 如果 ※（ ※ ） ，求 ．
例题5
1 已知 ， 互为负倒数（ ）， ， 互为相反数， 为最小的正整数， 为绝对值最小的数，那
么 ．
2 已知 互为相反数， 互为倒数， 的绝对值是 ，试求：
．
三、科学计数法
知识引入
辣条，你敢吃吗？
同学们，当你们津津有味吃着5毛钱一带的辣条时，你们可知道1g辣条中含有多少个细菌？
同学们，当你们摸完一张毛爷爷后迅速拿个馒头扔到嘴里，你们可知道这张毛爷爷经过了多少人的手
才到你的手里？
同学们，当你们为了自虐拔掉自己的一根秀发时，你们可知道这根头发占据了整个头发的几分之几？
100g辣条中大约含有细菌个数为10000000个！
一张毛爷爷会经过的人数为25000人！
一个人平均头发的根数为950000根！
【想一想】
这些大数我们能不能借用乘方的形式来表示呢？
知识导航
定 义 示例剖析
科学记数法的定义： 例如：
一般地，一个大于10的数可以表示成 的形 ，
式，其中 ， 是正整数，这种记数方法叫做 是科学记数法表示数
科学记数法（scientific notation）. 的形式．
记忆方法：小数点左移位数．
比如： 要用科学记数法表示，实际就是小数点向左移动到 和 之间，移动了 位，故记为
．
常考点：科学记数法中的单位转换．
1万= ，1亿= ，
经典例题
例题6
1 地球与太阳之间的距离约为 千米，将 用科学记数法表示应为（ ）．
A. B.
C. D.
2 刚刚过去的 年的“双 ”网上促销活动中，天猫的支付交易额突破 亿元，将 亿元用科学记
数法表示为（ ）．
A. B.
C. D.
例题7
1 指出下列近似数有几个有效数字：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) 万．
(5) ．
(6) ．
2 从权威部门获悉，中国海洋面积是 万平方公里，约为陆地面积的三分之一， 万平方公里
用科学记数法表示为（ ）平方公里（保留两位有效数字）．
A. B.
C. D.
3 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到 人，将 用科
学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）．
A. B.
C. D.
4 指出下列各近似值精确到哪一位：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) 万．
(5) ．
(6) ．
课后作业
习题1
1 计算： ．
2 计算： ．
3 计算： ．
4 计算： ．
5 计算： ．
习题2
已知：有理数 所表示的点到原点距离是 个单位， 、 互为相反数、 ， 互为倒数．
(1) 求 的值．
(2) 求： 的值．
习题3
计算：已知 互为相反数， 互为倒数， 的绝对值是 ，求 的值．
习题4
据环保机构统计，某市每天所用小号塑料袋为 个，把 用科学记数法表示正确的
是（ ）．
A. B.
C. D.
习题5
中国企业 年已经在“一带一路”沿线国家建立了 个经贸合作区，直接为东道国增加了 万个就
业岗位．将 万用科学记数法表示应为（ ）．
A. B.
C. D.
习题6
下列四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1) 精确到 位；有 个有效数字．
(2) 精确到 位；有 个有效数字
(3) 万精确到 位；有 个有效数字
(4) 精确到 位；有 个有效数字．
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
表格式笔记，让对比更加直观~
说说心里话
Gut begonnen ist halb gewonnen.
第四天，你最棒~
你的姓名：_______________________________________________________________
第四节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第4讲 有理数计算高级综合运算
一、有理数的混合运算
知识引入
知识导航
有理数混合运算的运算顺序
有理数混合运算的运算顺序：
①先乘方，再乘除，最后加减；
其中加减法为一级运算，乘除法为二级运算，
乘方和开方（初二学）称为三级运算．
运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到
②同级运算，按从左到右的顺序进行；
低（级），从小（括号）到大（括号）”
不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最
后一级．
③如有括号，先做括号内的运算；
按小括号、中括号、大括号依次进行．
经典例题
例题1
1 计算：
．
答案 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
2 计算：
．
答案 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
3 计算： ．
答案
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
4 计算：
答案
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
例题2
1 计算： ．
答案 ．
解析 原式 ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
2 计算： ．
答案 ．
解析
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
3 计算：
．
答案 ．
解析 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
4 计算：
．
答案 ．
解析 ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
例题3
1 计算：
．
答案 ．
解析 略．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
2 计算：
．
答案 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
3 计算下列各题：
．
答案 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
4 计算：
．
答案 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
二、有理数混合运算的应用
经典例题
例题4
1 定义 ※ ，则 ※ ※ .
答案
解析 ∵ ※ ，
∴ ※ ※
※
※
，
故答案为： ．
标注 综合类问题 >规律探究和定义新运算 >定义新运算 >题型：定义新运算
2 现定义运算“★”，对于任意实数 ， ，都有 ★ ，如： ★ ，那么
★ ．
答案
解析 ★
．
标注 综合类问题 >规律探究和定义新运算 >定义新运算 >题型：定义新运算
3 定义运算※为 ※ ．
(1) 求 ※ ， ※ ．
(2) 求 ※（ ※ ），（ ※ ）※ ．
(3) 这个运算“※”有交换律、结合律吗？
(4) 如果 ※（ ※ ） ，求 ．
答案 (1) ， ．
(2) ， ．
(3) “※”有交换律，没有结合律．
(4) ．
解析 (1) ※ ，
※ ．
(2) 要计算 ※（ ※ ），
先计算括号内的数，有： ※ ，
再计算第二步 ※ ，
所以 ※（ ※ ） ．
对于（ ※ ）※ ，
同样先计算括号内的数， ※ ，
其次 ※ ，
所以（ ※ ）※ ．
(3) 由于 ※ ，
※ ，
所以有 ※ ※ ，
因此“※”有交换律．
由（ ）的例子可知，运算“※”没有结合律．
(4) ※ ，
※（ ※ ） ※ ，
即 ，
．
标注 综合类问题 >规律探究和定义新运算 >定义新运算 >题型：定义新运算
例题5
1 已知 ， 互为负倒数（ ）， ， 互为相反数， 为最小的正整数， 为绝对值最小的数，那
么 ．
答案
解析 ．
标注 式 >整式加减 >整式加减化简求值 >题型：整式加减条件化简求值
2 已知 互为相反数， 互为倒数， 的绝对值是 ，试求：
．
答案 ．
解析 由已知可得 ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
标注 式 >整式的乘除 >整式乘除化简求值 >题型：整体代入化简求值
三、科学计数法
知识引入
辣条，你敢吃吗？
同学们，当你们津津有味吃着5毛钱一带的辣条时，你们可知道1g辣条中含有多少个细菌？
同学们，当你们摸完一张毛爷爷后迅速拿个馒头扔到嘴里，你们可知道这张毛爷爷经过了多少人的手
才到你的手里？
同学们，当你们为了自虐拔掉自己的一根秀发时，你们可知道这根头发占据了整个头发的几分之几？
100g辣条中大约含有细菌个数为10000000个！
一张毛爷爷会经过的人数为25000人！
一个人平均头发的根数为950000根！
【想一想】
这些大数我们能不能借用乘方的形式来表示呢？
知识导航
定 义 示例剖析
科学记数法的定义：
例如：
一般地，一个大于10的数可以表示成 的形
，
式，其中 ， 是正整数，这种记数方法叫做
是科学记数法表示数
科学记数法（scientific notation）.
的形式．
记忆方法：小数点左移位数．
比如： 要用科学记数法表示，实际就是小数点向左移动到 和 之间，移动了 位，故记为
．
常考点：科学记数法中的单位转换．
1万= ，1亿= ，
经典例题
例题6
1 地球与太阳之间的距离约为 千米，将 用科学记数法表示应为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ，
故选 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：科学记数法：表示较大的数
2 刚刚过去的 年的“双 ”网上促销活动中，天猫的支付交易额突破 亿元，将 亿元用科学记
数法表示为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 亿 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：科学记数法：表示较大的数
例题7
1 指出下列近似数有几个有效数字：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) 万．
(5) ．
(6) ．
答案 (1) 个：分别是 ， ， ．
(2) 个；分别是 ， ． ．
(3) 个：分别是 ， ， ， ， ．
(4) 个：分别是 ， ， ．
(5) 个；分别是 ， ， ．
(6) 个；分别是 ， ， ．
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
(5) 略
(6) 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有效数字
2 从权威部门获悉，中国海洋面积是 万平方公里，约为陆地面积的三分之一， 万平方公里
用科学记数法表示为（ ）平方公里（保留两位有效数字）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 万 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：科学记数法：表示较大的数
3 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到 人，将 用科
学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有效数字
4 指出下列各近似值精确到哪一位：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) 万．
(5) ．
(6) ．
答案 (1) 十分位．
(2) 千分位．
(3) 千分位．
(4) 十位．
(5) 万位．
(6) 个位．
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
(5) 略
(6) 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：精确数位
课后作业
习题1
1 计算： ．
答案 0．
解析 原式 ．
标注 数 >有理数 >有理数的运算 >有理数的混合运算
2 计算： ．
答案 ．
解析
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
3 计算： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
4 计算： ．
答案
解析 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数四则综合运算
5 计算： ．
答案 ．
解析 原式的倒数为：
．
故 ．
标注 数 >有理数 >有理数运算巧解 >题型：用倒数法计算
习题2
已知：有理数 所表示的点到原点距离是 个单位， 、 互为相反数、 ， 互为倒数．
(1) 求 的值．
(2) 求： 的值．
答案 (1) 或 ．
(2) 或 ．
解析 (1) ∵有理数 所表示的点到原点距离是 个单位．
∴ 或 ．
(2) 由题意知 、 ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：数轴上两点间距离
习题3
计算：已知 互为相反数， 互为倒数， 的绝对值是 ，求 的值．
答案 ．
解析 根据题意得： 或 ，
则原式 ．
标注 式 >整式加减 >整式加减化简求值 >题型：整体代入化简求值
习题4
据环保机构统计，某市每天所用小号塑料袋为 个，把 用科学记数法表示正确的
是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：科学记数法：表示较大的数
习题5
中国企业 年已经在“一带一路”沿线国家建立了 个经贸合作区，直接为东道国增加了 万个就
业岗位．将 万用科学记数法表示应为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 万 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：科学记数法：表示较大的数
习题6
下列四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1) 精确到 位；有 个有效数字．
(2) 精确到 位；有 个有效数字
(3) 万精确到 位；有 个有效数字
(4) 精确到 位；有 个有效数字．
答案 (1) 1．万分
2．
(2) 1．个
2．
(3) 1．千
2．
(4) 1．千
2．
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：精确数位
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
表格式笔记，让对比更加直观~
说说心里话
Gut begonnen ist halb gewonnen.
第四天，你最棒~
你的姓名：_______________________________________________________________
第四节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】

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