资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第5讲　对数与对数函数
考向预测 核心素养
以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度. 数学抽象、数学运算
一、知识梳理
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
2．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．
(2)loga＝logaM－logaN．
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
4．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
5．对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝________．
2．(人A必修第一册P131练习T1改编)函数y＝log7的定义域为________．
3．(人A必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小：
(1)log0.56________log0.54；
(2)log2________log3.
参考答案
1解析：(log43＋log83)·log32＝·＝.
答案：
2答案：
3答案：(1)<　(2)＝
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是同一个函数．(　　)
(4)若M>N>0，则logaM>logaN.(　　)
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.(　　)
二、易错纠偏
1．(对数函数图象不清致误)函数f(x)＝loga|x|＋1(02．(对数函数单调性不清致误)函数y＝的定义域是________________．
3．(忽视对底数的讨论致误)若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
1解析：选A.由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出当x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.
2解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.
所以答案：
3解析：当0所以0当a>1时，loga1.
综上所述，实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
考点一　对数式的化简与求值(自主练透)
复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
1．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
2．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．
3．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m2 )．已知声音大小y与声压x 的关系式为y＝10×lg2，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
参考答案
1解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5
＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：
2解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2.
答案：2
3解析：当y＝50时，lg2＝5，即2＝105，解得x＝2×10－，
当y＝40时，lg2＝4，即2＝104，
解得x＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的＝10＝倍．
答案：
4解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.
因为＋＝2，所以logm10＝2.
所以m2＝10，所以m＝.
答案：
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
考点二　对数函数的图象及应用(思维发散)
复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．
(1)(链接常用结论2)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1　　 B.a>1，0C．01 D.0(2)方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0(2)若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知
解得0【答案】　(1)D　(2)
本例(2)改为若4x解析：当0当a>1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
答案：
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
|跟踪训练|
1．(2022·河北高三考试)函数y＝的大致图象为(　　)
2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
参考答案
1解析：选A.当x＝1时，y＝>0，排除C，D.
当x＝－时，y＝＝<0，排除B.故选A.
2解析：
问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
考点三　对数函数的性质及应用(多维探究)
复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，a≠1)．
角度1　单调性的应用
(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．aC．b(2)若loga(a2＋1)A．(0，1) B.
C. D.(0，1)∪(1，＋∞)
(3)已知m＝，n＝4x，则log4m＝________；满足lognm>1的实数x的取值范围是________．
【解析】　(1)因为a＝log323b＝log533>log525＝＝c，所以a(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)1，得a>，所以(3)由于m＝，
则log4m＝log2m＝log22－＝×＝－；
由于m＝＝2－<1，由lognm>1可得m则＝2－<22x<1，则－<2x<0，
解得－【答案】　(1)A　(2)C　(3)－　
角度2　和对数函数有关的复合函数
已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求a的值．
【解】　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1令g(x)＝－x2＋2x＋3.
则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．
(2)若f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故实数a的值为.
对数函数性质的应用
利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
|跟踪训练|
1．(2022·宁夏月考)已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B.(－∞，2]
C．[5，＋∞) D.[3，＋∞)
2．不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为________．
3．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝|logx|，若m参考答案
1解析：选D.由题意，得x<－1或x>3，设g(x)＝x2－2x－3，根据二次函数的性质，可得函数g(x)在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(a，＋∞)上单调递增，可得a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞)．
2解析：由解得答案：
3解析：由于a>0，且a≠1，
所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则y＝logau必为增函数，
所以a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，
所以a－3>0，即a>3.
答案：(3，＋∞)
4解析：因为f(x)＝|logx|，若m1，所以logm＝－logn，所以mn＝1，所以m＋3n＝m＋.令h(m)＝m＋，则易知h(m)在(0，1)上单调递减．当m＝1时，m＋3n＝4，所以m＋3n>4.
答案：(4，＋∞)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑