资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第4讲　指数与指数函数
考向预测 核心素养
考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，各种题型均可能出现，中档难度. 数学抽象、数学运算
一、知识梳理
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a≥0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a≥0 当a＝0时，x有一个值；当a>0时，x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x在实数范围内不存在
2.根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(n>1，且n∈N*)．
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①()n＝a．
②当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
3．分数指数幂的意义
(1)分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(2)实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
4．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
5．指数函数的图象和性质
a的范围 a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0，1)
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
常用结论
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
二、教材衍化
1．(多选)(人A必修第一册P109习题4.1T2改编)设a>0，m，n是正整数，且n>1，则下列各式正确的是(　　)
A．aa＝a B.(a)4＝a
C．a＝ D.a－＝
2．(人A必修第一册P118练习T1改编)函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．
3．(人A必修第一册P119习题4.2T6改编)比较下列各组值的大小：
(1)30.3____30.7；(2)0.99－0.1____0.990.1.
参考答案
1答案：BCD
2答案：y轴
3答案：(1)<　(2)>
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)
(3)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)
(4)若am0，且a≠1)，则m二、易错纠偏
1．(对分数指数幂的意义不清致误)将化成分数指数幂为(　　)
A．x－ B.x
C．x－ D.x
2．(不明指数函数的图象性质致误)已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式①03．(忽略指数函数的值域致误)函数f(x)＝3|x|＋1的值域为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选B.原式＝(x·x－×)－＝(x－)－＝x－×(－)＝x.
2解析：在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝和y＝的图象(如图)．
当a>b>0时，＝可能成立．
当a当a＝b＝0时，＝显然成立．
当0.
当b综上可知，③④不可能成立．
答案：③④
3解析：因为|x|≥0，所以3|x|≥1，所以f(x)≥2.
答案：[2，＋∞)
考点一　指数幂的运算(自主练透)
复习指导：理解分数指数幂与根式的关系，会进行指数幂的运算．
1．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A.＝y(y<0)
B．x－＝ (x>0)
C．x－＝－(x≠0)
D．[]＝x(x>0)
2．(2022·四川省眉山市强基考试)已知x<0，y>0，化简得(　　)
A．－x2y B.x2y
C.－3x2y D.3x2y
3.·(a>0，b>0)＝________．
4．若x＋x－＝3，则＝________．
参考答案
1解析：选BD.A错，＝－y(y<0)；B正确，x－＝＝＝(x>0)；C错，x－＝(x≠0)；D正确，[]＝x2××＝x(x>0)．
2解析：选B.由题意得 ＝9(x8)(y4)＝x2|y|＝x2y.
3解析：原式＝＝.
答案：
4解析：由x＋x－＝3，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
所以x2＋x－2－2＝45.
x＋x－＝(x)3＋(x－)3＝(x＋x－)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
所以＝.
答案：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考点二　指数函数的图象及应用(思维发散)
复习指导：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象及特殊点．
(1)(多选)(链接常用结论1，2)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　)
A．a＝b＝0　　　　 B.aC．0(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
【解析】　(1)
如图，观察易知，a(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象
沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
【答案】　(1)ABD　(2)(－∞，0]
1．若本例(2)的条件变为若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．
由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，此时函数f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
2．若本例(2)的条件变为函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
应用指数函数图象的技巧
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
|跟踪训练|
1．(2022·湖北黄石调研)函数f(x)＝的大致图象为(　　)
2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
参考答案
1解析：选D.f(x)＝，
f(x)的定义域为R，f(0)＝0，排除A选项；
f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B选项；
f(1)＝＝，f＝＝<，排除C选项．
2解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜.
答案：
考点三　指数函数的性质及应用(多维探究)
复习指导：借助指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性．
角度1　单调性的应用
(1)(2022·四川省绵阳市联考)设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c(2)已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B.(1，＋∞)
C．(－3，1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】　(1)根据a＝0.60.4，c＝0.40.4，由幂函数的性质可得a>c，又b＝0.40.6，c＝0.40.4，由函数y＝0.4x的性质可得b(2)由题意，知或解得－3【答案】　(1)B　(2)C
角度2　与指数函数有关的复合函数
(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
(3)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是________．
【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(3)令ax＝t(t>0)，则原函数可化为g(t)＝t2＋3t－2，易知函数g(t)在(0，＋∞)上是单调递增的．
当0g(t)max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝.
所以g(t)min＝＋3×－2＝－.
当a>1时，t∈[a－1，a]，
g(t)max＝a2＋3a－2＝8，解得a＝2.
所以g(t)min＝2－2＋3×2－1－2＝－.
综上可知，f(x)在[－1，1]上的最小值为－.
【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]　(3)－
(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
|跟踪训练|
1．(2022·浙江五校联考)若对任意的t∈[－2，2]，不等式a·2t－2－t＋1≥0(a为常数)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.[12，＋∞)
2．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B.[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
3．不等式<恒成立，则a的取值范围是________．
参考答案
1解析：选D.由题意得a≥－在t∈[－2，2]上恒成立，令μ＝，则μ∈，f(μ)＝μ2－μ，f(μ)在上有最大值12，所以a≥12.
2解析：选B.由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．
3解析：由题意，得x2＋ax>2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，解得－2答案：(－2，2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑