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第3讲　二次函数、幂函数
考向预测 核心素养
二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度. 直观想象、逻辑推理、数学抽象
一、知识梳理
1．常见的五种幂函数的图象
2．幂函数y＝xα的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
3．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
4．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
常用结论
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P58T6改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2．(人A必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α＝________．
参考答案
1解析：选C.由题意知即
解得a>.
2解析：因为函数f(x)＝kxα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝2x是幂函数．(　　)
(2)根据二次函数的两个零点就可以确定函数的解析式．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值是.(　　)
二、易错纠偏
1．(二次函数性质不明致误)已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B.(－∞，3]
C．(－∞，－3) D.(－∞，－3]
2．(二次函数图象特征不清致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)
3．(幂函数概念不清致误)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、易错纠偏
1解析：选D.函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
2解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，所以m∈(0，1)，所以m－1<0，所以f(m－1)>0.
答案：>
3解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x，由性质可知函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减．
答案：y＝x　(0，＋∞)
考点一　幂函数的图象及性质(自主练透)
复习指导：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
1．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　)
A．奇函数 B.偶函数
C．定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
2．(链接常用结论2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝(　　)
A．2 B.－1
C.4 D.2或－1
3.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a B.a>b>c>d
C．d>c>a>b D.a>b>d>c
4．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，)，则m＝________，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为________．
参考答案
1解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得＝，解得α＝－1，
因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．
2解析：选A.由题意知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．所以m＝2.
3解析：选B.由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
4解析：因为f(x)的图象过点(2，)，所以＝2(m2＋m)－1，
所以m2＋m＝2，又m∈N*，所以m＝1.
即f(x)＝x，其定义域为{x|x≥0}，且在定义域上函数为增函数，
所以由f(2－a)>f(a－1)得0≤a－1<2－a，解得1≤a<.
答案：1　1≤a<
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
考点二　二次函数的解析式(综合研析)
复习指导：理解二次函数的定义，能够根据已知条件求二次函数的解析式．
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．
【解】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的策略
|跟踪训练|
已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
参考答案
解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称．
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1，2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
考点三　二次函数的图象和性质(多维探究)
复习指导：理解二次函数的定义，能够根据二次函数的图象讨论性质，从数形结合的观点研究和二次函数有关的问题．
角度1　二次函数的图象
(1)(多选)(2022·济南月考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则(　　)
A．b2＞4ac B.2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D.5a＜b
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
【解析】　(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．
(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－1所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.
【答案】　(1)AD　(2)C
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2　二次函数的单调性与最值
(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，0) B.(－∞，－3]
C．[－2，0] D.[－3，0]
(2)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a的值为________．
【解析】　(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．
(2)f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a<0时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．
综上可知，a的值为.
【答案】　(1)D　(2)
若本例(1)中函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________．
解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0，
又＝－1，所以a＝－3.
答案：－3
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．
|跟踪训练|
1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是(　　)
2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　)
A．(0，4] B.
C. D.
3．(多选)(2022·邯郸九校联盟期中)若函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的最大值为2，则a的取值可以为(　　)
A．1 B.3
C.2 D.4－4
参考答案
1解析：选D.由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；又f(0)＝c<0，排除B，故选D.
2解析：选C.y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知≤m≤3.
3解析：选AC.若a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，
f(x)max＝f(2)＝2|2－a|＝2，解得a＝1(舍去)或a＝3(舍去)．
若a>0时，f(x)＝
当>2即a>4时，f(x)max＝f(2)＝－2(2－a)＝2，解得a＝3(舍去)．
当x>a时，令f(x)＝f，解得x＝(负值舍去)．
当≤2≤即4(－1)≤a≤4时，f(x)max＝f＝＝2，解得a＝2.
当2>即a<4(－1)时，f(x)max＝f(2)＝2(2－a)＝2.解得a＝1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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