资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
函数奇偶性的拓广性质及应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果．以下归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用．
性质1　若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则g(－x)＋g(x)＝2c
(2022·松原市高三月考)已知函数f(x)＝asin 3x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 021)＋f(－2 021)＋f′(2 022)－f′(－2 022)＝(　　)
A．8 B.2 021 C.2 022 D.0
【解析】　设g(x)＝f(x)－4＝asin 3x＋bx3，由g(－x)＝－g(x)得g(x)是奇函数，
f′(x)＝3acos 3x＋3bx2为偶函数，所以f′(－x)＝f′(x)，　
所以f(2 021)＋f(－2 021)＋f′(2 022)－f′(－2 022)
＝g(2 021)＋4＋g(－2 021)＋4＋f′(2 022)－f′(－2 022)
＝g(2 021)－g(2 021)＋f′(2 022)－f′(2 022)＋8＝8.
【答案】　A
函数f(x)＝＋sin x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值和最小值之和等于________．
【解析】　f(x)＝＋sin x f(x)－1＝＋sin x，
设h(x)＝f(x)－1，x∈[－1，1]，
则h(－x)＝＋sin(－x)＝－－sin x＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，
h′(x)＝f′(x)＝＋cos x＞0，
因此函数h(x)在x∈[－1，1]上单调递增．
所以h(x)的最大值和最小值之和为h(1)＋h(－1)＝0，
故f(x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值之和为2.
【答案】　2
解决这类问题的关键在于仔细观察，洞彻函数的结构，然后对函数进行变形，构造出一个奇函数，利用函数值的特征求值．
性质2　若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)
(2022·重庆市高三月考)函数f(x)＝2|x|＋x2，则不等式f(2x－1)【解析】　显然f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＝2|x|＋x2＝f(x)，f(x)是偶函数，
当x≥0时，f(x)＝2x＋x2是增函数，
所以不等式f(2x－1)(2x－1)2<(x－2)2，3x2－3<0，解得－1【答案】　(－1，1)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)单调递增．若实数a满足f(3－|a＋1|)>f，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意可知，f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又因为f(3－|a＋1|)>f＝f，
所以0<3－|a＋1|<，化简整理得，3－|a＋1|<3，
所以－|a＋1|<－，解得a<－或a>－，
故a的取值范围为∪.
【答案】　∪
利用偶函数f(x)的性质f(x)＝f(|x|)可以避免繁杂的讨论，减少计算量，在解函数不等式中经常用到．
性质3　函数f(x＋a)是偶函数可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；函数f(x＋a)是奇函数，可得函数f(x)的图象关于点(a，0)对称　
(2022·广西柳州高三联考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)A．(－∞，1) B.(－∞，log32)
C．(log32，1) D.(1，＋∞)
【解析】　由题意得f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于直线x＝1对称．
因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)上为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]上为减函数．不等式f(9a＋1)即|3a－6|>9a，解得3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)，得t2－t＋6<0或t2＋t－6<0.
当t2－t＋6<0时，无解．
当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得－3又t>0，所以0【答案】　B
函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f(x＋1)为奇函数，当x>1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则方程f(x)＝m有两个零点的实数m的取值范围是(　　)
A．(－6，6) B.(－2，6)
C．(－6，－2)∪(2，6) D.(－∞，－6)∪(6，＋∞)
【解析】　
由题意得函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，当x<1时，有2－x>1，
又当x>1时，f(x)＝2x2－12x＋16，函数f(x)的最小值为f(3)＝－2；
所以当x<1时，f(x)＝－f(2－x)＝－[2(2－x)2－12(2－x)＋16]＝－2x2－4x＝－2x(x＋2)，函数f(x)的最大值为2；函数f(x)的图象如图所示．
由题意知函数y＝m与y＝f(x)的图象有两个交点，
所以－6【答案】　C
函数的奇偶性是特殊的对称性，利用f(x＋a)是奇函数或偶函数可以得到函数f(x)图象的对称性，进而可以结合图象求解问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑