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第二章 第2讲　第2课时　函数的奇偶性、周期性、对称性
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B.y＝|x|－1
C．y＝lg x D.y＝
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)
A．－3 B.－
C. D.3
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 025)＝(　　)
A．－3 B.0
C.1 D.3
4．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f的大小关系为(　　)
A．f(4)B．f(－1)C．fD．f(－1)5．已知奇函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x，则f(log212)＝(　　)
A．－ B.
C. D.－
6．(多选)(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则以下关于f(x)的结论正确的有(　　)
A．周期为6　　　 B.图象关于对称
C．f(2 021)＝2 D.图象关于x＝对称
7．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)－f(x)＝0，f(0)＝，则f(10)＝________．
8．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________，函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2＋x)＋f(x)＝0，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－x2－2x，则当x∈[4，6]时，y＝f(x)的最小值为(　　)
A．－8 B.－1
C.0 D.1
10．(2022·衡阳模拟)若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|－1，y＝，y＝中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为(　　)
A．0 B.1
C.2 D.3
11．(多选)(2022·重庆第四次月考)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x＋T)＝T·f(x)，则称函数y＝f(x)是“元周期函数”，非零常数T为函数y＝f(x)的“元周期”．现有下面四个关于“元周期函数”的结论，其中正确的是(　　)
A．如果“元周期函数”y＝f(x)的“元周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数
B．函数f(x)＝3x是“元周期函数”
C．常数函数f(x)＝c是“元周期函数”
D．如果函数f(x)＝sin ωx是“元周期函数”，那么“ω＝2kπ，k∈Z或ω＝(2k＋1)π，k∈Z”
12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)则f(π)＝________．
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为________．
参考答案
1解析：选B.y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．
2解析：选A.由题意得f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3解析：选B.用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0.所以f(2 025)＝0.
4解析：选A.由题意知函数f(x＋2)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．则f＝f，f(4)＝f(0)，因为f(x)在(－∞，2)上单调递减，－<－1<0，所以f>f(－1)>f(0)，即f(4)5解析：选A.由题意知函数f(x)是周期为4的函数，
由3又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(log212)＝f(log212－4)＝－f(4－log212)＝－24－log212＝－.
6解析：选ACD.因为f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，所以f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数，故A正确；
由题意得f(x－3)＝－f(x)＝f(－x)，所以根据周期性得f(x＋3)＝f(－x)，所以f＝f，所以f(x)的图象关于x＝对称，故B错误，D正确；
对于C选项，结合周期性得f(2 021)＝f(336×6＋5)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－(1－3)＝2，故C正确．
7解析：由题意，得f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，则f(10)＝f(2×5)＝f(0)＝.
答案：
8解析：由题意，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在区间[－4，－1]上单调递减，其值域为.
答案：2　
9解析：选B.由题意知函数f(x)是以4为周期的周期函数，
又当x∈[－2，0]时，f(x)＝－x2－2x，且f(x)是定义在R上的奇函数，
所以当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－2x，
所以当x∈[4，6]时，f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2－2(x－4)＝x2－10x＋24＝(x－5)2－1，
所以当x＝5时，函数f(x)的最小值为f(5)＝－1.
10解析：选B.易知函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上f(x)单调递减，在(0，＋∞)上f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与函数f(x)＝x4保持一致，但是y＝＝1－的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝≥0.
11解析：选ACD.A选项：因为“元周期函数”y＝f(x)的“元周期”为－1，
所以f(x－1)＝－f(x)，所以f(x－2)＝－f(x－1)＝f(x)，
故y＝f(x)是周期为2的周期函数，故A正确；
B选项：若函数f(x)＝3x是“元周期函数”，则存在非零常数T，使f(x＋T)＝T·f(x)，
即3x＋T＝T·3x恒成立，故3T＝T成立，但无解，故B错误；
C选项：常数函数f(x)＝c是“元周期函数”，则存在非零常数T，使f(x＋T)＝T·f(x)，即c＝T·c恒成立，T＝1时恒成立，故C正确；
D选项：若函数f(x)＝sin ωx是“元周期函数”，则存在非零常数T，则f(x＋T)＝T·f(x)，
即sin[ω(x＋T)]＝Tsin ωx恒成立，故sin(ωx＋ωT)＝Tsin ωx恒成立，
即sin ωx·cos ωT＋cos ωx·sin ωT＝Tsin ωx恒成立，
故，可得T＝1或T＝－1，
故ω＝2kπ，k∈Z或ω＝(2k＋1)π，k∈Z，故D正确．
12解析：(1)由题意得f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
答案：(1)π－4　(2)4
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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