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第2课时　函数的奇偶性、周期性、对称性
考向预测 核心素养
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，中档偏上难度. 数学抽象、逻辑推理
一、知识梳理
1．函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x) 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
[注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[注意]　并非所有周期函数都有最小正周期．
常用结论
1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
2．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋1 B.f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝ D.f(x)＝x＋
2．(人A必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．
3．(人A必修第一册P203练习T4改编)设f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，则f(5)＝________，f＝________．
参考答案
1答案：C
2解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
3答案：0　
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(2)函数y＝x(x>0)是偶函数．(　　)
二、易错纠偏
1．(判定函数奇偶性忽视定义域致误)函数f(x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
2．(不能灵活利用函数性质致误)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×
二、易错纠偏
1解析：由得－1即f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，
所以f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
答案：奇
2解析：因为函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，
所以f(2 022)＝f(0)＝0，f(2 023)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝0.
答案：0
考点一　函数的奇偶性(多维探究)
复习指导：结合具体函数了解奇偶性的含义，并运用函数图象理解和研究函数的性质．
角度1　函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
【解】　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
并且对于定义域内的任意一个x都有
f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，
从而函数f(x)为奇函数．
(2)由得－2即函数f(x)的定义域是{x|－2因此f(x)＝＝lg(4－x2)，
所以f(－x)＝f(x)，
因此函数f(x)是偶函数．
(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
判定函数奇偶性的2种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
[提醒]　(1)对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法．(2)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0和x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
角度2　函数奇偶性的应用
(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　)
A．2 B.4 C.－2 D.－4
(2)(2021·新高考卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
【解析】　(1)根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
(2)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
【答案】　(1)C　(2)1
|跟踪训练|
1．(2021·高考全国卷乙)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝________．
参考答案
1解析：选B.f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
2解析：当x<0时，－x>0，
因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，
所以f(－x)＝e－x－1.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
答案：－e－x＋1
考点二　函数的周期性(综合研析)
复习指导：结合具体函数了解函数的周期性．
(链接常用结论3)(1)(2022·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5 B.1.5
C.2.5 D.3.5
(2)(多选)(2022·重庆市南开中学质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f为奇函数，则(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)是周期为3的周期函数
D．f(0)＋f(1)＋…＋f(2 021)＝0
【解析】　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)因为f(x)＝－f，所以f＝－f＝－f(x＋3)，
所以f(x)＝f(x＋3)，所以f(x)是周期为3的周期函数，所以C正确；
因为f(－1)＝1，f(0)＝－2，所以f(2)＝f(－1)＝1，f(3)＝f(0)＝－2，
因为f为奇函数，所以f＝－f，
所以f(－x)＝－f，
所以f＝－f(－2)＝－f(1)，
因为f＝－f(2)＝－1，
所以f(1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＝－2＋1＋1＝0，
所以f(0)＋f(1)＋…＋f(2 021)＝0，所以D正确；
因为f(1)＝1，f(－1)＝1，所以f(x)不可能为奇函数，所以A错误；
因为f(－x)＝－f，f(x)是周期为3的周期函数，所以f(－x)＝－f＝－f＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以B正确．
【答案】　(1)C　(2)BCD
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
|跟踪训练|
1．(2022·安徽亳州高三月考)函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，若f(2)＝3，则f(2 022)＝(　　)
A．3 B.－3
C.6 D.2 022
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
参考答案
1解析：选B.因为函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，
即f(x＋4)＝－f(x)，
则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，周期为8，
所以f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝－f(2)＝－3.
2解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
所以f(x)是周期为6的周期函数，
所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
答案：6
考点三　函数的对称性(综合研析)
复习指导：1.函数的奇偶性延伸可得函数的对称性；
2．函数的奇偶性和对称性要结合函数图象灵活运用．
(2022·兰州一中模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17，G(x)＝－.若F(x)的图象与G(x)的图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝________．
【解析】　因为f(x)是定义在R上的偶函数，设g(x)＝x3f(x)，则g(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，由此可知函数F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17＝g(x＋2)－17的图象关于点(－2，－17)对称．
又函数G(x)＝－＝－17的图象也关于点(－2，－17)对称，则F(x)和G(x)的图象的交点关于点(－2，－17)对称，
所以x1＋x2＋…＋xm＝×(－2)×2＝－2m，y1＋y2＋…＋ym＝×(－17)×2＝－17m，
于是(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝－19m.
【答案】　－19m
函数图象的对称性的常用结论
(1)函数y＝f(x＋a)是偶函数 f(a－x)＝f(a＋x) f(2a－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)函数y＝f(x＋b)是奇函数 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0 f(2b－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
|跟踪训练|
若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)>0的解集为________．
参考答案
解析：因为函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0，0)．因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称．
因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．
因为f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.
答案：(5，＋∞)
考点四　函数性质的综合应用(多维探究)
复习指导：解决函数性质的综合问题，通常先利用奇偶性和对称性得到函数的周期性，然后利用周期性转化函数自变量所在的区间，再利用单调性求解．
角度1　求函数值或解析式
(1)设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则x∈[2，4]时函数f(x)的解析式为__________．
(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－2)＝2，则f(2 026)＝________．
【解析】　(1)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，
由已知得f(－x)＝2×(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
所以f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
故当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 026)＝f(2＋253×8)＝f(2)＝f(－2)＝2.
【答案】　(1)f(x)＝x2－6x＋8(x∈[2，4])　(2)2
角度2　解不等式或求参数范围
(1)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3)　　 B.(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D.(1，＋∞)
(2)(2022·石家庄市模拟(一))已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是(　　)
A. B.
C. D.[2，3)
【解析】　(1)因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．
(2)因为0≤x≤1时，f(x)＝4x－1，所以f(x)在区间[0，1]上是增函数，又函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，因为f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)在区间(1，3)上是减函数，又f＝1，所以f＝1，所以在区间(1，3)上不等式f(x)≤1的解集为，故选C.
【答案】　(1)D　(2)C
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
|跟踪训练|
1．(多选)(2022·苏州期中)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)有3个单调区间
B．当x>0时，f(x)＝x(x－1)
C．函数f(x)有最小值－
D．不等式f(x)<0的解集是(－1，1)
2．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝________．
参考答案
1解析：选BC.当x>0时，－x<0，因为x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，
所以f(－x)＝－x(－x＋1)，又因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
所以x>0时，f(x)＝－x(－x＋1)＝x2－x，
即f(x)＝
其函数图象如图所示，
对A，由图知，函数f(x)有4个单调区间，故A错误；
对B，由上述分析知，B正确；
对C，由图知，当x＝－＝－或x＝－＝时，函数f(x)取得最小值f(x)min＝f＝f＝－，故C正确；
对D，由图知，不等式f(x)<0的解集是(－1，0)∪(0，1)，故D错误．
2解析：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0.又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)的周期T＝4，f(2)＝－f(0)＝0，
f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝4.
答案：4
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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