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第2讲　函数的基本性质
第1课时　函数的单调性与最大(小)值
考向预测 核心素养
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度. 数学抽象、逻辑推理
一、知识梳理
1．函数的单调性
单调递增 单调递减
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图)．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象
[提醒]　①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；
②有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M；(2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M；(2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减．
2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
3．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋3在R上是减函数，则k的取值范围是________．
2．(人A必修第一册P81练习T3改编)已知函数f(x)＝，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．
3．(人A必修第一册P79例3改编)函数y＝x＋(x>0)的单调递增区间是________．
参考答案
1解析：由题意得2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
2解析：可判断函数f(x)＝在[0，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝.
答案：2　
3答案：(2，＋∞)(填[2，＋∞)也对)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．　(　　)
(2)对于函数y＝f(x)，若f(1)(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
二、易错纠偏
1．(混淆“单调区间”与“在区间上单调”致误)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x＋1| B.y＝2－x
C．y＝ D.y＝x2－x＋1
2．(忽视函数的单调性致误)(2022·四川省内江期中)函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为(　　)
A．－ B.－
C．－1 D.不存在
3．(忽视函数定义域致误)函数f(x)＝log(6x2＋x－1)的单调递增区间为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、易错纠偏
1解析：选A.在(0，1)上y＝|x＋1|＝x＋1，单调递增；
y＝2－x单调递减；
y＝在(0，＋∞)上单调递减，故在(0，1)上单调递减；
y＝x2－x＋1在上单调递减，在上单调递增，故在(0，1)上不是单调递增函数．
2解析：选A.函数y＝－在区间[1，2]上单调递增，
所以最大值为ymax＝－＝－.
3解析：由6x2＋x－1>0得f(x)的定义域为.　
由复合函数单调性知f(x)的单调递增区间即y＝6x2＋x－1的单调递减区间(定义域内)，
所以f(x)的单调递增区间为.
答案：
考点一　确定函数的单调性(区间)(多维探究)
复习指导：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．
角度1　求具体函数的单调区间
(1)(链接常用结论2)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B.(－∞，1)
C．(1，＋∞) D.(4，＋∞)
(2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________．
【解析】　(1)由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数，
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
所以函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
(2)f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]．
【答案】　(1)D　(2)(－∞，－1]和(0，1]
角度2　判断或证明函数的单调性
(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－∞，1)上的单调性．
【解】　方法一：设x1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)方法二：f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
|跟踪训练|
1．函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调递增区间为(　　)
A．[－3，＋∞)
B．(－∞，2)，(4，＋∞)
C．(2，3)，(4，＋∞)
D．(－∞，2]，[－3，4]
2．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
参考答案
1解析：选C.f(x)＝|x2－6x＋8|＝所以f(x)的单调递增区间是(2，3)，(4，＋∞)．故选C.
2解析：
由题意知g(x)＝
该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1)．
答案：[0，1)
考点二　函数单调性的应用(多维探究)
复习指导：利用函数单调性，可以比较函数值大小，求函数最值，求函数范围等．
角度1　比较两个函数值大小
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B.c>b>a
C．a>c>b D.b>a>c
【解析】　由题意可得f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
【答案】　D
角度2　解函数不等式
(1)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
【解析】　(1)根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．所以2－x2>x，所以－2(2)因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)【答案】　(1)(－2，1)　(2)(－，－2)∪(2，)
角度3　求参数的值(范围)
(1)(2020·新高考卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B.(－∞，2]
C．[2，＋∞) D.[5，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5.
令t＝x2－4x－5，
因为外层函数y＝lg t是其定义域内的增函数，
所以要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则需内层函数t＝x2－4x－5在(a，＋∞)上单调递增且恒大于0，则(a，＋∞) (5，＋∞)，即a≥5.
所以a的取值范围是[5，＋∞)．故选D.
(2)由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为(1，2]．
【答案】　(1)D　(2)(1，2]
函数单调性应用要点
(1)比较大小：可将n个自变量化到同一单调区间上．
(2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数：
①确定函数的单调区间，与已知区间比较；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
|跟踪训练|
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
2．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)
A．－3≤a<0 B.－3≤a≤－2
C．a≤0 D.a≤－2
3．已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
参考答案
1解析：选D.由题意得0≤2x－1<，解得≤x<.
2解析：选B.设g(x)＝－x2－ax－5(x≤1)，h(x)＝(x>1)，
由题意得函数g(x)＝－x2－ax－5在(－∞，1]上单调递增，
函数h(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，且g(1)≤h(1)，
所以
解得－3≤a≤－2.
3解析：设u＝2－ax，
因为a>0且a≠1，
所以函数u＝2－ax在区间[0，1]上单调递减．
由题意可知函数y＝logau单调递增，
所以a>1.又因为u在区间[0，1]上要满足u>0，
所以解得a<2.
综上得1答案：(1，2)
考点三　求函数的最值(综合研析)
复习指导：会通过函数的图象或性质求函数的最值．
(1)函数y＝x＋的最小值为________．
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
【解析】　(1)令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
(2)在同一直角坐标系中，
作出函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象如图所示．
易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
【答案】　(1)1　(2)1
求函数最值的三种常用方法
|跟踪训练|
1．(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上无最小值
D．f(x)的图象关于直线x＝4对称
2．已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________．
参考答案
1解析：选BCD.f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．
令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t.
因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，
所以当x＝4时，t有最大值4，
所以f(x)max＝f(4)＝2ln 2，f(x)在(2，6)上无最小值．
2解析：由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.
答案：[4，＋∞)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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