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第1讲　函数的概念及其表示
考向预测 核心素养
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度. 数学抽象、数学运算
一、知识梳理
1．函数的有关概念
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
[注意]　函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
1．几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B.y＝＋1
C．y＝＋1 D.y＝＋1
2．(人A必修第一册P73习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
3．(人A必修第一册P72习题3.1 T1(4))函数f(x)＝的定义域为________．
参考答案
1.答案：B
2答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5]
3答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数．(　　)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　)
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(函数的概念理解易错)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
2．(易忽视两个函数相等的条件)在函数中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，g(x)＝
B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0
D．f(x)＝，g(x)＝()2
3．(忽略抽象函数定义域致误)已知函数f(x＋1)的定义域为[1，3]，则f(2x)的定义域为(　　)
A．[1，2] B.[1，3] C.[2，4] D.[2，6]
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选BC.A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项B，C正确．
2解析：选B.对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一个函数；对于B，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域相同，f(x)＝|x＋1|＝对应关系相同，即f(x)与g(x)是同一个函数；对于C，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一个函数．故选B.
3解析：选A.因为函数f(x＋1)的定义域为[1，3]，所以函数f(x)的定义域为[2，4]．
要求f(2x)的定义域，只需2≤2x≤4，解得1≤x≤2.
考点一　函数的定义域(多维探究)
复习指导：学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域．
角度1　求函数的定义域
(1)(链接常用结论1)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－1，3] B.(－1，0)∪(0，3]
C．[－1，3] D.[－1，0)∪(0，3]
(2)(2022·重庆市高三摸底)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数F(x)＝f(x＋2)＋的定义域为(　　)
A．(－2，3] B.[－2，3]
C.(0，3] D.(0，3)
【解析】　(1)要使函数有意义，x需满足
解得－1(2)函数F(x)＝f(x＋2)＋需满足解得－2【答案】　(1)B　(2)A
求函数定义域的两种方法
方法 解读 适合题型
直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体解析式，求f(x)的定义域
转移法 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域 已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
角度2　已知函数的定义域求参数
(2022·广州白云中学高一期中)已知y＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　
B.
C.
D.∪
【解析】　由题意可知，ax2＋(a－1)x＋>0的解集为R，
①当a＝0时，易知－x＋>0，即x<，这与ax2＋(a－1)x＋>0的解集为R矛盾；
②当a≠0时，则由题意得解得综上，实数a的取值范围是.
【答案】　C
已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．
跟踪训练
1．(2022·河北顺平月考)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1]　　　 B.
C．(－∞，2] D.∪
2．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2 B.－1
C．1 D.2
3．(2022·宁夏银川一中第一次月考)已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是________．
参考答案
1解析：选D.由题意得
解得x≤1且x≠－，
故所求定义域为∪.
2解析：选D.因为－2x＋a>0，
所以x<，所以＝1，所以a＝2.
3解析：由题意可得出－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，
因此，函数y＝f(2x－1)的定义域为.
答案：
考点二　函数的解析式(自主练透)
复习指导：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
1．已知函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
4．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________．　
求函数解析式的四种方法
参考答案
1解析：方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，
则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
答案：x2－5x＋9(x∈R)
2解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
所以即
所以f(x)＝x2－x＋2.
答案：x2－x＋2
3解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
答案：－x(x＋1)
解析：已知2f(x)＋f＝3x－1，①
以代替①中的x(x≠0)，得
2f＋f(x)＝－1，②
①×2－②，得3f(x)＝6x－－1，
故f(x)＝2x－－(x≠0)．
答案：2x－－(x≠0)
考点三　分段函数(多维探究)
复习指导：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
角度1　求分段函数的函数值
(1)已知函数f(x)＝若f＝－6，则实数a＝________，f(2)＝________．
(2)已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．
【解析】　(1)由题意得，f＝3×＋1＝3，
所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.
(2)因为2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，所以f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)，又3<3＋log32<4，所以f(3＋log32)＝＝×＝×(3－1)log32＝×3－log32＝×3log3＝×＝，所以f(2＋log32)＝.
【答案】　(1)－5　－6　(2)
关于分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度2　分段函数与方程、不等式问题
(1)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B.4
C.6 D.8
(2)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B.(0，＋∞)
C．(－1，0) D.(－∞，0)
【解析】　(1)因为当0＜x＜1时，f(x)＝为增函数，
当x≥1时，f(x)＝2(x－1)为增函数，
又f(a)＝f(a＋1)，所以＝2(a＋1－1)，
所以a＝.所以f＝f(4)＝6.
(2)因为f(x)＝
所以函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)＜f(2x)．
此时－1＜x＜0.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．
【答案】　(1)C　(2)D
解有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．
|跟踪训练|
1．(2022·山西太原三中模拟)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则f＝________．
2．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
参考答案
1解析：当m≥2时，m2－1＝3，
所以m＝2或m＝－2(舍去)；
当0所以m＝2.所以f＝f＝log2＝－1.
答案：－1
2解析：由题意知，a≠0，当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
考点四　函数的新定义问题(综合研析)
复习指导：能从函数的新定义中得到函数的概念或性质，求解有关问题．
(多选)(2022·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．下列函数是一阶整点函数的是(　　)
A．f(x)＝sin 2x B.g(x)＝x3
C．h(x)＝ D.φ(x)＝ln x
【解析】　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数φ(x)＝ln x，它的图象(图略)只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数．
【答案】　AD
(1)函数新定义问题的一般形式是由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(2)解决函数新定义问题的关键是紧扣新定义，学会语言的翻译和新旧知识的转化，可以培养学生的数学抽象的核心素养．
|跟踪训练|
若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0.
以下三个函数中是“优美函数”的为________．(填序号)
1 f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.
参考答案
解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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