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嵌套函数的零点问题
函数的零点问题是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函数与复合函数相关零点，与函数的图象性质交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
类型一　嵌套函数零点个数的判断
(1)(2022·宁夏高三月考)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)
A．3 B.7
C.5 D.6
(2)(2022·百师联盟高三联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数为________．
【解析】　(1)根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝.
作出f(x)的简图，如图所示．
由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有3个和4个交点，
故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为7.
(2)画出函数f(x)的图象，如图所示．
g(x)＝f(f(x))－的零点即为方程f(f(x))－＝0的解，
令t＝f(x)，则f(t)－＝0，
当t>1时，无解，
当0≤t≤1时，sin＝，解得t＝，
结合图象可知函数g(x)有2个零点．
【答案】　(1)B　(2)2
破解此类问题的主要步骤
(1)换元解套：将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g(x)与y＝f(t)的零点问题．
(2)依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
类型二　已知零点个数求参数范围
(1)已知f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－3f(x)＋a＝0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是________．
【解析】　(1)若a＝0，则方程f(f(x))＝0有无数个解，故a≠0，
因为f(f(x))＝0，所以lg f(x)＝0或＝0(舍去)，
所以f(x)＝1，
所以lg x＝1或＝1，
所以x＝10或a＝x－1，
因为关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，
所以a＝x－1在x≤0上无解，
所以a>－1.
综上所述，a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)作出f(x)的图象如下图所示，
令f(x)＝t，因为关于x的方程f2(x)－3f(x)＋a＝0(a∈R)有8个不等的实数根，
结合图象可知，关于t的方程t2－3t＋a＝0有2个不等的实数根，记为t1，t2，且t1，t2∈(1，2)，
因为t1＋t2＝3，t1t2＝a，所以a＝t1(3－t1)＝－＋，
又因为t1∈(1，2)，t1≠t2，即t1≠，
所以－＋的取值范围是，
所以a的取值范围是.
【答案】　(1)(－1，0)∪(0，＋∞)　(2)
(1)求解此类问题要抓住函数的图象性质，通过两层函数的零点个数及取值范围确定嵌套函数的零点．
(2)含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓临界位置，确定参数取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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