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第2课时　函数模型的应用
考向预测 核心素养
考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度. 数学建模
一、知识梳理
1．六种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
“对勾”函数模型 y＝x＋(a为常数，a>0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
常用结论
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
2．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0， ]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2.
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P152例6改编)
某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　)
A．y＝ax＋b B.y＝a·＋b(a>0)
C．y＝xa＋b(a>0) D.y＝ax＋(a>0，b>0)
解析：选B.由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，
函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a>0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.
2.
(多选)(人A必修第一册P155习题4.5T9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法中正确的是(　　)
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
解析：选ABD.把(1，2)代入y＝at，可得函数解析式为y＝2t，
因为＝1，所以每月增长率为1，A对；
当t＝5时，y＝32>30，所以B对；
第2个月增加2 m2，第3个月增加4 m2，C错；
由2t1＝2，2t2＝3，2t3＝6，
所以2t1·2t2＝2t3，故t1＋t2＝t3，D对．
3．(人A必修第一册P96习题3.4T5改编)下表是弹簧伸长长度x(单位：cm)与拉力F(单位：N)的相关数据：
x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2
F 1 2 3 4 5
写出能反映这一变化现象的函数为________．(不唯一)
解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数x＝kF＋b(k≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型．
取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则
解得所以x＝14.4F－0.2.
将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好．
答案：x＝14.4F－0.2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)
(3)不存在x0，使ax0(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1．(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x B.y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D.y＝100log2x＋100
解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证可知选C.
2．(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的为(　　)
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.
3．(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝－1.
答案：－1
考点一　用函数图象刻画变化过程(自主练透)
复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．
1．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是(　　)
A．y＝2t B.y＝log2t
C.y＝t3 D.y＝2t2
2．(2022·广州市综合检测(一))
如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)
3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)
4．(多选)
(2022·福建厦门高三质检)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则(　　)
A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时
参考答案
1解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A，C，D.选B.
2解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
3解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
4解析：选AD.当t＝1时，y＝4，即＝4，解得a＝3，
所以y＝故A正确，
药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝，
药物刚好失效的时间＝0.125，解得t＝6，
故药物有效时长为6－＝5小时，
药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×＝0.5微克，故C错误．
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点二　已知或选择函数模型解决实际问题(综合研析)
复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式；
2．根据几种常见函数的增长差异选择函数模型．
(1)(2022·江西高三月考)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y与其采摘后时间t(小时)近似满足的函数关系式为y＝k·mt(k，m为非零常数)，若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度(参考数据：lg 2≈0.3，结果取整数)(　　)
A．33小时　　　　　　 B.23小时
C．35小时 D.36小时
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，则
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
②最低种植成本是________元/100 kg.
【解析】　(1)由题意，两式相除得m10＝2，m＝2，代入得k＝5%，所以y＝5%·2，
由50%＝5%·2得2＝10，取对数得lg 2＝1，t＝≈≈33(小时)．
(2)由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
【答案】　(1)A　(2)①120　②80
已知或选择函数模型解决实际问题的注意点
(1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题．
(2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型．
|跟踪训练|
(多选)纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：
年份x 2018 2019 2020 2021
包装垃圾y (万吨) 4 6 9 13.5
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 018；②y＝asin＋b(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则(　　)
A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y(万吨)与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin＋2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y(万吨)与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
参考答案
解析：选AD.若选y＝4·，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5，
若选y＝4sin＋2 018，计算可得对应数据近似值都大于2 014，显然A正确，B错误；
按照选择函数模型y＝4·，
令y>40，即4×>40，
所以>10，
所以x－2 018>log10，
所以x－2 018>＝≈5.678 6，
所以x>2 023.678 6，
即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．
考点三　构建函数模型解决实际问题(多维探究)
复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量．
2．确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型．
角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
(链接常用结论2)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，L(x)取得最大值，为9万元．
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，当且仅当x＝时等号成立，
即x＝10时，L(x)取得最大值，为15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
角度2　构建指数函数、对数函数模型
(1)(2022·长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则达到最初的16 000倍只需经过(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 16 000≈9.680 3)(　　)
A．191天 B.195天
C.199天 D.203天
(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
【解析】　(1)设过x天能达到最初的16 000倍，
由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，
所以x＝≈198.4，
又x∈N，
故经过199天能达到最初的16 000倍．
(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
【答案】　(1)C　(2)6　10 000
(1)建模解决实际问题的三个步骤
①建模：抽象出实际问题的数学模型．
②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养．
[提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
|跟踪训练|
1．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为(　　)
A．2.5元 B.3元
C.3.2元 D.3.5元
2．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y(单位：℃)与经过时间t(单位：min)的函数关系是：y＝kat＋y0，其中a为衰减比例，y0是室温，t＝0时，y为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a＝，茶水初始温度为100 ℃，则k＝________，产生最佳口感所需时间是________min.
参考答案
1解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为x万元，
所以x≥22.4，化简得x2－6x＋8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，故选BC.
2解析：由题意，y＝kat＋20，当t＝0时，有y＝kat＋20＝k＋20＝100，k＝80，
则y＝80at＋20，当y＝60时，即80at＋20＝60，所以80at＝40，所以at＝，即＝，所以t＝8.
答案：80　8
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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