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第7讲　函数的应用
第1课时　函数的零点与方程的根
考向预测 核心素养
利用函数零点存在定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围是高考的热点，各种题型均可能出现，中高档难度. 直观想象、逻辑推理
一、知识梳理
1．函数的零点
(1)概念：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系：
2．函数零点的判断
条件 (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线．(2)f(a)f(b)<0
结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解
3.二分法
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断．(2)在区间端点的函数值满足f(a)f(b)<0
方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
2．(人A必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在区间是(　　)
A．(1，2) B.(0，1)
C.(2，e) D.(e，3)
解析：选C.因为f(2)＝ln 2－2<0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在区间为(2，e)．
3．(人A必修第一册P144练习T2(3)改编)函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点个数是________．
解析：因为函数f(x)的图象连续不断，且f(x)为增函数，f(0)＝－4<0，f(1)＝e0>0，所以函数f(x)有且只有1个零点．
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．　(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、易错纠偏
1．(不会利用函数的图象致误)已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1C．x2解析：选C.作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.
2．(忽视二次项系数为0致误)若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________．
解析：(1)当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；
(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，实数a的取值为a＝0或a＝1.
答案：0或1
考点一　函数的零点的判断(多维探究)
复习指导：结合函数的图象，判断方程根的存在性以及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．
角度1　函数零点所在区间的判断
(1)若aA．(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
【解析】　(1)函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
(2)方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线且f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二
(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
【答案】　(1)A　(2)B
角度2　函数零点个数的判断
(1)(链接常用结论1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A．0 B.1
C.2 D.3
(2)(多选)(2022·河北高二月考)已知函数f(x)＝则方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0的根的个数可能为(　　)
A．1 B.2
C.3 D.4
【解析】　(1)因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
(2)由f2(x)－mf(x)＋m－1＝0可得f(x)＝1或f(x)＝m－1，
函数f(x)的图象如图所示．
当0当m－1>1时，即当m>2时，方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0有三个实数根；
当－1【答案】　(1)B　(2)ABC
判断函数零点问题的策略
(1)利用零点存在定理：对图象连续不断的函数，根据区间端点对应函数值的正负判断零点；
(2)利用图象：画出函数图象，利用图象的交点判断零点个数；
(3)结合函数单调性判断零点个数．
|跟踪训练|
1．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B.2
C.1 D.0
2．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2参考答案
1解析：选B.由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
2解析：方法一(定理法)：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，根据零点存在定理可知，函数f(x)有唯一零点x0，且x0∈(2，3)，即n＝2.
方法二(图象法)：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
答案：2
考点二　函数零点的应用(多维探究)
复习指导：求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．
角度1　根据零点个数求参数
(1)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[1，0)　　　　 B.[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】　
(1)令h(x)＝－x－a，
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
由图知－a≤1，所以a≥－1.
(2)画出函数f(x)＝
的图象，如图所示．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0【答案】　(1)C　(2)(0，1)
角度2　根据零点范围求参数
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C. D.
(2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
(3)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)由题意知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1，2)内，
所以即
解得0(3)依题意可知m需满足
即
解得【答案】　(1)D　(2)C　(3)
根据函数零点求参数的常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
|跟踪训练|
1．(2022·浙江高三联考)设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．
2．若函数f(x)＝4x－2x－a在x∈[－1，1]上有零点，则实数a的取值范围是________．
参考答案
1解析：由题得f(0)＝30＋1＝2，所以f(f(0))＝f(2)＝log22＝1.
作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝a，由题意及图象得实数a的取值范围为1答案：1　12解析：由题意得方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝－，
因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈.
所以实数a的取值范围是.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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