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第1讲 有理数与数轴深入探究
一、有理数的基本概念
例题1
下列说法错误的是（ ）．
A. 负整数和负分数统称负有理数 B. 正整数， ，负整数统称为整数
C. 正有理数与负有理数组成全体有理数 D. 是小数，也是分数
例题2
下列各组数：① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与 ⑤ 与 ⑥ 与
，其中互为相反数的有（ ）．
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
例题3
若 ， ， ，那么 的值是（ ）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、有理数的比较大小
知识导航
① 数轴法：数轴右边的数比左边的数大．
② 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．
③ 作差法： ， ， ．
④ 特值法：对于只有一个字母且知道取值范围的题目，一般采用特值法会很简单.
⑤ 通分子法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．
【例】 比较 ， ， ， ， 的大小．
【解析】根据有理数大小比较法则，可转化为比较5个分数 ， ， ， ， 的大小，要比较分类大
小，通常的做法是通分，再比较分子的大小，这道题的5个分母通分，公分母是个很大的数，算起来很复
杂，如果我们换个角度思考：将5个分数的分子换成相同的数，再比较分母的大小，也就是说，先找出分
子的最小公倍数60，再将这些分数进行等值变换，5个分数依次等于： ， ， ， ， ，∵ <
< < <
即 < < < < ，∴ ＞ ＞ ＞ ＞ ．
例题4
比较大小用“ ”“ ”或“ ”填空．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
例题5
画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“ ”连接．
， ， ， ， ， ， ．
例题6
已知有理数 、 、 ，现比较 、 、 、 的大小，用“ ”连接．
例题7
设 ， ， ．若 ，则（　　）
A. B. C. D.
三、数轴的深入研究
知识导航
（1） 点的移动问题
① 数轴上两点间的距离=右边点表示的数 左边点表示的数；
② 距离表示数 的点 个单位长度的点有两个， 点左侧的点表示的数为 ，右侧的点表示的数为
；
③ 一个点表示的数为 ，点向左运动 个单位长度后表示的数为 ；向右运动 个单位长度后所表示的
数为 .（左减右加）
⑵ 线段的移动问题
因为线段上每一个点移动的距离是相同的，故解决线段移动问题就是将其转化为点的移动问题，用处理
点的移动问题的方法加以考虑和研究.
1.数轴上点的移动问题
例题8
填空：
(1) 点 在数轴距原点为 个单位长度，且位于原点左侧，若将 向右移动 个单位长度，再向
左移动 个单位长度，这时 点表示的数是 ．
(2) 已知 是数轴上的一个点，把 向左移动 个单位长度后，再向右移动 个单位长度，这时
它到原点的距离是 个单位长度，则 点表示的数是 ．
2.整数点覆盖
例题9
回答下列问题
(1) 在数轴上，表示 和 的两个点之间有 个整数．
(2) 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 厘米，若在这个数轴上随意画一条
长 厘米的线段 ，则 盖住的整数点的个数共有（ ）
A. 或 个 B. 或 个 C. 或 个 D. 或 个
3.数轴上求点对应的数
例题10
完成下列各题：
(1) 如图，在数轴上有 、 、 、 、 、 个点，点 表示 ，点 表示 ，且
，则与点 所表示的数最接近的整数是 ．
(2) 如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距 个单位长度，点 、 、 、 对应的数分
别为整数 、 、 、 ，且 ．试问：数轴上的原点在哪一点上？
4.周期问题与数轴
例题11
填空．
(1) 如图所示，圆的周长为 个单位长度，在圆的 等分点处标上数字 ， ， ， ．先让圆周上
数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，
那么数轴上的数 将与圆周上的数字 重合．
(2) 如图所示，数轴被折成 ，圆的周长为 个单位长度，在圆的 等分点处标上数字 ， ，
， ．先让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数
轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数 将与圆周上的数字 重合．
四、课后作业
练习1
已知有理数 、 在数轴上表示如图，现比较 、 、 、 的大小，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
练习2
、 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）．
A. B. C. D.
练习3
如果 ，请用“ ”将 、 、 、 、 、 连接起来，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
练习4
出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“ ”，向北记作“ ”
他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
， ， ， ， ， ， ，
请回答：
(1) 小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的
出发地多远．
(2) 若小王的出租车每千米耗油 升，不计汽车的损耗，共耗油多少升．
(3) 若规定每趟车的起步价是 无，且每趟车 千米以内（含 千米）只收起步价；若超过 千
米，除收起步价外，超过的每千米还需收 元钱，那么小王这天下午收到乘客所给车费共
多少元．
练习5
在数轴上有两个点 ， ，点 表示 ，点 与点 相距 个单位长度，则点 表示的数为（ ）．
A. 或 B. 或 C. D.
练习6
在数轴上任取一条长度为 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（
）．
A. B. C. D.
练习7
如图，数轴每相邻两点相距一个单位长度，数轴上 、 、 、 四点对应的整数分别是 、 、 、
，且有 ，那么，原点应是点（ ）．
A. B. C. D.
练习8
如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆周长为 个单位长度，且在圆周的三等
分点处分别标上了数字 ， ，先让原点与圆周上 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在
该圆周上，使数轴上 ， ， ， ， 所对应的点分别与圆周上 ， ， ， ， 所对应的点重合，
这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．若圆周上数字 与数轴上的数
对应，则数字 的值是（ ）．
A. B. C. D.
五、课后故事
诗人与数学题
19世纪俄国著名诗人莱蒙托夫，不仅擅长写诗，还喜欢做数学题和数学游戏。1841年初，莱蒙托夫在邓
金斯基团队服役，部队在阿那波驻防。军官们无事可做，常聚在一起闲聊。一位上了年纪的军官讲到，
有位主教能够心算非常复杂的数学问题。
老军官转身问道：“莱蒙托夫您的看法如何？听说，您也是一位不错的数学家！”
“这没什么了不起。”莱蒙托夫回答说，“如果你们高兴，我也可以给你们表演复杂的数学计算。”
大家都高兴地说：“您表演吧!”
莱蒙托夫站起来神秘地说：“请你们事先想好个数，按照我的要求做数学运算，我可以说出最后的答
数。”
“好吧，试试看。”一位军官怀疑地笑了笑说，“事先想好的数应该多大？”
莱蒙托夫说：“多大都可以。为了您便于计算，不妨先以两位数为限。”
“好啦，我已经想好了一个两位数。”这位军官把想好的数告诉给身旁的一位妇女。
莱蒙托夫说：“在这个数上加25。”军官在纸上写了起来。
莱蒙托夫接着说：“再加上125，减去37，再减去你最初想的那个数，余数乘5再除以2。”军官算了一阵
子，算出答数。
莱蒙托夫笑着说：“如果我没弄错，答数是 。”那个军官几乎跳了起来,莱蒙托夫如此迅速和准确的计
算，使他大吃一惊。
那个军官连连点头说：“ 完全正确！我原来想的数是50。您能不能再表演一次 ”
“好的。” 莱蒙托夫又要那个军官想好一个数，做了一系列数学运算之后，又正确地说出了最后的答数。
莱蒙托夫计算的秘密在哪儿 秘密在于莱蒙托夫在计算最后答数时，并没有用到军官事先想好的数，把计
算过程写出来就一目了然啦！
设那个军官事先想好的数为 ，可得算式：
从式中看出减去 等于0，只要你记住运算顺序:“想好的数加25，加125,减37,减想好的数,乘以5，除以
2”，再记住“答数 ”，任何人都可以做这个数学游戏。
莱蒙托夫活了多大年纪呢
由于莱蒙托夫一生喜爱数学，后来有人用他的生卒年代编了一道数学题:
“伟大的俄国诗人莱蒙托夫是19世纪的人。他生于19世纪，也死于19世纪。根据下述条件，说出他生于
哪一年？死于哪一年？
(1) 他诞生与逝世的年份，都是四个相同的阿拉伯数字组成，但排列位置不同；
(2 ) 他诞生的那一年，四个阿拉伯数字之和为14；
(3) 他逝世的年份，其阿拉伯数字的十位数是个位数的四倍。”
可以这样来考虑：既然“生于19世纪，死于19世纪”，那么他生和死的年代的前两位数字一定是18；根据
“他诞生的那一年， 四个阿拉伯数字之和为14。” 而百位和千位数字之和为1+8=9，可知个位和十位数字
之和是14-9=5；
由于“诞生和逝世的年份，都是四个相同的阿拉伯数字组成”，又由于“他逝世的年份，其阿拉伯数字的十
位数是个位数的四倍。”可以得知，莱蒙托夫死于1841年，生于1814年,仅仅活了27岁！第1讲 有理数与数轴深入探究
一、有理数的基本概念
例题1
下列说法错误的是（ ）．
A. 负整数和负分数统称负有理数 B. 正整数， ，负整数统称为整数
C. 正有理数与负有理数组成全体有理数 D. 是小数，也是分数
答案 C
解析 负整数和负分数统称负有理数， 正确．
整数分为正整数、负整数和 ， 正确．
正有理数与 ，负有理数组成全体有理数， 错误．
是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式， 正确．
故选 ．
例题2
下列各组数：① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与 ⑤ 与 ⑥ 与
，其中互为相反数的有（ ）．
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
答案 D
解析 ① 与 互为相反数；
② 与 不是相反数；
③ 与 是相反数；
④ 与 是相反数；
⑤ 与 是相反数；
⑥ 与 不是相反数．
故选 ．
例题3
若 ， ， ，那么 的值是（ ）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案 A
解析 ∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ．
∴ 或 ．
二、有理数的比较大小
知识导航
① 数轴法：数轴右边的数比左边的数大．
② 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．
③ 作差法： ， ， ．
④ 特值法：对于只有一个字母且知道取值范围的题目，一般采用特值法会很简单.
⑤ 通分子法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．
【例】 比较 ， ， ， ， 的大小．
【解析】根据有理数大小比较法则，可转化为比较5个分数 ， ， ， ， 的大小，要比较分类大
小，通常的做法是通分，再比较分子的大小，这道题的5个分母通分，公分母是个很大的数，算起来很复
杂，如果我们换个角度思考：将5个分数的分子换成相同的数，再比较分母的大小，也就是说，先找出分
子的最小公倍数60，再将这些分数进行等值变换，5个分数依次等于： ， ， ， ， ，∵ <
< < <
即 < < < < ，∴ ＞ ＞ ＞ ＞ ．
例题4
比较大小用“ ”“ ”或“ ”填空．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
(5) 略
(6) 略
例题5
画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“ ”连接．
， ， ， ， ， ， ．
答案 ．
解析 在数轴上标注所有的数（如图所示）．
在数轴上，右边的数总比左边的数大，
故 ．
例题6
已知有理数 、 、 ，现比较 、 、 、 的大小，用“ ”连接．
答案 ．
解析 略
例题7
设 ， ， ．若 ，则（　　）
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为 ， ， ．
又 ，
可得 ，
所以 ，
因为 ．
故选C．
三、数轴的深入研究
知识导航
（1） 点的移动问题
① 数轴上两点间的距离=右边点表示的数 左边点表示的数；
② 距离表示数 的点 个单位长度的点有两个， 点左侧的点表示的数为 ，右侧的点表示的数为
；
③ 一个点表示的数为 ，点向左运动 个单位长度后表示的数为 ；向右运动 个单位长度后所表示的
数为 .（左减右加）
⑵ 线段的移动问题
因为线段上每一个点移动的距离是相同的，故解决线段移动问题就是将其转化为点的移动问题，用处理
点的移动问题的方法加以考虑和研究.
1.数轴上点的移动问题
例题8
填空：
(1) 点 在数轴距原点为 个单位长度，且位于原点左侧，若将 向右移动 个单位长度，再向
左移动 个单位长度，这时 点表示的数是 ．
(2) 已知 是数轴上的一个点，把 向左移动 个单位长度后，再向右移动 个单位长度，这时
它到原点的距离是 个单位长度，则 点表示的数是 ．
答案 (1)
(2) 或
解析 (1) 略
(2) 略
2.整数点覆盖
例题9
回答下列问题
(1) 在数轴上，表示 和 的两个点之间有 个整数．
(2) 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 厘米，若在这个数轴上随意画一条
长 厘米的线段 ，则 盖住的整数点的个数共有（ ）
A. 或 个 B. 或 个 C. 或 个 D. 或 个
答案 (1)
(2) C
解析 (1) 数形结合，有 个整数．
(2) 依题意得：①当线段 起点在整点时覆盖 个数；②当线段 起点不在整点，即在
两个整点之间时覆盖 个数．故选 ．
3.数轴上求点对应的数
例题10
完成下列各题：
(1) 如图，在数轴上有 、 、 、 、 、 个点，点 表示 ，点 表示 ，且
，则与点 所表示的数最接近的整数是 ．
(2) 如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距 个单位长度，点 、 、 、 对应的数分
别为整数 、 、 、 ，且 ．试问：数轴上的原点在哪一点上？
答案 (1)
(2) 为原点．
解析 (1) 略．
(2) ∵由图可知 点与 点相隔三个单位长度，且点 、 、 、 对应的数分别为整数 、
、 、 ，
∴ ．①
又∵已知 ，②
∴由①②可解得 ， ，
则根据题意和图示， ，即 为原点．
4.周期问题与数轴
例题11
填空．
(1) 如图所示，圆的周长为 个单位长度，在圆的 等分点处标上数字 ， ， ， ．先让圆周上
数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，
那么数轴上的数 将与圆周上的数字 重合．
(2) 如图所示，数轴被折成 ，圆的周长为 个单位长度，在圆的 等分点处标上数字 ， ，
， ．先让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数
轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数 将与圆周上的数字 重合．
答案 (1)
(2)
解析 (1) ， ，则与数字 重合．
(2) ， ，则与数字 重合．
四、课后作业
练习1
已知有理数 、 在数轴上表示如图，现比较 、 、 、 的大小，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案 C
解析 有数轴可知 ， 故选 ．
练习2
、 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 特殊值法．
练习3
如果 ，请用“ ”将 、 、 、 、 、 连接起来，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 A
解析 令
则
故选
练习4
出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“ ”，向北记作“ ”
他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
， ， ， ， ， ， ，
请回答：
(1) 小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的
出发地多远．
(2) 若小王的出租车每千米耗油 升，不计汽车的损耗，共耗油多少升．
(3) 若规定每趟车的起步价是 无，且每趟车 千米以内（含 千米）只收起步价；若超过 千
米，除收起步价外，超过的每千米还需收 元钱，那么小王这天下午收到乘客所给车费共
多少元．
答案 (1) 南侧； 处．
(2) 升．
(3) 元．
解析 (1) 在出发地南侧 处．
故答案为：南侧； 处．
(2) （升）．
故答案为： ．
(3) （元）．
故答案为： ．
练习5
在数轴上有两个点 ， ，点 表示 ，点 与点 相距 个单位长度，则点 表示的数为（ ）．
A. 或 B. 或 C. D.
答案 B
解析 设 点表示的数为 ，
∵点 表示 ，点 与点 相距 个单位长度，
∴ ，计算得出 或 ．
练习6
在数轴上任取一条长度为 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（
）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 通过找规律可知，一厘米的线段在数轴上能盖住 个或 个点， 厘米同样盖过 个或 个点，
所以 长的线段最多盖 个点．选 ．
练习7
如图，数轴每相邻两点相距一个单位长度，数轴上 、 、 、 四点对应的整数分别是 、 、 、
，且有 ，那么，原点应是点（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 方法一：由数轴可得，
若原点在 点，则 ，
若原点在 点，则 ，
若原点在 点，则 ，
若原点在 点，则 ，
∵数轴上 、 、 、 四点对应的整数分别是 、 、 、 ，且有 ，
∴原点应是点 ，
故选 ．
方法二：由数轴可得，
设 为 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴原点应为 ．
练习8
如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆周长为 个单位长度，且在圆周的三等
分点处分别标上了数字 ， ，先让原点与圆周上 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在
该圆周上，使数轴上 ， ， ， ， 所对应的点分别与圆周上 ， ， ， ， 所对应的点重合，
这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．若圆周上数字 与数轴上的数
对应，则数字 的值是（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ，则与数字 重合．
五、课后故事
诗人与数学题
19世纪俄国著名诗人莱蒙托夫，不仅擅长写诗，还喜欢做数学题和数学游戏。1841年初，莱蒙托夫在邓
金斯基团队服役，部队在阿那波驻防。军官们无事可做，常聚在一起闲聊。一位上了年纪的军官讲到，
有位主教能够心算非常复杂的数学问题。
老军官转身问道：“莱蒙托夫您的看法如何？听说，您也是一位不错的数学家！”
“这没什么了不起。”莱蒙托夫回答说，“如果你们高兴，我也可以给你们表演复杂的数学计算。”
大家都高兴地说：“您表演吧!”
莱蒙托夫站起来神秘地说：“请你们事先想好个数，按照我的要求做数学运算，我可以说出最后的答
数。”
“好吧，试试看。”一位军官怀疑地笑了笑说，“事先想好的数应该多大？”
莱蒙托夫说：“多大都可以。为了您便于计算，不妨先以两位数为限。”
“好啦，我已经想好了一个两位数。”这位军官把想好的数告诉给身旁的一位妇女。
莱蒙托夫说：“在这个数上加25。”军官在纸上写了起来。
莱蒙托夫接着说：“再加上125，减去37，再减去你最初想的那个数，余数乘5再除以2。”军官算了一阵
子，算出答数。
莱蒙托夫笑着说：“如果我没弄错，答数是 。”那个军官几乎跳了起来,莱蒙托夫如此迅速和准确的计
算，使他大吃一惊。
那个军官连连点头说：“ 完全正确！我原来想的数是50。您能不能再表演一次 ”
“好的。” 莱蒙托夫又要那个军官想好一个数，做了一系列数学运算之后，又正确地说出了最后的答数。
莱蒙托夫计算的秘密在哪儿 秘密在于莱蒙托夫在计算最后答数时，并没有用到军官事先想好的数，把计
算过程写出来就一目了然啦！
设那个军官事先想好的数为 ，可得算式：
从式中看出减去 等于0，只要你记住运算顺序:“想好的数加25，加125,减37,减想好的数,乘以5，除以
2”，再记住“答数 ”，任何人都可以做这个数学游戏。
莱蒙托夫活了多大年纪呢
由于莱蒙托夫一生喜爱数学，后来有人用他的生卒年代编了一道数学题:
“伟大的俄国诗人莱蒙托夫是19世纪的人。他生于19世纪，也死于19世纪。根据下述条件，说出他生于
哪一年？死于哪一年？
(1) 他诞生与逝世的年份，都是四个相同的阿拉伯数字组成，但排列位置不同；
(2 ) 他诞生的那一年，四个阿拉伯数字之和为14；
(3) 他逝世的年份，其阿拉伯数字的十位数是个位数的四倍。”
可以这样来考虑：既然“生于19世纪，死于19世纪”，那么他生和死的年代的前两位数字一定是18；根据
“他诞生的那一年， 四个阿拉伯数字之和为14。” 而百位和千位数字之和为1+8=9，可知个位和十位数字
之和是14-9=5；
由于“诞生和逝世的年份，都是四个相同的阿拉伯数字组成”，又由于“他逝世的年份，其阿拉伯数字的十
位数是个位数的四倍。”可以得知，莱蒙托夫死于1841年，生于1814年,仅仅活了27岁！

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