资源简介

第2讲 有理数综合运算
一、有理数的混合运算
知识导航
1. 有理数混合运算的运算顺序： ① 先乘方，再乘除，最后加减； ② 同级运算，从左到右进行； ③ 如
有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
2.乘法分配律及其逆用 ①乘法分配律： ②逆用：
3.倒数的妙用 在四则混合运算中，有时会用倒数来解题，正规解起来会很麻烦. 示例说明：计算
原式的倒数 所以，原式 .
例题1
计算．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 原式
．
(2) 原式
．
(3) 原式
．
(4) 原式
．
例题2
计算：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1)
．
(2) 设 ， ，题目中要求 ，可以先求 ，则
．
∴原式 ．
二、数列的计算
常用数列计算：①分组求和；② 连锁约分；③裂项相消；④整体换元；⑤错位相减.
1.分组求和
例题3
计算：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 略
(2) 原式
．
例题4
在数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的前面加上“ ”或“ ”，使所得的和为非负数，则这个非负数
的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ．
答；这个非负数的最小值是 ．
故选： ．
2.连锁约分
例题5
计算： ．
答案 ．
解析 原式
．
3.裂项相消
常规分数裂项示例：
⑴　 ；
⑵　 ；
例题6
观察下列两组等式：
① ； ； ；
② ； ； ；
(1) 根据你的观察，先写出猜想：
；
．
(2) 用简单方法计算下列各题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
答案 (1) 1．
2．
3．
4．
(2) ① ；② ；③ ；④ ．
解析 (1) ；
．
(2) ①
．
②
．
③
．
④
．
4.整体换元
例题7
计算：
A. B. C. D.
答案 D
解析 设
则原式
5.错位相减
例题8
计算：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 原式 ．
(2) 原式 ．
三、课后作业
作业1
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1)
．
(2)
．
(3)
．
(4)
．
作业2
计算：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 原式 ．
(2) 原式 ．
作业3
计算：
．
答案 ．
解析 略
作业4
观察下列各等式，并回答问题： ； ； ；
；
(1) 填空： ．（ 是正整数）
(2) 计算： ．
(3) 若 与 互为相反数，求：
的值．
答案 (1)
(2)
(3) ．
解析 (1) ．
(2) 原式
．
(3) ∵ ，
∴ ， ，
∴原式
．
作业5
计算： ．
答案 ．
解析 方法一：设 ， ，
则
．
故答案为： ．
方法二：设 ，
则原式
．
作业6
为了求 的值，可令 ，则
，因此 ，所以
，仿照以上推理计算出 的值是（
）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 令 ，则 ，因此
，所以 ，所以 ．
作业7
计算： ．
答案
备选答案 : 和
解析 ∵ ，
，
，
……
∴ ．
四、课后故事
神奇的斐波那契数列 ——自然界中的斐波那契数列
人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排
列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……所有这一切向我们展示了许多美丽的数
学模式。而对这些自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到斐波那契数列上来。
斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质。
这个性质在自然界中，不可思议之处在于，似乎完全没有秩序的植物彼此相隔的距离或叶子的生长，都
被斐波那契数列支持着。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生
长，而后才能萌发新枝。例如一株树苗生长一年以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌
发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的
枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以
发现它们花瓣数目具有斐波那契数：
3……百合和蝴蝶花
5……蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8……翠雀花
13……金盏草
21……紫宛
34、55、89……雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，
然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那
契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个“循回”。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波
那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数
的叶序比呈现为斐波那契数的比。
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如
此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具
有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长
方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳
地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一
片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割
数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的
斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
向日葵结籽盘，是对数螺线，有顺时针也有逆时针的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个
斐波那契数，一般是34和55，大的向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺
线，都是相继的斐波那契数，和向日葵是一样的，还有松籽、菜花。第2讲 有理数综合运算
一、有理数的混合运算
知识导航
1. 有理数混合运算的运算顺序： ① 先乘方，再乘除，最后加减； ② 同级运算，从左到右进行； ③ 如
有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
2.乘法分配律及其逆用 ①乘法分配律： ②逆用：
3.倒数的妙用 在四则混合运算中，有时会用倒数来解题，正规解起来会很麻烦. 示例说明：计算
原式的倒数 所以，原式 .
例题1
计算．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题2
计算：
(1) ．
(2) ．
二、数列的计算
常用数列计算：①分组求和；② 连锁约分；③裂项相消；④整体换元；⑤错位相减.
1.分组求和
例题3
计算：
(1) ．
(2) ．
例题4
在数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的前面加上“ ”或“ ”，使所得的和为非负数，则这个非负数
的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
2.连锁约分
例题5
计算： ．
3.裂项相消
常规分数裂项示例：
⑴　 ；
⑵　 ；
例题6
观察下列两组等式：
① ； ； ；
② ； ； ；
(1) 根据你的观察，先写出猜想：
；
．
(2) 用简单方法计算下列各题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
4.整体换元
例题7
计算：
A. B. C. D.
5.错位相减
例题8
计算：
(1) ．
(2) ．
三、课后作业
作业1
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
作业2
计算：
(1) ．
(2) ．
作业3
计算：
．
作业4
观察下列各等式，并回答问题： ； ； ；
；
(1) 填空： ．（ 是正整数）
(2) 计算： ．
(3) 若 与 互为相反数，求：
的值．
作业5
计算： ．
作业6
为了求 的值，可令 ，则
，因此 ，所以
，仿照以上推理计算出 的值是（
）．
A. B. C. D.
作业7
计算： ．
四、课后故事
神奇的斐波那契数列 ——自然界中的斐波那契数列
人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排
列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……所有这一切向我们展示了许多美丽的数
学模式。而对这些自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到斐波那契数列上来。
斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质。
这个性质在自然界中，不可思议之处在于，似乎完全没有秩序的植物彼此相隔的距离或叶子的生长，都
被斐波那契数列支持着。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生
长，而后才能萌发新枝。例如一株树苗生长一年以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌
发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的
枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以
发现它们花瓣数目具有斐波那契数：
3……百合和蝴蝶花
5……蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8……翠雀花
13……金盏草
21……紫宛
34、55、89……雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，
然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那
契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个“循回”。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波
那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数
的叶序比呈现为斐波那契数的比。
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如
此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具
有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长
方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳
地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一
片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割
数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的
斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
向日葵结籽盘，是对数螺线，有顺时针也有逆时针的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个
斐波那契数，一般是34和55，大的向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺
线，都是相继的斐波那契数，和向日葵是一样的，还有松籽、菜花。

展开更多......

收起↑