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第3讲 绝对值的化简
一、绝对值的有条件化简
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化简绝对值的核心是判断绝对值里面整体的正负，如果是正，直接去掉绝对值；如果是负，则需要变为
相反数.
利用取值范围化简绝对值本质还是利用未知数的取值范围，首先判断出绝对值里面代数式的正负，从
而去掉绝对值.对于有些难度比较大的题目，可以利用特值法，在取值范围内取一个合适的值，代入判断
正负即可.
1.利用绝对值的代数意义化简绝对值
例题1
阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当 时，
，当 时， ．根据以上阅读完成：
(1) ．
(2) 计算： ．
2.利用数轴化简绝对值
例题2
1 在数轴上表示 ， ， 三个数的点的位置如图所示．
(1) 填空．
1 ．
2 ．
3 ．
4 ．
(2) 化简式子： ．
2 有理数 ， ， 在数轴上的位置如下图所示，则 ．
3 有理数 、 、 在数轴上的对应点如图所示：化简代数式： ．
3.利用取值范围化简绝对值
例题3
1 若 ，则 （用含 的代数式表示）．
2 当有理数 时，则 的值为 ．
3 已知 ，化简 ．
例题4
当 时， ．
例题5
1 如果 是同一个三角形的三条边长，化简 = ．
2 已知 ,且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3 设 、 、 为非零有理数，且 ， ， ．化简：
．
二、|a|/a的化简
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将无条件化简转变成有条件化简：
，
；
，
常见变形如下：
，
，
，
，
例题6
1 已知 ， ， ， ， 都是不等于 的有理数，请探究以下问题：
(1) ．
(2) ．
(3) ，
(4) ．
(5) 由以上探究知： 共有 个不同的值，在这些值中，最大值
与最小值的差等于 ，所有这些值的绝对值的和等于 ．
2 若 ，则 的可能取值有 种．
例题7
1 已知 ，则 的值为 ．
2 先化简再求值．
已知 ，求 ．
3 若 ， ，求 的值.
三、课后作业
练习1
已知有理数 、 、 在数轴上对应的位置如图所示，化简： ．
练习2
已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，求 的值．
练习3
已知 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
练习4
若 ， ，那么 ．
练习5
若 ，则 .
练习6
已知 ，则 的值不可能的是（ ）．
A. B. C. D.
练习7
若 ， ， 是非零有理数， ，则 的值是 ．
练习8
已知 ，求 的值 .
练习9
若非零有理数 ， ， 满足： ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D. 或
四、课后故事
高斯奖
高斯奖由德国数学家联合会和国际数学联盟共同设立，以纪念“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss,
1777-1855），主要用于奖励在数学之外的应用领域，如经济、技术乃至日常生活中有深刻影响的数学
家。
高斯奖设立于2002 年，并于2006 年在马德里召开的第25 届国际数学家大会上首次颁发。高斯奖包含一
笔奖金和一枚奖章；奖金目前为一万欧元，资金来源于1998 年在柏林召开的ICM 的结余。高斯奖章正
反图案均以数学中的基本元素点、线、曲线来构图。正面勾勒出高斯的头像，并刻文“For Applications
of Mathematics”（“为应用数学”）；反面为一曲线、一点和一方框组成的图以表示高斯的伟大成就之
一：以最小二乘法来确定行星的轨迹。这是应用数学的典范。
1801 年元旦，意大利天文学家皮亚齐（Giuseppe Piazzi）发现了后来被命名为谷神星的小行星。皮亚
齐跟踪观测了40 天后由于谷神星运行至太阳背后而丢失。科学家们开始了利用皮亚齐的观测数据来预测
谷神星出现位置。时年只有24 岁的高斯运用早在1794 年就创立的最小二乘法理论，准确地预测了谷神
星的轨迹。同年底，天文学家Zack 在很接近高斯预测的位置上重新发现了谷神星。
高斯绘谷神星的轨迹图
1809 年高斯在题为《围绕太阳沿圆锥曲线轨道公转的天体的运动理论》一文中，正式发表了最小二乘法
理论。此前法国的勒让德（Adrien-Marie Legendre）也独立发现了最小二乘法原理。不过高斯对最小二
乘法的贡献确实很大。他在1822 年证明了回归分析中最小二乘法在一定意义上是最优的。他还利用最小
二乘理论，得出了拉普拉斯等人苦思不得的误差分布——现在常称的高斯分布。德国曾经流通的10 马克
纸币，以及一枚纪念高斯的纪念币上，都有象征正态分布密度函数的“钟形”曲线图。
获得首届高斯奖的日本著名数学家伊藤清（Kiyoshi Itō, 1915-2008）的工作即是高斯奖表彰对象的范
例。伊藤清揭示了随机王国的牛顿定律，开创了“随机分析”学。获得1997 年的诺贝尔经济学奖的美国经
济学家Robert Merton 和Myron Scholes 提出进行期权定价的Black- Scholes 模型即基于伊藤清的工作。
虽然早在1900 年，法国数学家Bachelier 就已经在他的博士论文中应用布朗运动来研究金融问题了，但
伊藤清还是对他自己所研究的纯粹概率理论能在金融数学里有着深刻的应用感到吃惊。
　　2006 年9 月，国际数学联盟主席鲍尔爵士前往日本将首届高斯奖颁给伊藤清（右一）第3讲 绝对值的化简
一、绝对值的有条件化简
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化简绝对值的核心是判断绝对值里面整体的正负，如果是正，直接去掉绝对值；如果是负，则需要变为
相反数.
利用取值范围化简绝对值本质还是利用未知数的取值范围，首先判断出绝对值里面代数式的正负，从
而去掉绝对值.对于有些难度比较大的题目，可以利用特值法，在取值范围内取一个合适的值，代入判断
正负即可.
1.利用绝对值的代数意义化简绝对值
例题1
阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当 时，
，当 时， ．根据以上阅读完成：
(1) ．
(2) 计算： ．
答案 (1)
(2) ．
解析 (1) ∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
(2) ∵ ， ， ， ， ，
∴原式
．
故答案为： ．
2.利用数轴化简绝对值
例题2
1 在数轴上表示 ， ， 三个数的点的位置如图所示．
(1) 填空．
1 ．
2 ．
3 ．
4 ．
(2) 化简式子： ．
答案 (1) 1
2
3
4
(2) ．
解析 (1) 1 ．
2 ．
3 ．
4 ．
(2) ∵ ， ，
∴ 是个负数， 是正数， 是负数，
∴原式
．
2 有理数 ， ， 在数轴上的位置如下图所示，则 ．
答案
解析 由图可得， ， ， ，
∴ ．
3 有理数 、 、 在数轴上的对应点如图所示：化简代数式： ．
答案 化简后得： ．
解析 ∵由图可知： ，
∴ ， ， ， ，
∴原式 ，
．
3.利用取值范围化简绝对值
例题3
1 若 ，则 （用含 的代数式表示）．
答案
解析 略．
2 当有理数 时，则 的值为 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3 已知 ，化简 ．
答案
解析 ∵当 时，
， ，
∴ ．
例题4
当 时， ．
答案
解析 方法一：因为 ，所以
方法二：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∴
.
例题5
1 如果 是同一个三角形的三条边长，化简 = ．
答案
解析 由三角形两边之和大于第三边可知：
原式 （ ） ．
2 已知 ,且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
答案 A
解析 略
3 设 、 、 为非零有理数，且 ， ， ．化简：
．
答案 ．
解析 ∵ ， ， ，
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
∴原式 ．
二、|a|/a的化简
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将无条件化简转变成有条件化简：
，
；
，
常见变形如下：
，
，
，
，
例题6
1 已知 ， ， ， ， 都是不等于 的有理数，请探究以下问题：
(1) ．
(2) ．
(3) ，
(4) ．
(5) 由以上探究知： 共有 个不同的值，在这些值中，最大值
与最小值的差等于 ，所有这些值的绝对值的和等于 ．
答案 (1) 或
(2) 或 或
(3) 或 或 或
(4) 或 或 或 或
(5) 1．
2．
3．
解析 (1) 当 时，
当 时，
∴ ．
(2) 由（ ）可得， ， ．
∴ 或 或 ．
(3) 由（ ）可得， ， ， ．
∴ 或 ．
(4) 由（ ）可得， ， ， ， ．
∴ 或 或 ．
(5) 总结规律发现．
或 或 或 或 ．
共 个不同的值．
其中最大值为 ，最小值为 ，差为 ．
所有这些值的绝对值之和为
．
2 若 ，则 的可能取值有 种．
答案
解析 当 、 、 均为正数时，原式 ；
当 、 、 中有一个负数时，原式 ；
当 、 、 中有两个负数时，原式 ；
当 、 、 均为负数时，原式 ．
故答案为： ．
例题7
1 已知 ，则 的值为 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ， 异号．
∴ ．
故答案为： ．
2 先化简再求值．
已知 ，求 ．
答案 或 ．
解析 ∵ ，
∴ ，
∴有两种情况，一正三负或一负三正，
①一正三负， ；
②一负三正， ；
综上所示，原式的值为 或 ．
3 若 ， ，求 的值.
答案 ．
解析 略．
三、课后作业
练习1
已知有理数 、 、 在数轴上对应的位置如图所示，化简： ．
答案 ．
解析 ∵ ， ， ，
∴原式 ．
故答案为： ．
练习2
已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，求 的值．
答案 ．
解析 由数轴上点的位置关系，得
， ．
．
练习3
已知 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ．
．
综上所述，故结论是：
的值 ．
故选 ．
练习4
若 ， ，那么 ．
答案
解析 ∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
则
．
练习5
若 ，则 .
答案
解析 略
练习6
已知 ，则 的值不可能的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ①当 、 同号时，原式 ；或原式 ；②当 、 异号时，
原式 ．故 的值不可能的是 ．
练习7
若 ， ， 是非零有理数， ，则 的值是 ．
答案 或 或
解析 略．
练习8
已知 ，求 的值 .
答案 或
解析 略
练习9
若非零有理数 ， ， 满足： ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D. 或
答案 C
解析 ∵非零有理数 ， ， 满足 ，
∴ 、 、 中负数的个数为 个或 个，
当 、 、 中负数的个数为 个时，
原式 ．
当 、 、 中负数的个数为 个时，
原式 .
故选： .
四、课后故事
高斯奖
高斯奖由德国数学家联合会和国际数学联盟共同设立，以纪念“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss,
1777-1855），主要用于奖励在数学之外的应用领域，如经济、技术乃至日常生活中有深刻影响的数学
家。
高斯奖设立于2002 年，并于2006 年在马德里召开的第25 届国际数学家大会上首次颁发。高斯奖包含一
笔奖金和一枚奖章；奖金目前为一万欧元，资金来源于1998 年在柏林召开的ICM 的结余。高斯奖章正
反图案均以数学中的基本元素点、线、曲线来构图。正面勾勒出高斯的头像，并刻文“For Applications
of Mathematics”（“为应用数学”）；反面为一曲线、一点和一方框组成的图以表示高斯的伟大成就之
一：以最小二乘法来确定行星的轨迹。这是应用数学的典范。
1801 年元旦，意大利天文学家皮亚齐（Giuseppe Piazzi）发现了后来被命名为谷神星的小行星。皮亚
齐跟踪观测了40 天后由于谷神星运行至太阳背后而丢失。科学家们开始了利用皮亚齐的观测数据来预测
谷神星出现位置。时年只有24 岁的高斯运用早在1794 年就创立的最小二乘法理论，准确地预测了谷神
星的轨迹。同年底，天文学家Zack 在很接近高斯预测的位置上重新发现了谷神星。
高斯绘谷神星的轨迹图
1809 年高斯在题为《围绕太阳沿圆锥曲线轨道公转的天体的运动理论》一文中，正式发表了最小二乘法
理论。此前法国的勒让德（Adrien-Marie Legendre）也独立发现了最小二乘法原理。不过高斯对最小二
乘法的贡献确实很大。他在1822 年证明了回归分析中最小二乘法在一定意义上是最优的。他还利用最小
二乘理论，得出了拉普拉斯等人苦思不得的误差分布——现在常称的高斯分布。德国曾经流通的10 马克
纸币，以及一枚纪念高斯的纪念币上，都有象征正态分布密度函数的“钟形”曲线图。
获得首届高斯奖的日本著名数学家伊藤清（Kiyoshi Itō, 1915-2008）的工作即是高斯奖表彰对象的范
例。伊藤清揭示了随机王国的牛顿定律，开创了“随机分析”学。获得1997 年的诺贝尔经济学奖的美国经
济学家Robert Merton 和Myron Scholes 提出进行期权定价的Black- Scholes 模型即基于伊藤清的工作。
虽然早在1900 年，法国数学家Bachelier 就已经在他的博士论文中应用布朗运动来研究金融问题了，但
伊藤清还是对他自己所研究的纯粹概率理论能在金融数学里有着深刻的应用感到吃惊。
　　2006 年9 月，国际数学联盟主席鲍尔爵士前往日本将首届高斯奖颁给伊藤清（右一）

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