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第4讲 绝对值的几何意义
一、利用绝对值的几何意义求两点间的距离及解方程
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的几何意义：在数轴上，表示 这个数的点到原点的距离．
的几何意义：在数轴上，表示数 ， 的两点之间的距离．
的几何意义：在数轴上，表示数 ， 的两点之间的距离．
例题1
的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离．
(1) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离；则 ．
(2) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
，则 ．
(3) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
，则 ．
(4) 同样道理 表示数轴上有理数 所对点到 和 所对的两点距离之和，请你找
出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ．
二、利用绝对值的几何意义求最值
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的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之和．
的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之差．
例题2
1 求代数式 的最小值．
2 计算 的最小值．
3 的最小值 ．
4 数轴上是否存在数 ，使 的值最小？若存在，请求出最小值及 的值；若
不存在，请说明理由．
例题3
当 的值最小时，求 的最大值与最小值．
例题4
请回答下列问题：
(1) 已知 ，求 的最大值与最小值．
(2) 已知 ，求 的最大值与最小
值．
例题5
求 的最值．
三、利用绝对值的几何意义解决实际问题
例题6
如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区， 个工厂 ， ，…， 分布
在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各
工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在 点又
建立了一个工厂，并且沿着图上的细线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？
四、课后作业
练习1
我们都知道 表示数 在数轴上对应的点到原点的距离，解决下面问题：
(1) 数 的数轴上对应的点到 的距离为 ．
(2) 若数轴上表示 的点在 （包括 ）到 （包括 ）之间时，则 的最小值等
于 ．
练习2
认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如 表示 、 在数轴上对应的两
点之间的距离： ，所以 表示 、 在数轴上对应的两点之间的距离:
，所以 表示 在数轴上对应的点到原点的距离．
一般地，点 、点 在数轴上分别表示有理数 、 ，那么点 、点 之间的距离可表示为 ．
(1) 点 、 、 在数轴上分别表示有理数 、 、 ，那么点 到点 的距离与点 到点 的距离
之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
(2) 利用数轴探究：
1 满足 的 的取值范围是 ．
2 满足 的 的所有值是 ．
3 设 ，当 的值取在不小于 且不大于 的范围时， 的值是不变
的，而且是 的最小值，这个最小值是 ．
(3) 拓展．
1 的最小值为 ．
2 的最小值为 ．
3 的最小值为 ，此时 的取值范围为
．
练习3
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题．
(1) 数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；表示 和 两点之间的距离是 ．
(2) 如果 ，那么 ．
(3) 若 ， ，且数 、 在数轴上表示的点分别是点 、点 ，则 、 两点间
的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4) 求代数式 的最小值．
(5) 若 表示一个有理数，则代数式 有最大值吗？若有，请求出最大值；
若没有，请说明理由．
练习4
若代数式 的结果是 ，则 最小值是 ．
练习5
已知 ，求 的最大值与最小值．
练习6
请回答下列各题．
求 的最值．
练习7
如图所示，在一条笔直的公路上有 个村庄，其中 、 、 、 、 、 到城市的距离分别为 、
、 、 、 、 千米，而村庄 正好是 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到
活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
城市
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
五、课后故事
等宽曲线
圆是与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。车轮就直接地应用了圆的这个性质。车轮正是由
于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动。倘若车轮不是圆的，那么
车轴将会产生一种忽上忽下的运动。运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固。
有时我们要移动重物，可以如同图1那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进。圆用来作滚动的原因
是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的。即圆在任
意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”。
然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!
事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。它的画法
如下：
1．画一个等边三角形；
2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。请你亲自动手做个实验。把一硬纸卡片剪出一
个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。如果正方形的边长等于曲线的
宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧
密无间地自由转动（如图3）。实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而
自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。这种具有奇
特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方
法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为
圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆
弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画
法，并使它的宽度为b。开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，
选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶
D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角
顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。也就是E是两个弧的交点。最后，用
一个以E为圆心、b为半径的弧连接A和D，这样就得到一个等宽的曲边五边形ADBEC（如图6）。边数
更多的多边形，可用同样的方法作出来，这只要多作几步，然后使曲线成为闭合的就可以了。
同样的原理，我们还可以利用这些曲线得到没有任何角顶的等宽曲线。
这些方法使我们可以构作无数个等宽曲线，它们都是由许多圆弧组成的。但不要误解为等宽曲线只能由
圆弧组成，实际上有这样的等宽曲线，它的一部分不管是多么小，都不是圆弧。在这里我们不可能介绍
它，因为已经超出了初中几何知识的范围。
日常生活中，我们看到许多加盖的盛具，如锅、杯、壶、缸、桶之类，都是圆口圆盖的形状。这除了容
易加工制造以外，主要还是应用圆是等宽曲线的特性。圆形的盖子，只要它不变形，从任何方向都不会
掉进盛具里去。为了提高观赏价值与品茶雅兴，一些艺术茶壶的壶盖可以设计成其他等宽曲线的形状。第4讲 绝对值的几何意义
一、利用绝对值的几何意义求两点间的距离及解方程
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的几何意义：在数轴上，表示 这个数的点到原点的距离．
的几何意义：在数轴上，表示数 ， 的两点之间的距离．
的几何意义：在数轴上，表示数 ， 的两点之间的距离．
例题1
的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离．
(1) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离；则 ．
(2) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
，则 ．
(3) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
，则 ．
(4) 同样道理 表示数轴上有理数 所对点到 和 所对的两点距离之和，请你找
出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ．
答案 (1)
(2) 1．
2．
3． 或
(3) 1．
2．
3． 或
(4) ， ， ， ， ， ， ，
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
二、利用绝对值的几何意义求最值
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的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之和．
的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之差．
例题2
1 求代数式 的最小值．
答案 ．
解析 时，最小值为 ．
2 计算 的最小值．
答案 时，最小值为 ．
解析 略．
3 的最小值 ．
答案
解析 如图，
∵根据绝对值几何意义，且零点个数
为偶数，
∴当 时，原式取得最
小值，最小值为
．
4 数轴上是否存在数 ，使 的值最小？若存在，请求出最小值及 的值；若
不存在，请说明理由．
答案 存在，当 时，原式最小值为 ．
解析 当 时， 可转化为数轴上表示 的点到 和 的距离之和，
∴当 时， 的最小值为 ．
例题3
当 的值最小时，求 的最大值与最小值．
答案 最大值 ；最小值 ．
解析 略．
例题4
请回答下列问题：
(1) 已知 ，求 的最大值与最小值．
(2) 已知 ，求 的最大值与最小
值．
答案 (1) 最大值 ；最小值 .
(2) 最大值 ；最小值 .
解析 (1) 略．
(2) 略．
例题5
求 的最值．
答案 最大值为 ，最小值为 .
解析 的几何意义是：
到 的距离与 到 的距离之差
∴当 时，最大值为 ．
当 时，最小值为 ．
三、利用绝对值的几何意义解决实际问题
例题6
如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区， 个工厂 ， ，…， 分布
在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各
工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在 点又
建立了一个工厂，并且沿着图上的细线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？
答案 处； 处、 处或它们之间的任何地方都是最佳的．
解析 每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些
工厂重复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂
经小路进入公路的入口处（ 、 、 、 、 ）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程
度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，即车站设在 点最好．若在 处再建一个工
厂，则车站建在 处、 处或它们之间的任何地方都是最佳的．
四、课后作业
练习1
我们都知道 表示数 在数轴上对应的点到原点的距离，解决下面问题：
(1) 数 的数轴上对应的点到 的距离为 ．
(2) 若数轴上表示 的点在 （包括 ）到 （包括 ）之间时，则 的最小值等
于 ．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 略．
(2) 略．
练习2
认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如 表示 、 在数轴上对应的两
点之间的距离： ，所以 表示 、 在数轴上对应的两点之间的距离:
，所以 表示 在数轴上对应的点到原点的距离．
一般地，点 、点 在数轴上分别表示有理数 、 ，那么点 、点 之间的距离可表示为 ．
(1) 点 、 、 在数轴上分别表示有理数 、 、 ，那么点 到点 的距离与点 到点 的距离
之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
(2) 利用数轴探究：
1 满足 的 的取值范围是 ．
2 满足 的 的所有值是 ．
3 设 ，当 的值取在不小于 且不大于 的范围时， 的值是不变
的，而且是 的最小值，这个最小值是 ．
(3) 拓展．
1 的最小值为 ．
2 的最小值为 ．
3 的最小值为 ，此时 的取值范围为
．
答案 (1)
(2) 1
2
3
(3) 1
2
3 1．
2．
解析 (1) ．
(2) 1 由图知 ．
2 由图知 ．
3 在 时，
，
∵ 且 为最小值，
∴ ．
(3) 1 ．
2 ．
3 ； ．
练习3
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题．
(1) 数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；表示 和 两点之间的距离是 ．
(2) 如果 ，那么 ．
(3) 若 ， ，且数 、 在数轴上表示的点分别是点 、点 ，则 、 两点间
的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4) 求代数式 的最小值．
(5) 若 表示一个有理数，则代数式 有最大值吗？若有，请求出最大值；
若没有，请说明理由．
答案 (1) 1．
2．
(2) 或
(3) 1．
2．
(4) 最小值为 ．
(5) 代数式式子 有最大值 ．
解析 (1) ， ．
故答案为： ； ．
(2) ，
则 或 ．
故答案为： 或 ．
(3) 由题知， 或 ， 或 ，
则 、 间最大距离是 ，
、 间最小距离是 ．
故答案为： ； ．
(4) 最小值为 ，
．
故答案为：最小值为 ．
(5) 根据绝对值的定义有： 可表示为点 到 与 两点距离之和，
根据几何意义分析可知：
当 在 与 之间时， 有最小值 ，
所以
，
所以代数式式子 有最大值 ．
故答案为：代数式式子 有最大值 ．
练习4
若代数式 的结果是 ，则 最小值是 ．
答案
解析 由 和 取最小值可知 ，
同理由 和 取最小值可知 ，
当 最小时， ， ，∴ ．
练习5
已知 ，求 的最大值与最小值．
答案 最大值为 ，最小值为 ．
解析 略
练习6
请回答下列各题．
求 的最值．
答案 最小值为 ，最大值为 ．
解析 略
练习7
如图所示，在一条笔直的公路上有 个村庄，其中 、 、 、 、 、 到城市的距离分别为 、
、 、 、 、 千米，而村庄 正好是 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到
活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
城市
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
答案 C
解析
因为村庄 是 的中点，所以村庄 到城市的距离为 千米，即村庄 在村庄 之间， 个村
庄依次排列为 ．设活动中心到城市的距离为 千米，各村到活动中心的距离之和为
千米，则：
因为 ，所以当 时 有最小值，所以活动中心应当建在
处．
五、课后故事
等宽曲线
圆是与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。车轮就直接地应用了圆的这个性质。车轮正是由
于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动。倘若车轮不是圆的，那么
车轴将会产生一种忽上忽下的运动。运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固。
有时我们要移动重物，可以如同图1那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进。圆用来作滚动的原因
是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的。即圆在任
意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”。
然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!
事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。它的画法
如下：
1．画一个等边三角形；
2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。请你亲自动手做个实验。把一硬纸卡片剪出一
个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。如果正方形的边长等于曲线的
宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧
密无间地自由转动（如图3）。实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而
自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。这种具有奇
特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方
法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为
圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆
弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画
法，并使它的宽度为b。开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，
选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶
D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角
顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。也就是E是两个弧的交点。最后，用
一个以E为圆心、b为半径的弧连接A和D，这样就得到一个等宽的曲边五边形ADBEC（如图6）。边数
更多的多边形，可用同样的方法作出来，这只要多作几步，然后使曲线成为闭合的就可以了。
同样的原理，我们还可以利用这些曲线得到没有任何角顶的等宽曲线。
这些方法使我们可以构作无数个等宽曲线，它们都是由许多圆弧组成的。但不要误解为等宽曲线只能由
圆弧组成，实际上有这样的等宽曲线，它的一部分不管是多么小，都不是圆弧。在这里我们不可能介绍
它，因为已经超出了初中几何知识的范围。
日常生活中，我们看到许多加盖的盛具，如锅、杯、壶、缸、桶之类，都是圆口圆盖的形状。这除了容
易加工制造以外，主要还是应用圆是等宽曲线的特性。圆形的盖子，只要它不变形，从任何方向都不会
掉进盛具里去。为了提高观赏价值与品茶雅兴，一些艺术茶壶的壶盖可以设计成其他等宽曲线的形状。

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