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第5讲 整式的化简求值
一、整式的加减运算
整式的加减运算是求几个整式的和、差的运算，其实质就是去括号、合并同类项，运算结果仍是整式．
1.基本概念
例题1
1 整式 ， ， ， ， ， ， 中，单项式的个数有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2 单项式 的系数为 ，次数为 ．
例题2
1 多项式 的次数是 ，最高项的系数为 ．
2 多项式 是 次 项式，它的常数项是 ．
3 若 与 是同类项，则 ， ．
2.化简求值
例题3
已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值是 ，求 的值．
例题4
a是绝对值等于 的负数， 是最小的正整数， 的倒数的相反数是 ，求代数式
的值．
例题5
已知： ，求 的值.
3.不含某项求系数
例题6
要使得多项式 原式中不含 项，则 的值为 ．
例题7
多项式 与多项式 相加后不含二次项和一次项，则 ，
．
二、技巧性化简求值
1.整体代入求值
在单个字母取值不确定的情况下，某些代数式的求值要借助于“整体代入法”，即把某个代数式看作一个
整体．用“整体代入法”求值的关键是确定“整体”．
（ ）观察法
通过观察就可确定代换的“整体”，这类题目较简单．
（ ）拼凑法
需将要求式进行转化，“凑”出与已知式相同的式子再代入求值，这种构造“整体”的技巧，平时要注意总
结．
例题8
1 已知 ，则 的值为 ．
2 若 ，则 ．
3 若 的值为 ，则代数式 的值为 ．
例题9
1 已知 ， ，则代数式 的值是 ；代数式 的值是
．
2 己知： ， ， ，求 的值．
三、课后作业
练习1
已知 与 的和仍是一个单项式，则 ．
练习2
已知 与 是同类项，化简代数式 并求该代数
式的值（ ）．
A. B. C. D.
练习3
已知：设 ， ，求当 、 互为倒数时， 的值．
练习4
已知多项式 ， 且 ，则 为（ ）．
A. B.
C. D.
练习5
若多项式 与 的差不含 项，则 ．
练习6
已知多项式 和 ， ， ，当 与 的差
不含二次项时，求 的值为 ．
练习7
已知 ，求代数式 的值为 ．
练习8
若 的值是 ，求代数式 的值是 ．
练习9
如果 ， ，则 ， ．
四、课后故事
最高的与最矮的
　　班上有64位同学，身高都有一些微小差异。让他们排成8行8列的方阵。如果从每一行8位同学中挑
出一位最高的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最矮的同学A。让这些同学回到各自原来的位置站好
后，再从每一列8位同学中挑出一位最矮的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最高的同学B。且假定A
与B是不同的两个人，你看他们谁高？
　　这是一个很有趣的问题，但要做出满意的回答，却需动动脑筋。首先遇到的问题是A、B两位同学的
位置无法确定，更何况64人排成8行8列的方阵，其排法又何止万千！
　　但是，问题真的那么复杂、那么难以解决吗？数学的方法可以为你帮很大的忙。
　　A、B两位同学在方阵中的位置，不外乎以下几种情况：
　　（l）A与B在同一行。
　　这时，A是从这一行中挑出的最高的，所以A比B高；
　　（2）A与B在同一列。
　　这时，因为B是从这一列中挑出的最矮的，所以还是A比B高；
　　（3）A与B既不同行，也不同列。
　　如下图所示，我们总可以找到一个A所在的行与B的在的列相交的位置，假定排在这个位置上的是同
学C，则按题目的规定，A比C高，所以仍然是A比B高。
　　
　　综上所述，不论哪种情形，A总比B高。
　　问题竟如此轻松地解决了！而解决问题的方法将给你留下难忘的印象。这种方法，我们称之为分类
的方法，其实质就是根据题设的条件，把该问题所要讨论的各种可能出现的情况适当地划分为若干部
分，然后对各个部分分别进行讨论，最后把问题解决。第5讲 整式的化简求值
一、整式的加减运算
整式的加减运算是求几个整式的和、差的运算，其实质就是去括号、合并同类项，运算结果仍是整式．
1.基本概念
例题1
1 整式 ， ， ， ， ， ， 中，单项式的个数有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 整式 ， ， ， ， ， ， 中，单项式有 ， ，
， ， 共 个．
2 单项式 的系数为 ，次数为 ．
答案 1．
2．
解析 单项式的系数为数字因数，次数为所有字母的指数之和．
例题2
1 多项式 的次数是 ，最高项的系数为 ．
答案
1．
2．
备选答案 :
解析 多项式 ．
多项式的次数是 ，最高项的系数为 ．
2 多项式 是 次 项式，它的常数项是 ．
答案 1．三
2．四
3．
解析 是有以下四项组成：
① ，次数为 ．
② ，次数为 ．
③ ，次数为 ．
④常数项： ．
故此多项式为 次 项式，常数项为 ．
3 若 与 是同类项，则 ， ．
答案 1．
2． 或
解析 ，
，
∴ 或 ．
2.化简求值
例题3
已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值是 ，求 的值．
答案 ．
解析 ∵ 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值是 ，
∴ ， ， ，
∴ ．
例题4
a是绝对值等于 的负数， 是最小的正整数， 的倒数的相反数是 ，求代数式
的值．
答案 ．
解析 依题意得： ， ， ，
原式 ．
例题5
已知： ，求 的值.
答案 ．
解析 ∵ ，
∴ ， ．
原式 ，
= ．
将 ， 代入得：原式 ．
3.不含某项求系数
例题6
要使得多项式 原式中不含 项，则 的值为 ．
答案
解析 原式 ，
∵原式中不含 项，
∴ ，
∴ ．
例题7
多项式 与多项式 相加后不含二次项和一次项，则 ，
．
答案 1．
2．
解析
∵两个多项式相加后不含二次项和一次项
∴ 　
∴ 　
故答案为： ； ．
二、技巧性化简求值
1.整体代入求值
在单个字母取值不确定的情况下，某些代数式的求值要借助于“整体代入法”，即把某个代数式看作一个
整体．用“整体代入法”求值的关键是确定“整体”．
（ ）观察法
通过观察就可确定代换的“整体”，这类题目较简单．
（ ）拼凑法
需将要求式进行转化，“凑”出与已知式相同的式子再代入求值，这种构造“整体”的技巧，平时要注意总
结．
例题8
1 已知 ，则 的值为 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
2 若 ，则 ．
答案
解析 变式为 ．
∴ ．
3 若 的值为 ，则代数式 的值为 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
例题9
1 已知 ， ，则代数式 的值是 ；代数式 的值是
．
答案 1．
2．
解析 略．
2 己知： ， ， ，求 的值．
答案 ．
解析 ， ， ， ．
三、课后作业
练习1
已知 与 的和仍是一个单项式，则 ．
答案
解析 ∵ 与 的和仍是一个单项式，
∴ 与 是同类项，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ．
练习2
已知 与 是同类项，化简代数式 并求该代数
式的值（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ， ，原式 ．
练习3
已知：设 ， ，求当 、 互为倒数时， 的值．
答案 ．
解析
．
因为 、 互为倒数，所以 ，
原式 ．
练习4
已知多项式 ， 且 ，则 为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由于多项式 ， 且 ，
则
．
练习5
若多项式 与 的差不含 项，则 ．
答案
解析
，
∵多项式 与 的差不含 项，
∴ ，
∴ ．
练习6
已知多项式 和 ， ， ，当 与 的差
不含二次项时，求 的值为 ．
答案
解析 =
= ．
∵ 与 的差不含二次项，
∴ ，
∴ ，
原式= ．
练习7
已知 ，求代数式 的值为 ．
答案
解析 方法一： ．
方法二：
．
练习8
若 的值是 ，求代数式 的值是 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ ．
练习9
如果 ， ，则 ， ．
答案 1．
2．
解析 方法一： ；
．
方法二：利用整体思想，我们不需要求出 ， 的值，而只需用已知的代数式将结论表示出来
．
．
对于简单的此种类型题目，我们可以靠观察发现变形得出结果，以后的学习中我们将会接触
到如何从理论上求得变形过程．
故答案为： ； ．
四、课后故事
最高的与最矮的
　　班上有64位同学，身高都有一些微小差异。让他们排成8行8列的方阵。如果从每一行8位同学中挑
出一位最高的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最矮的同学A。让这些同学回到各自原来的位置站好
后，再从每一列8位同学中挑出一位最矮的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最高的同学B。且假定A
与B是不同的两个人，你看他们谁高？
　　这是一个很有趣的问题，但要做出满意的回答，却需动动脑筋。首先遇到的问题是A、B两位同学的
位置无法确定，更何况64人排成8行8列的方阵，其排法又何止万千！
　　但是，问题真的那么复杂、那么难以解决吗？数学的方法可以为你帮很大的忙。
　　A、B两位同学在方阵中的位置，不外乎以下几种情况：
　　（l）A与B在同一行。
　　这时，A是从这一行中挑出的最高的，所以A比B高；
　　（2）A与B在同一列。
　　这时，因为B是从这一列中挑出的最矮的，所以还是A比B高；
　　（3）A与B既不同行，也不同列。
　　如下图所示，我们总可以找到一个A所在的行与B的在的列相交的位置，假定排在这个位置上的是同
学C，则按题目的规定，A比C高，所以仍然是A比B高。
　　
　　综上所述，不论哪种情形，A总比B高。
　　问题竟如此轻松地解决了！而解决问题的方法将给你留下难忘的印象。这种方法，我们称之为分类
的方法，其实质就是根据题设的条件，把该问题所要讨论的各种可能出现的情况适当地划分为若干部
分，然后对各个部分分别进行讨论，最后把问题解决。

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