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第6讲 整式的综合运用
一、赋值法
赋值法，顾名思义，就是给代数式中的未知数赋值，从而得到我们要求的答案.注意，赋值法很多时候是
结合整体思想一起考察的
例题1
1 已知代数式 ，当 时它的值为 ；当 时它的值为 ，求
时，代数式 的值．
2 已知当 时，代数式 的值为 ，那么当 时，代数式 的
值是多少．
例题2
设 ，求：
(1) 的值．
(2) 的值．
(3) 的值．
(4) 的值．
二、整式的实际运用
例题3
1 如图是一个长方形的铝合金窗框，其长为 米，高为 米，装有同样大的塑钢玻璃，当第②块向右
拉到与第③块重叠 ，再把第①块向右拉到与第②块重叠 时，用含 与 的式子表示这时窗子的通
风面积是 ．
2 七张如图 的长为 ，宽为 的小长方形纸片，按图 的方式不重叠地放在长方形 内，
未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影部分，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为
，当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，则 ， 满足的关系式
是 ．
例题4
小亮房间窗户的窗帘如图 所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．
图 图
(1) 请用代数式表示装饰物的面积： ，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是
．（结果保留 ）
(2) 当 ， 时，求窗户能射进阳光的面积是多少．（取 ）
(3) 小亮又设计了如图 的窗帘（由一个半圆和两个四分之一的圆组成，半径相同），请你帮
他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少．
例题5
如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一个数，与从个位到最高位依次排
出的一个数完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如 ， ， ， 都是
“和谐数”．请你解答以下问题：
(1) 设一个四位“和谐数”个位上的数字 ，十位上的数字 ，请你用含有 、 的代数式表示出这
个四位数．
(2) 请说明任意一个四位“和谐数”都能被 整除．
三、程序运算
一般是以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关
系．
例题6
1 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入 ，则最后输出的结果是 ．
输入 输出
2 如下图，输入 ，则输出值 是 ．
输 输
入 出
3 按照如图所示的程序计算，若开始输入 的值为 ，则第一次得到的 ，第二次得到的结果为 ，第
三次得到的结果为 ， ，则第 次得到的结果是 ．
为奇数
输入 输出
为偶数
4 按下面的程序计算：
当输入 时，输出结果为 ．当输入 时，输出结果为 ．如果输入 的值是正整数，
输出结果是 ，那么满足条件的 的值最多有（ ）．
输入 计算 输出结果
是
否
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
四、定义新运算
解题的关键是要准确理解新运算的数学意义，进而转化为数学问题．
⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，
然后按照基本运算过程、运算律进行运算.
⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题
中使用
例题7
1 对整数 ， ， ， ，规定 ，若 ，则 ．
2 对于任意有理数 、 ，定义一种新运算“ ”，规则如下： ，例如：
，则 ．
3 用 表示不超过数 的最大整数，如 ， ，则 ．
4 定义： 是不为 的有理数，我们把 称为 的差倒数．如： 的差倒数是 ， 的差倒
数是 ．已知 ，
(1) 是 的差倒数，则 ．
(2) 是 的差倒数，则 ．
(3) 是 的差倒数，则 ， ，依此类推，则 ．
五、作业
练习1
当 时，多项式 的值为 ，则当 时，多项式 的值为（ ）．
A. B. C. D.
练习2
已知 ，对于任意的 的值都成立．求
下列各式的值：
(1) ．
(2) ．
练习3
已知两个完全相同的大长方形，长为 ，宽为 ，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图
（ ）、图（ ），那么，图（ ）阴影部分的周长与图（ ）阴影部分的周长的差是（ ）．
（ ） （ ）
A. B. C. D.
练习4
某窗户的形状如图所示（图中长度单位： )，其中上部是半径为 的半圆形，下部是宽为
的长方形．
(1) 用含 ， 的式子表示窗户的面积 (结果保留 )．
(2) 当 ， 时，求窗户的面积 （取 ）．
练习5
有一个三位数，它的百位数上的数字是 ，个位上的数字是 ，十位上的数字是 ．
(1) 这个三位数可表示为 ．
(2) 若把这个数的个位上的数字与百位上的数字互换位置，得到另一个数，这两个数的和一定
被 整除，试说明理由．
练习6
兴华电子厂生产一种电子产品和配件，已知该电子产品的售价为 元／台，配件的售价为 元／
个，在促销活动期间，有如下两种优惠方案（顾客只能选择其中一种优惠方案）：
①买一台电子产品送一个配件．
②电子产品每台降价 元出售，配件每个打 折．
在促销活动期间，某学校计划到该厂购买 台电子产品， 个配件（其中 ）．
(1) 该校选择不同的优惠方案购买电子产品和配件所需总费用分别是多少元？（用 、 的代数
式表示并化简）
(2) 若该校计划购买电子产品的数量为 台，配件为 个，则选择哪种优惠方案更划算？
(3) 若该校计划购买电子产品的数量为 台，配件为 个，则选择哪种优惠方案更划算？
练习7
在如图所示的运算流程中，若输出的数 ，则输入的数 ．
输入
是
是否为偶数 除以 输出
否
加
练习8
如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是 ，则最初输入的数是 ．
输入 输出
练习9
已知 ， 为有理数，如果规定一种运算“ ”，即 ，试根据这种运算完成下列各题．
(1) 求 的值．
(2) 求 的值．
练习10
有若干个数，第一个记为 ，第二个记为 ，第三个记为 ，若 ，
从第 个数起，每个数都等于“ 与它前面那个数的差的倒数”．
(1) 计算 ， ， 的值．
(2) 根据以上计算结果，求出 的值．
六、课后故事
点子的排列方向
　
　　
　　正常的骰子，相对两面的点子数目之和总是7；就此而言，上图中的三只骰子是正常的。但是，从点
子的排列方向来看，其中有一只与其他两只不同。
　　在A、B、C这三只骰子中，哪一只与其他两只不同？
　　（提示：判定哪些面上的点子可以有不同的排列方向；然后判定这些排列方向在不同的骰子中是否
一致。）
　　　　答　案
　　无论骰子怎样摆，一点、四点和五点的排列方向总是不变的。但是，两点、三点和六点却可以有如
下不同的排列方向：
　　
　　以下的推理，是以相对两面点数之和为7的事实为依据的。
　　如果骰子B和骰子A相同，则骰子B上的两点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以骰子A
和骰子B不是相同的。
　　如果骰子C和骰子A相同，则骰子C上的三点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以骰子A
和骰子C是不相同的。
　　如果骰子C和骰子B相同，则骰子C上的六点应该是像图中所示的排列方向。
　　由于题目中指明有两只骰子相同，因此相同的必定是骰子B和骰子C。与它们不同的便是骰子A了。第6讲 整式的综合运用
一、赋值法
赋值法，顾名思义，就是给代数式中的未知数赋值，从而得到我们要求的答案.注意，赋值法很多时候是
结合整体思想一起考察的
例题1
1 已知代数式 ，当 时它的值为 ；当 时它的值为 ，求
时，代数式 的值．
答案 ．
解析 方法一：由题意可得：
当 时， 的值为 ．
所以 ．
因为当 时，原式的值为 ，
所以 ，
两式相加可得：
．
即 ．
所以当 时，代数式 的值为 ．
方法二：当 时， ，
∴ ；
∴ ；①
当 时， ；
∴ ；
∴ ；②
∴ ①+②得： ，
∴ ；
∴当 时， ．
2 已知当 时，代数式 的值为 ，那么当 时，代数式 的
值是多少．
答案 ．
解析 当 时，
代数式
，
所以 ，
当 时，
．
例题2
设 ，求：
(1) 的值．
(2) 的值．
(3) 的值．
(4) 的值．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 令 代入已知等式，得 ．
(2) 将 代入已知等式，得 ．
(3) 将 代入已知等式，得
所以 ．
(4) 由 ， ，两式相加得：
所以 ．
二、整式的实际运用
例题3
1 如图是一个长方形的铝合金窗框，其长为 米，高为 米，装有同样大的塑钢玻璃，当第②块向右
拉到与第③块重叠 ，再把第①块向右拉到与第②块重叠 时，用含 与 的式子表示这时窗子的通
风面积是 ．
答案
解析
故答案为： ．
2 七张如图 的长为 ，宽为 的小长方形纸片，按图 的方式不重叠地放在长方形 内，
未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影部分，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为
，当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，则 ， 满足的关系式
是 ．
答案
解析 左上角阴影部分的长为 ，宽为 ，右下角阴影部分的长为 ，宽为 ，
∵ ，即 ，
，
∴ ，即 ，
∴阴影部分面积之差
，
则 ，即 ，
故答案为： ．
例题4
小亮房间窗户的窗帘如图 所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．
图 图
(1) 请用代数式表示装饰物的面积： ，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是
．（结果保留 ）
(2) 当 ， 时，求窗户能射进阳光的面积是多少．（取 ）
(3) 小亮又设计了如图 的窗帘（由一个半圆和两个四分之一的圆组成，半径相同），请你帮
他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少．
答案 (1) ，
(2) ．
(3) 是，比原来大 ．
解析 (1) 装饰物面积 ，
所以能射进阳光的面积为 ．
(2) 当 ， 时， ．
(3) 此时能射入阳光的面积为 ，
∵ ，
∴此时能射进阳光面积更大，
，
∴比原来大 ．
例题5
如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一个数，与从个位到最高位依次排
出的一个数完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如 ， ， ， 都是
“和谐数”．请你解答以下问题：
(1) 设一个四位“和谐数”个位上的数字 ，十位上的数字 ，请你用含有 、 的代数式表示出这
个四位数．
(2) 请说明任意一个四位“和谐数”都能被 整除．
答案 (1) ．
(2) 证明见解析．
解析 (1) 由题意可得．
(2) 四位“和谐数”： ， ， ，
猜想：任意一个四位“和谐数”都能被 整除．
理由：设一个四位的和谐数为 ，用十进制表示为
∵ ， 为整数
所以 能被 整除．
三、程序运算
一般是以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关
系．
例题6
1 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入 ，则最后输出的结果是 ．
输入 输出
答案
解析 由题意得： ，
，
，
∴输出的结果是 ，
故答案为： ．
2 如下图，输入 ，则输出值 是 ．
输 输
入 出
答案
解析 输入 ，故 ，故输出值 是 ．
3 按照如图所示的程序计算，若开始输入 的值为 ，则第一次得到的 ，第二次得到的结果为 ，第
三次得到的结果为 ， ，则第 次得到的结果是 ．
为奇数
输入 输出
为偶数
答案
解析 ∵根据这个循环得到的循环数是 ．
，
∴第 次得到的结果是 ．
4 按下面的程序计算：
当输入 时，输出结果为 ．当输入 时，输出结果为 ．如果输入 的值是正整数，
输出结果是 ，那么满足条件的 的值最多有（ ）．
输入 计算 输出结果
是
否
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 A
解析 令 ，得 ，此时经过一次循环输出结果 ．令 ，得 ．此
时，经过 次循环输出结果．令 ，得 ．
∵ 要求输入的 值须为正整数，
∴ 的值最多有两个．
四、定义新运算
解题的关键是要准确理解新运算的数学意义，进而转化为数学问题．
⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，
然后按照基本运算过程、运算律进行运算.
⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题
中使用
例题7
1 对整数 ， ， ， ，规定 ，若 ，则 ．
答案 或
解析 ， ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
则 或 ．
2 对于任意有理数 、 ，定义一种新运算“ ”，规则如下： ，例如：
，则 ．
答案
解析 ．
3 用 表示不超过数 的最大整数，如 ， ，则 ．
答案
解析 ．
4 定义： 是不为 的有理数，我们把 称为 的差倒数．如： 的差倒数是 ， 的差倒
数是 ．已知 ，
(1) 是 的差倒数，则 ．
(2) 是 的差倒数，则 ．
(3) 是 的差倒数，则 ， ，依此类推，则 ．
答案 (1)
(2)
(3) 1．
2．
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
五、作业
练习1
当 时，多项式 的值为 ，则当 时，多项式 的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 当 时，原式 ，即 ，
则当 时，原式 ，
故选： ．
练习2
已知 ，对于任意的 的值都成立．求
下列各式的值：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 令 ，则 ．
(2) 令 ，得 ①,
又 ②，
② ①得 ，
∴ ．
练习3
已知两个完全相同的大长方形，长为 ，宽为 ，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图
（ ）、图（ ），那么，图（ ）阴影部分的周长与图（ ）阴影部分的周长的差是（ ）．
（ ） （ ）
A. B. C. D.
答案 C
解析 设图中小长方形的长为 ，宽为 ，大长方形的宽为 ，
根据题意，得： 、 ，
则 ，
图（ ）中阴影部分的周长为 ，
图（ ）中阴影部分的周长为 ，
图（ ）阴影部分周长与图（ ）阴影部分周长之差为：
．
故选 ．
练习4
某窗户的形状如图所示（图中长度单位： )，其中上部是半径为 的半圆形，下部是宽为
的长方形．
(1) 用含 ， 的式子表示窗户的面积 (结果保留 )．
(2) 当 ， 时，求窗户的面积 （取 ）．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1)
．
(2)
．
练习5
有一个三位数，它的百位数上的数字是 ，个位上的数字是 ，十位上的数字是 ．
(1) 这个三位数可表示为 ．
(2) 若把这个数的个位上的数字与百位上的数字互换位置，得到另一个数，这两个数的和一定
被 整除，试说明理由．
答案 (1)
(2) 理由见解析．
解析 (1) 这个三位数为 ，
故答案为： ．
(2) 这个数的个位上的数字与百位上的数字互换位置得到的数为
，
则这两个数的和为
，
即这两个数的和一定被 整除．
练习6
兴华电子厂生产一种电子产品和配件，已知该电子产品的售价为 元／台，配件的售价为 元／
个，在促销活动期间，有如下两种优惠方案（顾客只能选择其中一种优惠方案）：
①买一台电子产品送一个配件．
②电子产品每台降价 元出售，配件每个打 折．
在促销活动期间，某学校计划到该厂购买 台电子产品， 个配件（其中 ）．
(1) 该校选择不同的优惠方案购买电子产品和配件所需总费用分别是多少元？（用 、 的代数
式表示并化简）
(2) 若该校计划购买电子产品的数量为 台，配件为 个，则选择哪种优惠方案更划算？
(3) 若该校计划购买电子产品的数量为 台，配件为 个，则选择哪种优惠方案更划算？
答案 (1) 选择①所需总费用为 元，选择②所需总费用为 元．
(2) 选择①种优惠方案列划算．
(3) 选择②种优惠方案更划算．
解析 (1) 选择①所需总费用为 （元），
选择②所需总费用为 （元）．
(2) 当 ， 时， （元），
（元），
∵ ，
∴选择①种优惠方案列划算．
(3) 当 ， 时，
（元），
（元）．
∵ ，
∴选择②种优惠方案更划算．
练习7
在如图所示的运算流程中，若输出的数 ，则输入的数 ．
输入
是
是否为偶数 除以 输出
否
加
答案 或
解析 当 是偶数时，有 ，
解得： ，
当 是奇数时，有 ．
解得： ．
练习8
如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是 ，则最初输入的数是 ．
输入 输出
答案
解析 设输入的数字为 ，
第一次输入： ，
第二次输入： ，
第三次输入： ，
故 ，
解得： ．
练习9
已知 ， 为有理数，如果规定一种运算“ ”，即 ，试根据这种运算完成下列各题．
(1) 求 的值．
(2) 求 的值．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) ∵ ，
∴
．
(2) ∵ ，
∴
．
练习10
有若干个数，第一个记为 ，第二个记为 ，第三个记为 ，若 ，
从第 个数起，每个数都等于“ 与它前面那个数的差的倒数”．
(1) 计算 ， ， 的值．
(2) 根据以上计算结果，求出 的值．
答案 (1) ； ； ．
(2) ．
解析 (1) ， ， ， ．
(2) ，
，
∴ ．
六、课后故事
点子的排列方向
　
　　
　　正常的骰子，相对两面的点子数目之和总是7；就此而言，上图中的三只骰子是正常的。但是，从点
子的排列方向来看，其中有一只与其他两只不同。
　　在A、B、C这三只骰子中，哪一只与其他两只不同？
　　（提示：判定哪些面上的点子可以有不同的排列方向；然后判定这些排列方向在不同的骰子中是否
一致。）
　　　　答　案
　　无论骰子怎样摆，一点、四点和五点的排列方向总是不变的。但是，两点、三点和六点却可以有如
下不同的排列方向：
　　
　　以下的推理，是以相对两面点数之和为7的事实为依据的。
　　如果骰子B和骰子A相同，则骰子B上的两点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以骰子A
和骰子B不是相同的。
　　如果骰子C和骰子A相同，则骰子C上的三点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以骰子A
和骰子C是不相同的。
　　如果骰子C和骰子B相同，则骰子C上的六点应该是像图中所示的排列方向。
　　由于题目中指明有两只骰子相同，因此相同的必定是骰子B和骰子C。与它们不同的便是骰子A了。

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