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第7讲 找规律
一、找规律
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1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有
时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
⑵一列代数式规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，
进而观察商和余数.
⑸数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
⑴ 1，3，5，7，9，… ， （ 为正整数）．
⑵ 2，4，6，8，10，…， （ 为正整数）．
⑶ 2，4，8，16，32，…， （ 为正整数）．
⑷ 2，5，10，17，26，…， （ 为正整数）．
⑸ 0， 3， 8，15， 24，…， （ 为正整数）．
⑹ 2， 6， 12， 20，…， （ 为正整数）．
⑺ - ， ，- ， ，- ， ，…， （ 为正整数）．
⑻ ，- ， ，- ， ，- ，…， （ 为正整数）．
⑼ 特殊数列：
① 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的
和.
② 三角形数：1，3，6，10，15，21，…， .
.
1.数列找规律
例题1
观察下列关于 的表达式，探究其规律： ， ， ， ， ．按照上述规律，第 个表达
式是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 系数的规律：第 个对应的系数是 ，指数的规律：第 个对应的指数是 ，则第
个表达式为 ，即为 ．
例题2
观察下列单项式： 、 、 、 、 、 ，按此规律写出第 个单项式是 ．（ 为正
整数）
答案
解析 略
例题3
已知 ， ， ， ， ， ， 推测 的个位数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 ， ， ， ，
， ，
个位数每四个数为一个循环组循环，
，
∴ 的个位数与 的个位数相同，是 ．
2.图表找规律
例题4
图中各正方形中的四个数之间都有相同的规律，则根据这种规律，第四个正方形中的
，最后一正方形中的 ．
答案 1．
2．212
解析 根据前三个正方形的规律可知，左上、左下、右上为相邻的三个偶数，
所以 ；
最后一个正方形中，左下、右上两数分别为 、 ，
所以 ；
故答案为： ， ．
例题5
如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和
都相等，则第 个格子中的数为 ， 个格子中的数为 ．
答案 1．
2．
解析 由题意得： ，解得 ，
∵有一个格子里为 ，
∴这些数字是 ， ， 依次循环，
∴ ，
∴第 个格子中的数为 ．
∴ ，
∴第 个格子中的数是 ．
例题6
将正整数按以下规律排列：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
表中的数 在第二行、第一列，与有序数对 对应；数 在第三行、第四列与 对应，则与
数 对应的有序数对是 ．
答案
解析 由表中数据可知，第一列奇数行的数为该奇数的平方，
第一行偶数列的数为该偶数的平方．
而 不是平方数，与其最接近的平方数为 ，
故 应在 行．
又因为 ，
故 应位于第 行，第 列，对应的有序数对为 ．
故答案为： ．
例题7
观察下面一列数： ， ， ， ， ， ， ， 将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第 行从左边数第 个数是 ；数 是第 行从左边数第
个数．
答案 1．
2．
3．
解析 根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；
如第四行最末的数字是 ，第 行最后的数字是 ，
∴第 行从左边数第 个数是 ，
∵
∴是第 行从左边数第 个数．
故答案为： ； ； ．
例题8
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构
造法则：两腰上的数都是 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 （ 为正整
数）的展开式（按 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个
数 ， ， ，恰好对应 展开式中的系数；第四行的四个数 ， ， ， ，恰好
对应着 展开式中的系数等等．
(1) 根据上面的规律，写出 的展开式．
(2) 利用上面的规律计算： ．
答案 (1)
(2)
解析 (1)
(2) 原式
．
例题9
按一定的规律排列成的数表如图所示．
(1) 当“ ”型框中间数字为 时，框中五个数的和为 ．
(2) 当“ ”型框中间数字为 时，框中五个数的和为 ．
(3) 如果设“ ”型框中间的数为 ，请用含 的代数式表示“ ”型框中五个数的和；
(4) 若将“ ”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－ 吗？若能，请求出这五个
数；若不能，请说明理由.
答案 (1)
(2)
(3)
(4) 不能，中间数字应该为 ，但是 却在最后一列
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
3.图形找规律
例题10
如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个
图形需要黑色棋子的个数是 ．
答案 或 或
解析 第一个图形，需棋子 ，
第二个图形，需棋子 ，
第三个图形，需棋子 ，
第 个图形，需棋子 ．
例题11
将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 个图形有 个小圆，第 个图形有 个小圆，第
个圆形有 个小圆，第 个图形有 个小圆， ，依次规律，第 个图形有 个小圆．
第 个图形 第 个图形 第 个图形 第 个图形
答案
解析 第 个图形有 个小圆，
第 个图形有 个小圆，
第 个圆形有 个小圆，
，
第 个图形有 个小圆．
例题12
观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形有 个太阳．
答案
解析 第一行小太阳的个数为 、 、 、 、 ，第 个图形有 个太阳，
第二行小太阳的个数是 、 、 、 、 ，第 个图形有 个太阳，
所以第 个图形共有 个太阳．
例题13
如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数 ， ， ，
为五边形数，依此类推，第 个五边形数为 ．
答案
解析 略．
二、课后作业
练习1
一组数按如下排列： ， ， ， ， ， ， ，则第 个数为 ．
答案
解析 ，故第 个数为 ．
练习2
若按一定规律排列的数据如下： ， ， ， ， ，…，则第 个数可用代数式表示为
．
答案
解析 ∵第 个数 ，
第 个数 ，
第 个数 ，
…
∴第 个数为： ，
故答案为： ．
练习3
观察下列单项式， ， ， ， ，……根据你发现的规律写出第 个式子是 ，
第 个式子是 ， 第 个式子是 ．（ 为正整数）下列选项正确的是（ ）．
A. ； ； B. ； ；
C. ； ； D. ； ；
答案 A
解析 对于复合型的式子来找第 项，可以拆分成符号、系数、指数三个方面来找规律，
首先符号是 、 、 、 …，
所以规律是 ，
因为 ， ， ，
所以第 个数字是 ，
对于指数来说，第 个数字是 ，
∴第五项为： ；
第八项为： ．
第 项是为： ．
练习4
观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中 、 、 的值分别为
（ ）．
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
答案 D
解析 表二中为公差为 的等差数列，故 ；
表三中为上行为公差为 的等差数列，则下行为公差为 的等差数列，故 ；
设 在第 行第 列，则 在第 行第 列，有：
，经枚举，有 ，
故 在第 行第 列，值为 ．
练习5
根据如图中箭头的指向规律，从 到 再到 ，箭头的方向是以下图示中的（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由图可知，每 个数为一个循环组依次循环，
故 是第 个循环的第 个数， 是第 个循环组的第 个数,
是第 个循环组的第 个数， 是第 个循环组的第 个数．
故从 到 再到 箭头的方向是 ．
练习6
已知一列数： ， ， ， ， ， ， ，…将这列数排成下列形式：
第 行
第 行
第 行
第 行
第 行
按照上述规律排下去，那么第 行从左边数第 个数等于（ ） ．
A. B. C. D.
答案 B
解析 方法一：第 行有 个数，此行第一个数的绝对值为 ，且奇数为正，偶数为负．
所以从左边数第 个数等于 ．
故选 ．
方法二：第 行最后一个数的绝对值为 ，则第 行最后一个数的绝对值是 ，即第 行
第 个数绝对值是 ，又因为偶数为负，奇数为正，所以这个数是-50
故选B
练习7
观察图中给出的四个点阵， 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜
想第 个点阵中的点的个数 为（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 由上图可以看出 个点的个数分别为： 、 、 、 ，
且 、 、 ，
所以上述几个点阵中点的个数呈现的规律为：每一项都比前一项多 ，
即：第 个点阵中点的个数为：
．
练习8
如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 个小正方形，称为第一次操作；然后，将其
中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个
正方形再剪成四个小正方形，共得到 个小正方形，称为第三次操作； ，根据以上操作，若要
得到 个小正方形，则需要操作的次数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 观察可以发现，每操作一次，增加 个小正方形，设操作次数为 ，则小正方形的个数为
．令 ，解得 ．
练习9
将若干个完全相同的五角星按照下图的方法排列：
第一个图形
第二个图形
第三个图形
(1) 按照这个排列方法，第四个图形和第六个图形中分别有五角星多少个？
(2) 第 个图形中有多少个五角星？
(3) 第 个图形中有多少个五角星？
答案 (1) 第 个： 个．第 个： 个．
(2) 个．
(3) 个．
解析 (1) 第 个： （个）．
第 个： （个）．
(2) 略
(3) （个）．
练习10
我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 （
为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如： ，它只有一项，系数为 ，
它有两项，系数分别为 ， ，系数和为 ，
，它有三项，系数分别为 ， ， ，系数和为 ，
，它有四项，系数分别为 ， ， ， ，系数和为 ，
根据以上规律，解答下列问题：
(1) 展开式共有 项，系数分别为 ．
(2) 展开式共有 项，系数和为 ．
(3) 根据上面的规律，写出 的展开式．
答案 (1) 1．
2． ， ， ， ，
(2) 1．
2．
(3) ．
解析 (1) 根据题意知， 的展开后，共有 项，
各项系数分别为 、 、 、 、 ，
即： 、 、 、 、 ，
故答案为： ； ， ， ， ， ．
(2) 当 时， ，
故答案为： ， ．
(3) 根据题意得： 的展开式为
．
三、课后故事
奇怪的乌龟图
　　传说在古时候，夏禹治水来到洛水．洛水中浮起一只大乌龟，乌龟背上有一个奇怪的图，如图１，
图上有许多圈和点，这些圈和点表示什么意思呢？大家都弄不明白．一个人好奇地数了一下龟甲上的点
数，再用数字表示出来，发现这里有非常有趣的关系．
　　　　　　　　　　　图１　　　　　　　　　图２
如图２，把龟甲上的数填入正方形的方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或
者把斜着的3个数相加，其和都等于15．
有许多别的民族也很早就知道这个神奇的方图．印度人和阿拉伯人认为这个方图具有一种魔力，能够避
邪恶，驱瘟疫．直到现在，还可以在印度看见有人在脖子上挂着印有方图的金属片．
传说当然是不足为信的．但是，这种方图却反映了正整数的一种性质．我国古代把这种方图叫“纵横图”
或者“九宫图”．国外把它叫做“幻方”．
纵横图是怎样排出来的？靠碰运气行吗？不行．下面介绍我国南宋数学家杨辉创造的排列方法(如图３和
图４)：
　　　　　　 　　图３　　　　　　　　　图４
　　先画一个图，把1到9从小到大斜着排进图中．然后把最上面的1和最下面的9对调；最左边的7和最
右边的3对调；最后把最外面的4个数，填进中间的空格中，就得到了乌龟背上的图了．
　　大约十五世纪，我国的纵横图传到欧洲，引起了人们的普遍兴趣，成千上万的人沉醉于幻方之中．
德国画家丢勒（1427—1528）就是其中的一位．他找到了一个四阶幻方，如图５，并把它反映在他的著
名版画《忧郁》中．它也许是欧洲最早的幻方．有趣的是，丢勒在这一幻方中把版画创作的年代1514也
放了进去．他可能正是从这两个数出发，通过不断的试验而找出了其余的数字．
　　　　　　 　图５　　　　　　　　　　　　图６
　　为了探索别的星球上是否有宇宙人，人类发射了能飞出太阳系的飞船．飞船上有照片、音乐，还有
一幅四阶幻方图（如图６）．图上没有写数字，而是画的点点来代表数．啊，幻方已飞出地球啦！第7讲 找规律
一、找规律
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1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有
时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
⑵一列代数式规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，
进而观察商和余数.
⑸数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
⑴ 1，3，5，7，9，… ， （ 为正整数）．
⑵ 2，4，6，8，10，…， （ 为正整数）．
⑶ 2，4，8，16，32，…， （ 为正整数）．
⑷ 2，5，10，17，26，…， （ 为正整数）．
⑸ 0， 3， 8，15， 24，…， （ 为正整数）．
⑹ 2， 6， 12， 20，…， （ 为正整数）．
⑺ - ， ，- ， ，- ， ，…， （ 为正整数）．
⑻ ，- ， ，- ， ，- ，…， （ 为正整数）．
⑼ 特殊数列：
① 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的
和.
② 三角形数：1，3，6，10，15，21，…， .
.
1.数列找规律
例题1
观察下列关于 的表达式，探究其规律： ， ， ， ， ．按照上述规律，第 个表达
式是（ ）．
A. B. C. D.
例题2
观察下列单项式： 、 、 、 、 、 ，按此规律写出第 个单项式是 ．（ 为正
整数）
例题3
已知 ， ， ， ， ， ， 推测 的个位数是（ ）．
A. B. C. D.
2.图表找规律
例题4
图中各正方形中的四个数之间都有相同的规律，则根据这种规律，第四个正方形中的
，最后一正方形中的 ．
例题5
如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和
都相等，则第 个格子中的数为 ， 个格子中的数为 ．
例题6
将正整数按以下规律排列：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
表中的数 在第二行、第一列，与有序数对 对应；数 在第三行、第四列与 对应，则与
数 对应的有序数对是 ．
例题7
观察下面一列数： ， ， ， ， ， ， ， 将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第 行从左边数第 个数是 ；数 是第 行从左边数第
个数．
例题8
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构
造法则：两腰上的数都是 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 （ 为正整
数）的展开式（按 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个
数 ， ， ，恰好对应 展开式中的系数；第四行的四个数 ， ， ， ，恰好
对应着 展开式中的系数等等．
(1) 根据上面的规律，写出 的展开式．
(2) 利用上面的规律计算： ．
例题9
按一定的规律排列成的数表如图所示．
(1) 当“ ”型框中间数字为 时，框中五个数的和为 ．
(2) 当“ ”型框中间数字为 时，框中五个数的和为 ．
(3) 如果设“ ”型框中间的数为 ，请用含 的代数式表示“ ”型框中五个数的和；
(4) 若将“ ”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－ 吗？若能，请求出这五个
数；若不能，请说明理由.
3.图形找规律
例题10
如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个
图形需要黑色棋子的个数是 ．
例题11
将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 个图形有 个小圆，第 个图形有 个小圆，第
个圆形有 个小圆，第 个图形有 个小圆， ，依次规律，第 个图形有 个小圆．
第 个图形 第 个图形 第 个图形 第 个图形
例题12
观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形有 个太阳．
例题13
如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数 ， ， ，
为五边形数，依此类推，第 个五边形数为 ．
二、课后作业
练习1
一组数按如下排列： ， ， ， ， ， ， ，则第 个数为 ．
练习2
若按一定规律排列的数据如下： ， ， ， ， ，…，则第 个数可用代数式表示为
．
练习3
观察下列单项式， ， ， ， ，……根据你发现的规律写出第 个式子是 ，
第 个式子是 ， 第 个式子是 ．（ 为正整数）下列选项正确的是（ ）．
A. ； ； B. ； ；
C. ； ； D. ； ；
练习4
观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中 、 、 的值分别为
（ ）．
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
练习5
根据如图中箭头的指向规律，从 到 再到 ，箭头的方向是以下图示中的（ ）．
A. B.
C. D.
练习6
已知一列数： ， ， ， ， ， ， ，…将这列数排成下列形式：
第 行
第 行
第 行
第 行
第 行
按照上述规律排下去，那么第 行从左边数第 个数等于（ ） ．
A. B. C. D.
练习7
观察图中给出的四个点阵， 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜
想第 个点阵中的点的个数 为（ ）．
A. B. C. D.
练习8
如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 个小正方形，称为第一次操作；然后，将其
中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个
正方形再剪成四个小正方形，共得到 个小正方形，称为第三次操作； ，根据以上操作，若要
得到 个小正方形，则需要操作的次数是（ ）．
A. B. C. D.
练习9
将若干个完全相同的五角星按照下图的方法排列：
第一个图形
第二个图形
第三个图形
(1) 按照这个排列方法，第四个图形和第六个图形中分别有五角星多少个？
(2) 第 个图形中有多少个五角星？
(3) 第 个图形中有多少个五角星？
练习10
我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 （
为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如： ，它只有一项，系数为 ，
它有两项，系数分别为 ， ，系数和为 ，
，它有三项，系数分别为 ， ， ，系数和为 ，
，它有四项，系数分别为 ， ， ， ，系数和为 ，
根据以上规律，解答下列问题：
(1) 展开式共有 项，系数分别为 ．
(2) 展开式共有 项，系数和为 ．
(3) 根据上面的规律，写出 的展开式．
三、课后故事
奇怪的乌龟图
　　传说在古时候，夏禹治水来到洛水．洛水中浮起一只大乌龟，乌龟背上有一个奇怪的图，如图１，
图上有许多圈和点，这些圈和点表示什么意思呢？大家都弄不明白．一个人好奇地数了一下龟甲上的点
数，再用数字表示出来，发现这里有非常有趣的关系．
　　　　　　　　　　　图１　　　　　　　　　图２
如图２，把龟甲上的数填入正方形的方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或
者把斜着的3个数相加，其和都等于15．
有许多别的民族也很早就知道这个神奇的方图．印度人和阿拉伯人认为这个方图具有一种魔力，能够避
邪恶，驱瘟疫．直到现在，还可以在印度看见有人在脖子上挂着印有方图的金属片．
传说当然是不足为信的．但是，这种方图却反映了正整数的一种性质．我国古代把这种方图叫“纵横图”
或者“九宫图”．国外把它叫做“幻方”．
纵横图是怎样排出来的？靠碰运气行吗？不行．下面介绍我国南宋数学家杨辉创造的排列方法(如图３和
图４)：
　　　　　　 　　图３　　　　　　　　　图４
　　先画一个图，把1到9从小到大斜着排进图中．然后把最上面的1和最下面的9对调；最左边的7和最
右边的3对调；最后把最外面的4个数，填进中间的空格中，就得到了乌龟背上的图了．
　　大约十五世纪，我国的纵横图传到欧洲，引起了人们的普遍兴趣，成千上万的人沉醉于幻方之中．
德国画家丢勒（1427—1528）就是其中的一位．他找到了一个四阶幻方，如图５，并把它反映在他的著
名版画《忧郁》中．它也许是欧洲最早的幻方．有趣的是，丢勒在这一幻方中把版画创作的年代1514也
放了进去．他可能正是从这两个数出发，通过不断的试验而找出了其余的数字．
　　　　　　 　图５　　　　　　　　　　　　图６
　　为了探索别的星球上是否有宇宙人，人类发射了能飞出太阳系的飞船．飞船上有照片、音乐，还有
一幅四阶幻方图（如图６）．图上没有写数字，而是画的点点来代表数．啊，幻方已飞出地球啦！

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