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第8将 动点问题
一、动点问题
知识导航
①数轴上点的运动规律：左－右＋
②数轴上中点坐标公式：
③数轴上两点之间距离公式：
典题精练
例题1
【背景知识】数轴上 点、 点表示的数为 、 ，则 、 两点之间的距离 ；线段 的
中点 表示的数为 ．
【问题情境】已知数轴上有 、 两点，分别表示的数为 和 ，点 以每秒 个单位的速度沿数
轴向右匀速运动，点 以每秒 个单位向左匀速运动．设运动时间为 秒（ ）．
(1) 运动开始前， 、 两点的距离为 ；线段 的中点 所表示的数为 ．
(2) 它们按上述方式运动， 、 两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？
例题2
小颖在一张纸上画一条数轴，并在数轴上标出 、 、 三个点，点 表示的数是 ，点 在原点
的右边且与点 相距 个单位长度．
(1) 点 表示的数是 ．
(2) 将这张纸对折，此时点 与表示 的点刚好重合，折痕与数轴交于点 ，求点 表示的
数．
(3) 若点 到点 和点 的距离之和为 ，求点 所表示的数．
(4) 点 点 同时从初始位置沿数轴向左运动，它们是速度分别是每秒 个单位长度和每秒 个
单位长度，运动时间是 秒，是否存在 的值，使 秒后点 到原点的距离与点 到原点的距
离相等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
例题3
如图，已知点 、 、 是数轴上三点， 为原点．点 对应的数为 ， ， ．
(1) 求点 、 对应的数．
(2) 动点 ， 同时从 、 出发，分别以每秒 个单位和 个单位的速度沿数轴正方向运动．
为 的中点， 在 上，且 ，设运动时间为 ．
①求点 、 对应的数（用含 的式子表示）；
② 为何值时， ．
例题4
已知：如图所示，点 为数轴的原点，点 和点 分别为数轴上的两点，点 对应的数为 ，点
对应的数为 ．
(1) 点 和点 间的距离是 ．
(2) 数轴上的点 到点 和点 的距离和是 ，则点 对应的数为 ．
(3) 若一只蚂蚁 从点 出发，以 个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只蚂蚁 恰好从点
出发，以 个单位长度/秒向右运动，设数轴上的点 到原点 的距离等于点 到原点 的
距离的一半，有两个结论① 的值不变；② 的值不变，请你判断哪个结
论是正确的？哪个结论是错误的？请通过计算说明理由．
例题5
如图，数轴上有 、 、 、 四个点，分别对应的数为 、 、 、 ，且满足 ， 是方程
的两解 ， 与 互为相反数．
(1) 求 、 、 、 的值．
(2) 若 、 两点以每秒 个单位的速度向右匀速运动，同时 、 两点以每秒 个单位的速度向
左匀速运动，并设运动时间为 秒，问 为多少时， 、 两点都运动在线段 上（不与
、 两个端点重合）？
二、课后作业
练习1
已知数轴上 、 两点对应数分别为 ， ， 为数轴上一动点，对应数为 ．
(1) 为线段 的三等分点，求 点对应的数．
(2) 数轴上是否存在 点，使 点到 、 距离和为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．
(3) 点， 点（ 在原点）和 点分别以速度比 （单位长度：分），向右运动几分钟
时， 为 的中点．
练习2
已知在数轴上 ， 两点对应数分别为 ， ．
(1) 若 点为线段 的中点，求 点对应的数．
(2) 若点 、点 同时分别以 个单位长度/秒的速度相向运动，点 ( 点在原点)同时以 个单
位长度/秒的速度向右运动．几秒后点 到点 、点 的距离相等？求此时 对应的数．
(3) 在 的条件下，是否存在 点，使 ？若存在，求出点 对应的数；若不存
在，请说明理由．
练习3
如图，在数轴上，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ．动点 从点 出发，沿数轴正方向以每
秒 个单位的速度均速运动；同时，动点 从点 出发，沿数轴负方向以每秒 个单位的速度均速运
动，设运动时间为 秒．
(1) 当 为何值时， 、 两点相遇？相遇点 所对应的数是多少？
(2) 在点 出发后到达点 之前，求 为何值时，点 到点 的距离与点 到点 的距离相等．
练习4
如图，线段 ，动点 从 出发，以每秒 个单位的速度沿射线 运动， 为 的中点．
(1) 出发多少秒后， ？
(2) 当 在线段 上运动时，试说明 为定值．
(3) 当 在 延长线上运动时， 为 的中点，下列两个结论：① 长度不变．②
的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
练习5
已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 （单位长度）．慢
车长 （单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点 为原点，取
向右方向为正方向画数轴，此时快车车头 在数轴上表示的数是 ，慢车车头 在数轴上表示的数
是 ，若快车 以 个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车 以 个单位长度/秒的速
度向左匀速继续行驶，且 与 互为相反数．
(1) 求此时刻快车头 与慢车头 之间相距多少单位长度？
(2) 从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头 、 相距 个单位长度？
(3) 此时在快车 上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客 ，他发现行驶中有一段时间，他的位
置 到两列火车头 、 的距离和加上到两列火车尾 、 的距离和是一个不变的值（即
为定值），你认为学生 发现的这一结论是否正确？若正确，求出定
值及所持续的时间．若不正确，请说明理由．
三、课后故事
解析几何的产生
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需
要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦
点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这
些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一
篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就
像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立
体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几
何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代
数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方
程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对
应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就
是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有
序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数
方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变
量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线
作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来
确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。
在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该
分享这门学科创建的荣誉。
费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性
情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》
以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他
的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。
笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为
开辟数学新园地做出了贡献。第8将 动点问题
一、动点问题
知识导航
①数轴上点的运动规律：左－右＋
②数轴上中点坐标公式：
③数轴上两点之间距离公式：
典题精练
例题1
【背景知识】数轴上 点、 点表示的数为 、 ，则 、 两点之间的距离 ；线段 的
中点 表示的数为 ．
【问题情境】已知数轴上有 、 两点，分别表示的数为 和 ，点 以每秒 个单位的速度沿数
轴向右匀速运动，点 以每秒 个单位向左匀速运动．设运动时间为 秒（ ）．
(1) 运动开始前， 、 两点的距离为 ；线段 的中点 所表示的数为 ．
(2) 它们按上述方式运动， 、 两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？
答案 (1) 1．
2．
(2) 秒，相遇时的点为 ．
解析 (1) 、 两点之间距离为 ，
线段 的中点 所表示的数为 ．
(2) 设经过 秒相遇，点 运动 秒后所表示的数为： ，
点 运动 秒后所表示的数为： ，
相遇时 ，
解得 秒，
相遇时的点为 ．
例题2
小颖在一张纸上画一条数轴，并在数轴上标出 、 、 三个点，点 表示的数是 ，点 在原点
的右边且与点 相距 个单位长度．
(1) 点 表示的数是 ．
(2) 将这张纸对折，此时点 与表示 的点刚好重合，折痕与数轴交于点 ，求点 表示的
数．
(3) 若点 到点 和点 的距离之和为 ，求点 所表示的数．
(4) 点 点 同时从初始位置沿数轴向左运动，它们是速度分别是每秒 个单位长度和每秒 个
单位长度，运动时间是 秒，是否存在 的值，使 秒后点 到原点的距离与点 到原点的距
离相等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
答案 (1)
(2) ．
(3) 或 ．
(4) 存在， ．
解析 (1) ，所以点 表示的数为： ．
(2) 则折痕与数轴有一个交点 表示的数为： ．
(3) 点 到点 和点 的距离之和为 ，
∴点 应在线段 的外，分两种情况：①当 点在 点的左边，设 点表示数为 ，
， ，
计算得出：所以此时 点所表示数为： ．
②当 点在 点的右边，设 点 表示数为 ， ， ，
计算得出：所以此时 点所表示的数为： ，故若点 到点 和点 的距离之和为 则
点 所表示的数为： 或 ．
(4) 秒时 点运动了 个单位长度，运动到 的位置， 点运动了 个单位长度，运动
到 的位置，因为此时点 到原点的距离和点 到原点距离相等，所以，
，计算得出： ，所以当 时，点 到原点的距离是点 到原点
距离相等．
例题3
如图，已知点 、 、 是数轴上三点， 为原点．点 对应的数为 ， ， ．
(1) 求点 、 对应的数．
(2) 动点 ， 同时从 、 出发，分别以每秒 个单位和 个单位的速度沿数轴正方向运动．
为 的中点， 在 上，且 ，设运动时间为 ．
①求点 、 对应的数（用含 的式子表示）；
② 为何值时， ．
答案 (1) 、 两点对应的数分别为 、 ．
(2) 证明见解析．
解析 (1) ∵ 为原点．点 对应的数为 ， ， 在 左侧，
∴ 对应的数 ，
∵ ， 在 左侧，
∴ 点对应的数分别为 ．
(2) ① ， ，
为 中点， ，
则 ， ．
点 对应的数为 ，点 对应的数为 ．
② ， ,
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
故当 秒或 秒时 ．
例题4
已知：如图所示，点 为数轴的原点，点 和点 分别为数轴上的两点，点 对应的数为 ，点
对应的数为 ．
(1) 点 和点 间的距离是 ．
(2) 数轴上的点 到点 和点 的距离和是 ，则点 对应的数为 ．
(3) 若一只蚂蚁 从点 出发，以 个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只蚂蚁 恰好从点
出发，以 个单位长度/秒向右运动，设数轴上的点 到原点 的距离等于点 到原点 的
距离的一半，有两个结论① 的值不变；② 的值不变，请你判断哪个结
论是正确的？哪个结论是错误的？请通过计算说明理由．
答案 (1)
(2)
备选答案 :
(3) 值不变正确．
解析 (1) ．
(2) 设 点为 则有 ，
即到 和 距离和的点有 或 ．
(3) 设用时 秒后，
∵ 且 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故正确．
例题5
如图，数轴上有 、 、 、 四个点，分别对应的数为 、 、 、 ，且满足 ， 是方程
的两解 ， 与 互为相反数．
(1) 求 、 、 、 的值．
(2) 若 、 两点以每秒 个单位的速度向右匀速运动，同时 、 两点以每秒 个单位的速度向
左匀速运动，并设运动时间为 秒，问 为多少时， 、 两点都运动在线段 上（不与
、 两个端点重合）？
答案 (1) ， ， ， ．
(2) 当 时， 、 两点运动在线段 上．
解析 (1) ∵ ，
∴ 或 ，
若 ，得 ；若 ，得 ，
∵ 、 是方程 的两解，且 ，
∵ ， ，
∵ 与 互为相反数，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
综上所述， ， ， ， ．
(2) 由题意， 秒时：
点所表示的数为 ， 点所表示的数为 ，
点所表示的数为 ， 点所表示的数为 ，
∵ 、 两点运动在线段 上，且不与 、 重合，
∴ 在 右侧， 在 左侧，
①
即： ，
②
解不等式①，得：
；
解不等式②，得： ，
，
故不等式组的解集为 ，
∴当 时， 、 两点运动在线段 上．
二、课后作业
练习1
已知数轴上 、 两点对应数分别为 ， ， 为数轴上一动点，对应数为 ．
(1) 为线段 的三等分点，求 点对应的数．
(2) 数轴上是否存在 点，使 点到 、 距离和为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．
(3) 点， 点（ 在原点）和 点分别以速度比 （单位长度：分），向右运动几分钟
时， 为 的中点．
答案 (1) 点 对应的数为 ， ．
(2) 或 ．
(3) 经过 分钟点 为 的中点．
解析 (1) ∵ 为线段 的三等分点，且点 、 的对应的数分别为 ， ，
∴点 对应的数为 ， ．
(2) 存在．
设点 对应的数为 ，
∵ 点到 点、 点距离之和为 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
(3) 设经过 分点 为 的中点，
由题意得： ．
解得： ，
即经过 分钟点 为 的中点．
练习2
已知在数轴上 ， 两点对应数分别为 ， ．
(1) 若 点为线段 的中点，求 点对应的数．
(2) 若点 、点 同时分别以 个单位长度/秒的速度相向运动，点 ( 点在原点)同时以 个单
位长度/秒的速度向右运动．几秒后点 到点 、点 的距离相等？求此时 对应的数．
(3) 在 的条件下，是否存在 点，使 ？若存在，求出点 对应的数；若不存
在，请说明理由．
答案 (1)
(2) 见解析
(3) 或
解析 (1) 点表示的数是 ；
(2) 如图，
设 秒后点 到点 、点 的距离相等，
， ，
则 ，
解得 ，
表示 ．
、 重合时， ，此时 ，此时 表示 ．
(3) 如图,
， ，
，
，
，
点 表示 ；
如图，
， ，
，
，
，
点 表示 ．
练习3
如图，在数轴上，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ．动点 从点 出发，沿数轴正方向以每
秒 个单位的速度均速运动；同时，动点 从点 出发，沿数轴负方向以每秒 个单位的速度均速运
动，设运动时间为 秒．
(1) 当 为何值时， 、 两点相遇？相遇点 所对应的数是多少？
(2) 在点 出发后到达点 之前，求 为何值时，点 到点 的距离与点 到点 的距离相等．
答案 (1) 时， 、 两点相遇，相遇时点 的对应数为 ．
(2) 或 ．
解析 (1)
，
∴ ，
点 的对应数为 ，
∴ 时， 、 两点相遇，
相遇时点 的对应数为 ．
(2)
①当点 在点 左侧时，
，
解得： ；
②当点 在点 右侧时，
，
解得： ，
∴ 或 时，点 到 点距离与点 到点 距离相等．
练习4
如图，线段 ，动点 从 出发，以每秒 个单位的速度沿射线 运动， 为 的中点．
(1) 出发多少秒后， ？
(2) 当 在线段 上运动时，试说明 为定值．
(3) 当 在 延长线上运动时， 为 的中点，下列两个结论：① 长度不变．②
的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
答案 (1) 秒.
(2) 证明见解析.
(3) 选①， .
解析 (1) 如图 ，由题意得： ，则 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
由 得： ，
，
答：出发 秒后， ．
图
(2) 如图 ，当 在线段 上运动时， ，
，
∴当 在线段 上运动时， 为定值 ．
(3) 选①．
如图 ，由题意得： ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ．
① ，
∴当 在 延长线上运动时， 长度不变．
所以选项①叙述正确．
② ，
∴当 在 延长线上运动时， 的值会改变．
所以选项②叙述不正确．
图
练习5
已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 （单位长度）．慢
车长 （单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点 为原点，取
向右方向为正方向画数轴，此时快车车头 在数轴上表示的数是 ，慢车车头 在数轴上表示的数
是 ，若快车 以 个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车 以 个单位长度/秒的速
度向左匀速继续行驶，且 与 互为相反数．
(1) 求此时刻快车头 与慢车头 之间相距多少单位长度？
(2) 从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头 、 相距 个单位长度？
(3) 此时在快车 上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客 ，他发现行驶中有一段时间，他的位
置 到两列火车头 、 的距离和加上到两列火车尾 、 的距离和是一个不变的值（即
为定值），你认为学生 发现的这一结论是否正确？若正确，求出定
值及所持续的时间．若不正确，请说明理由．
答案 (1) 此时刻快车头 与慢车头 之间相距 单位长度．
(2) 再行驶 秒钟或 秒钟两列火车行驶到车头 、 相距 个单位长度．
(3) 这个时间是 秒，定值是 单位长度．
解析 (1) ∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴此时刻快车头 与慢车头 之间相距 单位长度．
(2) （秒），
或 （秒），
答：再行驶 秒钟或 秒钟两列火车行驶到车头 、 相距 个单位长度．
(3) ∵ ，
当 在 之间时， 是定值 ， （秒），
此时 （单位长度），
故这个时间是 秒，定值是 单位长度．
三、课后故事
解析几何的产生
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需
要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦
点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这
些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一
篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就
像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立
体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几
何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代
数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方
程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对
应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就
是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有
序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数
方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变
量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线
作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来
确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。
在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该
分享这门学科创建的荣誉。
费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性
情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》
以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他
的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。
笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为
开辟数学新园地做出了贡献。

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