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第9讲 线段的计算与计数
一、求线段长度
知识导航
在解决有关线段的计算问题时， 一般要注意一下几个方面：
（ ）按照已知条件画出图形是正确解题的前提条件；注意分类讨论，多解问题．
（ ）观察图形，找出线段之间的关系．
（ ）简单问题可以通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．
【注意】：
①直接用和差关系计算比较困难时，可引用方程思想；
②若没有指明具体的图形的位置，则需要分类讨论．
例题1
已知 ， ， 是 上顺次两点，且 ， 为 的中点， 为
的中点，求 的长．
A. B. C. D.
例题2
完成下列各题：
（1） 如图，在直线 上找一点 ，使 ，则点 应在（ ）．
A. 之间找 B. 在点 左边找
C. 在点 右边找 D. 在 之间或在点 的右边找
（2） 已知 ， ， 是直线 上三点，线段 ， ，则线段 ．
（3） 已知 ， ， ， 四点共线，若 ， ， ，求 的
长 ．
例题3
如图所示，把一根绳子对折成线段 ，从点 处把绳子剪断，已知 ，若剪断后的
各段绳子中最长的一段为 ，求绳子的原长．
例题4
如图， 点是线段 上一点， ， 、 两点分别从 、 同时出发以 、 的速
度沿直线 向左运动（ 在线段 上， 在线段 上），运动时间为 ．
（1） 当 时， ， ，若 ，则
．
（2） 当 时，若 ，则 ．
（3） 若 ， 在线段 上运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长．
（4） 在（ ）的条件下，点 是直线 上一点，且 ，请求出 的长．
二、线段的计数问题
知识导航
数线段要掌握一定的方法，必须做到不重不漏．
一般方法是从左起第一个点数起，使第一个点和其右边的每一个各组合一次，得到 条线
段，然后再从左起第二个点数起，使它和它右边的每个点组合一次，又得到 条线段， ，
依次数下去，最后再相加．
若一条直线上有 个点，则线段的条数为 ．
例题5
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
……
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条．
例题6
如图，两条直线相交只有 个交点，三条直线相交最多有 个交点，四条直线相交最多有 个交
点，五条直线相交最多有 个交点，六条直线相交最多有 个交点， 条直线相交最多
有 个交点．
三、图解应用题
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通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.
例题7
如图所示，由泰山到青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山﹣﹣济南﹣﹣淄博﹣
﹣潍坊﹣﹣青岛，那么要为这次列车制作的火车票有 种．
例题8
、 、 、 、 、 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出 、 、 、 、
五队已分别比赛了 、 、 、 、 场球．则下列正确的是（ ） ．（多选）
A. 还有一个队没和 队进行比赛
B. 队与 队进行了一样多的比赛
C. 队、 队、 队这三队之间已经进行了两场比赛
D. 后面还剩下六场比赛需要进行
四、学霸笔记
五、数学万花筒
点子的排列方向
正常的骰子，相对两面的点子数目之和总是7；就此而言，上图中的三只骰子是正常的。但
是，从点子的排列方向来看，其中有一只与其他两只不同。
在A、B、C这三只骰子中，哪一只与其他两只不同？
（提示：判定哪些面上的点子可以有不同的排列方向；然后判定这些排列方向在不同的骰子
中是否一致。）
答 案
无论骰子怎样摆，一点、四点和五点的排列方向总是不变的。但是，两点、三点和六点却可
以有如下不同的排列方向：
以下的推理，是以相对两面点数之和为7的事实为依据的。
如果骰子B和骰子A相同，则骰子B上的两点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子B不是相同的。
如果骰子C和骰子A相同，则骰子C上的三点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子C是不相同的。
如果骰子C和骰子B相同，则骰子C上的六点应该是像图中所示的排列方向。
由于题目中指明有两只骰子相同，因此相同的必定是骰子B和骰子C。与它们不同的便是骰子
A了。
六、巩固加油站
巩固1
如图，线段 ， 、 分别是 、 的中点，且 ，求 的
长．
巩固2
已知线段 ，点 是直线 上一点，且 ， 、 分别是 、 的中点，则线
段 的长为（ ） ．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
巩固3
平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线？
巩固4
如图， ， ， 依次是线段 上三点，已知 ， ．
（1） 求出图中线段的条数．
（2） 求所有线段长度之和．
巩固5
五位朋友 、 、 、 、 在公园聚会，见面时握手致意问候．已知： 握了 次， 握了 次， 握了
次， 握了 次．到目前为止， 握了（ ）次．
A. B. C. D.
巩固6
定义：若线段上的一个点把这条线段分成 的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，
如图 ，点 在线段 上，且 ，则点 是线段 的一个三等分点，显然，一条线
段的三等分点有两个．
图
（1） 已知：如图 ， ，点 是 的三等分点，求 的长．
图
（2） 已知，线段 ，如图 ，点 从点 出发以每秒 的速度在射线 上向点 方向
运动；点 从点 出发，先向点 方向运动，当与点 重合后立马改变方向与点 同向而行
且速度始终为每秒 ，设运动时间为 秒．
图
1 若点 点 同时出发，且当点 与点 重合时，求 的值．
2 若点 点 同时出发，且当点 是线段 的三等分点时，求 的值．第9讲 线段的计算与计数
一、求线段长度
知识导航
在解决有关线段的计算问题时， 一般要注意一下几个方面：
（ ）按照已知条件画出图形是正确解题的前提条件；注意分类讨论，多解问题．
（ ）观察图形，找出线段之间的关系．
（ ）简单问题可以通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．
【注意】：
①直接用和差关系计算比较困难时，可引用方程思想；
②若没有指明具体的图形的位置，则需要分类讨论．
例题1
已知 ， ， 是 上顺次两点，且 ， 为 的中点， 为
的中点，求 的长．
A. B. C. D.
答案 A
解析 设 .
∵
∴ ，
∵
∴
∴
∴
即：
例题2
完成下列各题：
（1） 如图，在直线 上找一点 ，使 ，则点 应在（ ）．
A. 之间找 B. 在点 左边找
C. 在点 右边找 D. 在 之间或在点 的右边找
（2） 已知 ， ， 是直线 上三点，线段 ， ，则线段 ．
（3） 已知 ， ， ， 四点共线，若 ， ， ，求 的
长 ．
答案 （1） D
（2） 或
（3） 或 或 或
解析 （1） 略
（2） 略
（3） 情况 ：如图（１） ．
情况 ：如图（２） ，
情况 ：如图（３） ，
情况 ：如图（4） ．
故答案为： 或 或 或 ．
例题3
如图所示，把一根绳子对折成线段 ，从点 处把绳子剪断，已知 ，若剪断后的
各段绳子中最长的一段为 ，求绳子的原长．
答案 绳子的原长为 或 ．
解析 方法一：本题有两种情形：
（ ）当点 是绳子的对折点时，将绳子展开如图．
∵ ，剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴绳子的原长 ；
（ ）当点 是绳子的对折点时，将绳子展开如图．
∵ ，剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴绳子的原长 ．
综上，绳子的原长为 或 ．
方法二：设 ，则 ．
①若 是绳子的对折点，则最长一段为 ，
解得 ．
由 ，可得 ，
绳子的原长为
②若 是绳子的对折点，则最长一段为 ，解得
由 ，可得 ， ．
绳子的原长为
综上，绳子的原长为 或 ．
例题4
如图， 点是线段 上一点， ， 、 两点分别从 、 同时出发以 、 的速
度沿直线 向左运动（ 在线段 上， 在线段 上），运动时间为 ．
（1） 当 时， ， ，若 ，则
．
（2） 当 时，若 ，则 ．
（3） 若 ， 在线段 上运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长．
（4） 在（ ）的条件下，点 是直线 上一点，且 ，请求出 的长．
答案 （1） 1:
2:
3:
（2）
（3） ．
（4） 长为 或 ．
解析 （1） ， ，
当 时， ， ，
，
∴ ，
若 ，则 ， ，
∴ ．
（2） 当 时，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
（3） ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
（4） 假设直线 为数轴， 为原点，向右为正方向，
∵ ， ，
∴ ， ，
设 点表示的数为 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
①当 时，
（舍）；
②当 时，
（舍）；
③当 时，
；
④当 时，
；
综上所述， 长为 或 ．
二、线段的计数问题
知识导航
数线段要掌握一定的方法，必须做到不重不漏．
一般方法是从左起第一个点数起，使第一个点和其右边的每一个各组合一次，得到 条线
段，然后再从左起第二个点数起，使它和它右边的每个点组合一次，又得到 条线段， ，
依次数下去，最后再相加．
若一条直线上有 个点，则线段的条数为 ．
例题5
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条；
……
当一条直线上有 个点时，图中共有射线 条，线段 条．
答案 1:4
2:1
3:6
4:3
5:8
6:6
7:10
8:10
9:
10:
解析 画图找规律可得
例题6
如图，两条直线相交只有 个交点，三条直线相交最多有 个交点，四条直线相交最多有 个交
点，五条直线相交最多有 个交点，六条直线相交最多有 个交点， 条直线相交最多
有 个交点．
答案 1:
2:
解析 两条直线相交只有 个交点，
三条直线相交最多有 个交点，
四条直线相交最多有 个交点，
条直线相交最多有 个交点，
六条直线相交最多有 个交点．
三、图解应用题
知识导航
通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.
例题7
如图所示，由泰山到青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山﹣﹣济南﹣﹣淄博﹣
﹣潍坊﹣﹣青岛，那么要为这次列车制作的火车票有 种．
答案
解析 如图，设泰山﹣﹣济南﹣﹣淄博﹣﹣潍坊﹣﹣青岛五站分别用 、 、 、 、 表示，
则共有线段： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 共 条，
所以，需要制作火车票 种．
故答案为： ．
例题8
、 、 、 、 、 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出 、 、 、 、
五队已分别比赛了 、 、 、 、 场球．则下列正确的是（ ） ．（多选）
A. 还有一个队没和 队进行比赛
B. 队与 队进行了一样多的比赛
C. 队、 队、 队这三队之间已经进行了两场比赛
D. 后面还剩下六场比赛需要进行
答案 ABD
解析 比了 场，所以 与 、 、 、 、 比过；
比了 场，所以 与 、 、 、 比过；
比了 场，所以 与 、 、 比过；
比了 场，所以 与 、 比过；
比了 场，所以 与 比过；
与 、 、 比过．
四、学霸笔记
五、数学万花筒
点子的排列方向
正常的骰子，相对两面的点子数目之和总是7；就此而言，上图中的三只骰子是正常的。但
是，从点子的排列方向来看，其中有一只与其他两只不同。
在A、B、C这三只骰子中，哪一只与其他两只不同？
（提示：判定哪些面上的点子可以有不同的排列方向；然后判定这些排列方向在不同的骰子
中是否一致。）
答 案
无论骰子怎样摆，一点、四点和五点的排列方向总是不变的。但是，两点、三点和六点却可
以有如下不同的排列方向：
以下的推理，是以相对两面点数之和为7的事实为依据的。
如果骰子B和骰子A相同，则骰子B上的两点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子B不是相同的。
如果骰子C和骰子A相同，则骰子C上的三点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子C是不相同的。
如果骰子C和骰子B相同，则骰子C上的六点应该是像图中所示的排列方向。
由于题目中指明有两只骰子相同，因此相同的必定是骰子B和骰子C。与它们不同的便是骰子
A了。
六、巩固加油站
巩固1
如图，线段 ， 、 分别是 、 的中点，且 ，求 的
长．
答案 ．
解析 方法一：假设 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
方法二：设 ，则 ，
∵ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ．
巩固2
已知线段 ，点 是直线 上一点，且 ， 、 分别是 、 的中点，则线
段 的长为（ ） ．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案 C
解析 (1)若为图 情形，∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ；
(2)若为图 情形，∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ．
巩固3
平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线？
答案 一条，四条或六条．
解析 如下图（ ）所示，当四点在同一条直线上时，只能画一条直线；
如图（ ），当三点共线，另一点不在这条直线时，可以画四条直线；
如图（ ），当任何三点不共线时，可以画 条直线．
巩固4
如图， ， ， 依次是线段 上三点，已知 ， ．
（1） 求出图中线段的条数．
（2） 求所有线段长度之和．
答案 （1） ．
（2） ．
解析 （1） 共有 个端点，所以有 条．
（2）
．
巩固5
五位朋友 、 、 、 、 在公园聚会，见面时握手致意问候．已知： 握了 次， 握了 次， 握了
次， 握了 次．到目前为止， 握了（ ）次．
A. B. C. D.
答案 B
解析 可画为线段图如下：
握了 次，意为从 点出发只有 条线段；
握了 次，意为从 点出发只有 条线段；
握了 次，意为从 点出发只有 条线段；
握了 次，意为从 点出发只有 条线段；
由图可得：从 点出发有 条线段，即 握了 次，分别是和 ， ．
故选 ．
巩固6
定义：若线段上的一个点把这条线段分成 的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，
如图 ，点 在线段 上，且 ，则点 是线段 的一个三等分点，显然，一条线
段的三等分点有两个．
图
（1） 已知：如图 ， ，点 是 的三等分点，求 的长．
图
（2） 已知，线段 ，如图 ，点 从点 出发以每秒 的速度在射线 上向点 方向
运动；点 从点 出发，先向点 方向运动，当与点 重合后立马改变方向与点 同向而行
且速度始终为每秒 ，设运动时间为 秒．
图
1 若点 点 同时出发，且当点 与点 重合时，求 的值．
2 若点 点 同时出发，且当点 是线段 的三等分点时，求 的值．
答案 （1） 的长为 或 ．
（2） 1 ．
2 秒、 秒或 秒．
解析 （1） 当 时， ，
当 时， ，
综上所述， 的长为 或 ．
（2） 1 根据题意得 ，解得 ，
答：当 秒时，点 与点 重合．
2 点 ， 重合前，
当 时，有 ，
解得 ，
当 时，有 ，
解得 ．
点 ， 重合后，
当 时，有 ，
解得 ；
当 时，有 ，
解得 （不合题意，舍去）.
综上所述，当 秒、 秒或 秒时，点 是线段 的三等分点．

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