第9讲 线段的计算与计数(pdf、教师版+学生版)

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第9讲 线段的计算与计数(pdf、教师版+学生版)

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第9讲 线段的计算与计数
一、求线段长度
知识导航
在解决有关线段的计算问题时, 一般要注意一下几个方面:
( )按照已知条件画出图形是正确解题的前提条件;注意分类讨论,多解问题.
( )观察图形,找出线段之间的关系.
( )简单问题可以通过列算式求出,复杂的问题可设未知数,利用方程解决.
【注意】:
①直接用和差关系计算比较困难时,可引用方程思想;
②若没有指明具体的图形的位置,则需要分类讨论.
例题1
已知 , , 是 上顺次两点,且 , 为 的中点, 为
的中点,求 的长.
A. B. C. D.
例题2
完成下列各题:
(1) 如图,在直线 上找一点 ,使 ,则点 应在( ).
A. 之间找 B. 在点 左边找
C. 在点 右边找 D. 在 之间或在点 的右边找
(2) 已知 , , 是直线 上三点,线段 , ,则线段 .
(3) 已知 , , , 四点共线,若 , , ,求 的
长 .
例题3
如图所示,把一根绳子对折成线段 ,从点 处把绳子剪断,已知 ,若剪断后的
各段绳子中最长的一段为 ,求绳子的原长.
例题4
如图, 点是线段 上一点, , 、 两点分别从 、 同时出发以 、 的速
度沿直线 向左运动( 在线段 上, 在线段 上),运动时间为 .
(1) 当 时, , ,若 ,则

(2) 当 时,若 ,则 .
(3) 若 , 在线段 上运动到任一时刻时,总有 ,请求出 的长.
(4) 在( )的条件下,点 是直线 上一点,且 ,请求出 的长.
二、线段的计数问题
知识导航
数线段要掌握一定的方法,必须做到不重不漏.
一般方法是从左起第一个点数起,使第一个点和其右边的每一个各组合一次,得到 条线
段,然后再从左起第二个点数起,使它和它右边的每个点组合一次,又得到 条线段, ,
依次数下去,最后再相加.
若一条直线上有 个点,则线段的条数为 .
例题5
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
……
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条.
例题6
如图,两条直线相交只有 个交点,三条直线相交最多有 个交点,四条直线相交最多有 个交
点,五条直线相交最多有 个交点,六条直线相交最多有 个交点, 条直线相交最多
有 个交点.
三、图解应用题
知识导航
通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.
例题7
如图所示,由泰山到青岛的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是:泰山﹣﹣济南﹣﹣淄博﹣
﹣潍坊﹣﹣青岛,那么要为这次列车制作的火车票有 种.
例题8
、 、 、 、 、 六个足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出 、 、 、 、
五队已分别比赛了 、 、 、 、 场球.则下列正确的是( ) .(多选)
A. 还有一个队没和 队进行比赛
B. 队与 队进行了一样多的比赛
C. 队、 队、 队这三队之间已经进行了两场比赛
D. 后面还剩下六场比赛需要进行
四、学霸笔记
五、数学万花筒
点子的排列方向
正常的骰子,相对两面的点子数目之和总是7;就此而言,上图中的三只骰子是正常的。但
是,从点子的排列方向来看,其中有一只与其他两只不同。
在A、B、C这三只骰子中,哪一只与其他两只不同?
(提示:判定哪些面上的点子可以有不同的排列方向;然后判定这些排列方向在不同的骰子
中是否一致。)
答 案
无论骰子怎样摆,一点、四点和五点的排列方向总是不变的。但是,两点、三点和六点却可
以有如下不同的排列方向:
以下的推理,是以相对两面点数之和为7的事实为依据的。
如果骰子B和骰子A相同,则骰子B上的两点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子B不是相同的。
如果骰子C和骰子A相同,则骰子C上的三点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子C是不相同的。
如果骰子C和骰子B相同,则骰子C上的六点应该是像图中所示的排列方向。
由于题目中指明有两只骰子相同,因此相同的必定是骰子B和骰子C。与它们不同的便是骰子
A了。
六、巩固加油站
巩固1
如图,线段 , 、 分别是 、 的中点,且 ,求 的
长.
巩固2
已知线段 ,点 是直线 上一点,且 , 、 分别是 、 的中点,则线
段 的长为( ) .
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
巩固3
平面上有四个点,经过两点画一条直线,则可以画几条直线?
巩固4
如图, , , 依次是线段 上三点,已知 , .
(1) 求出图中线段的条数.
(2) 求所有线段长度之和.
巩固5
五位朋友 、 、 、 、 在公园聚会,见面时握手致意问候.已知: 握了 次, 握了 次, 握了
次, 握了 次.到目前为止, 握了( )次.
A. B. C. D.
巩固6
定义:若线段上的一个点把这条线段分成 的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点,
如图 ,点 在线段 上,且 ,则点 是线段 的一个三等分点,显然,一条线
段的三等分点有两个.

(1) 已知:如图 , ,点 是 的三等分点,求 的长.

(2) 已知,线段 ,如图 ,点 从点 出发以每秒 的速度在射线 上向点 方向
运动;点 从点 出发,先向点 方向运动,当与点 重合后立马改变方向与点 同向而行
且速度始终为每秒 ,设运动时间为 秒.

1 若点 点 同时出发,且当点 与点 重合时,求 的值.
2 若点 点 同时出发,且当点 是线段 的三等分点时,求 的值.第9讲 线段的计算与计数
一、求线段长度
知识导航
在解决有关线段的计算问题时, 一般要注意一下几个方面:
( )按照已知条件画出图形是正确解题的前提条件;注意分类讨论,多解问题.
( )观察图形,找出线段之间的关系.
( )简单问题可以通过列算式求出,复杂的问题可设未知数,利用方程解决.
【注意】:
①直接用和差关系计算比较困难时,可引用方程思想;
②若没有指明具体的图形的位置,则需要分类讨论.
例题1
已知 , , 是 上顺次两点,且 , 为 的中点, 为
的中点,求 的长.
A. B. C. D.
答案 A
解析 设 .

∴ ,




即:
例题2
完成下列各题:
(1) 如图,在直线 上找一点 ,使 ,则点 应在( ).
A. 之间找 B. 在点 左边找
C. 在点 右边找 D. 在 之间或在点 的右边找
(2) 已知 , , 是直线 上三点,线段 , ,则线段 .
(3) 已知 , , , 四点共线,若 , , ,求 的
长 .
答案 (1) D
(2) 或
(3) 或 或 或
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 情况 :如图(1) .
情况 :如图(2) ,
情况 :如图(3) ,
情况 :如图(4) .
故答案为: 或 或 或 .
例题3
如图所示,把一根绳子对折成线段 ,从点 处把绳子剪断,已知 ,若剪断后的
各段绳子中最长的一段为 ,求绳子的原长.
答案 绳子的原长为 或 .
解析 方法一:本题有两种情形:
( )当点 是绳子的对折点时,将绳子展开如图.
∵ ,剪断后的各段绳子中最长的一段为 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴绳子的原长 ;
( )当点 是绳子的对折点时,将绳子展开如图.
∵ ,剪断后的各段绳子中最长的一段为 ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∴绳子的原长 .
综上,绳子的原长为 或 .
方法二:设 ,则 .
①若 是绳子的对折点,则最长一段为 ,
解得 .
由 ,可得 ,
绳子的原长为
②若 是绳子的对折点,则最长一段为 ,解得
由 ,可得 , .
绳子的原长为
综上,绳子的原长为 或 .
例题4
如图, 点是线段 上一点, , 、 两点分别从 、 同时出发以 、 的速
度沿直线 向左运动( 在线段 上, 在线段 上),运动时间为 .
(1) 当 时, , ,若 ,则

(2) 当 时,若 ,则 .
(3) 若 , 在线段 上运动到任一时刻时,总有 ,请求出 的长.
(4) 在( )的条件下,点 是直线 上一点,且 ,请求出 的长.
答案 (1) 1:
2:
3:
(2)
(3) .
(4) 长为 或 .
解析 (1) , ,
当 时, , ,

∴ ,
若 ,则 , ,
∴ .
(2) 当 时,

∴ ,
∵ ,
∴ , ,
∴ .
(3) , ,

∴ ,
∵ ,
∴ , ,
∴ .
(4) 假设直线 为数轴, 为原点,向右为正方向,
∵ , ,
∴ , ,
设 点表示的数为 ,
∴ ,


∴ ,
①当 时,
(舍);
②当 时,
(舍);
③当 时,

④当 时,

综上所述, 长为 或 .
二、线段的计数问题
知识导航
数线段要掌握一定的方法,必须做到不重不漏.
一般方法是从左起第一个点数起,使第一个点和其右边的每一个各组合一次,得到 条线
段,然后再从左起第二个点数起,使它和它右边的每个点组合一次,又得到 条线段, ,
依次数下去,最后再相加.
若一条直线上有 个点,则线段的条数为 .
例题5
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条;
……
当一条直线上有 个点时,图中共有射线 条,线段 条.
答案 1:4
2:1
3:6
4:3
5:8
6:6
7:10
8:10
9:
10:
解析 画图找规律可得
例题6
如图,两条直线相交只有 个交点,三条直线相交最多有 个交点,四条直线相交最多有 个交
点,五条直线相交最多有 个交点,六条直线相交最多有 个交点, 条直线相交最多
有 个交点.
答案 1:
2:
解析 两条直线相交只有 个交点,
三条直线相交最多有 个交点,
四条直线相交最多有 个交点,
条直线相交最多有 个交点,
六条直线相交最多有 个交点.
三、图解应用题
知识导航
通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.
例题7
如图所示,由泰山到青岛的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是:泰山﹣﹣济南﹣﹣淄博﹣
﹣潍坊﹣﹣青岛,那么要为这次列车制作的火车票有 种.
答案
解析 如图,设泰山﹣﹣济南﹣﹣淄博﹣﹣潍坊﹣﹣青岛五站分别用 、 、 、 、 表示,
则共有线段: 、 、 、 、 、 、 、
、 、 共 条,
所以,需要制作火车票 种.
故答案为: .
例题8
、 、 、 、 、 六个足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出 、 、 、 、
五队已分别比赛了 、 、 、 、 场球.则下列正确的是( ) .(多选)
A. 还有一个队没和 队进行比赛
B. 队与 队进行了一样多的比赛
C. 队、 队、 队这三队之间已经进行了两场比赛
D. 后面还剩下六场比赛需要进行
答案 ABD
解析 比了 场,所以 与 、 、 、 、 比过;
比了 场,所以 与 、 、 、 比过;
比了 场,所以 与 、 、 比过;
比了 场,所以 与 、 比过;
比了 场,所以 与 比过;
与 、 、 比过.
四、学霸笔记
五、数学万花筒
点子的排列方向
正常的骰子,相对两面的点子数目之和总是7;就此而言,上图中的三只骰子是正常的。但
是,从点子的排列方向来看,其中有一只与其他两只不同。
在A、B、C这三只骰子中,哪一只与其他两只不同?
(提示:判定哪些面上的点子可以有不同的排列方向;然后判定这些排列方向在不同的骰子
中是否一致。)
答 案
无论骰子怎样摆,一点、四点和五点的排列方向总是不变的。但是,两点、三点和六点却可
以有如下不同的排列方向:
以下的推理,是以相对两面点数之和为7的事实为依据的。
如果骰子B和骰子A相同,则骰子B上的两点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子B不是相同的。
如果骰子C和骰子A相同,则骰子C上的三点的排列方向必定与图中所示的呈对称相反。所以
骰子A和骰子C是不相同的。
如果骰子C和骰子B相同,则骰子C上的六点应该是像图中所示的排列方向。
由于题目中指明有两只骰子相同,因此相同的必定是骰子B和骰子C。与它们不同的便是骰子
A了。
六、巩固加油站
巩固1
如图,线段 , 、 分别是 、 的中点,且 ,求 的
长.
答案 .
解析 方法一:假设 , , , ,
∴ , , ,
∴ ,
∴ .
方法二:设 ,则 ,
∵ ,

∴ ,即 ,
∴ .
巩固2
已知线段 ,点 是直线 上一点,且 , 、 分别是 、 的中点,则线
段 的长为( ) .
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案 C
解析 (1)若为图 情形,∵ 为 的中点,
∴ ,
∵ 为 的中点,
∴ ,
∴ ;
(2)若为图 情形,∵ 为 的中点,
∴ ,
∵ 为 的中点,
∴ ,
∴ .
巩固3
平面上有四个点,经过两点画一条直线,则可以画几条直线?
答案 一条,四条或六条.
解析 如下图( )所示,当四点在同一条直线上时,只能画一条直线;
如图( ),当三点共线,另一点不在这条直线时,可以画四条直线;
如图( ),当任何三点不共线时,可以画 条直线.
巩固4
如图, , , 依次是线段 上三点,已知 , .
(1) 求出图中线段的条数.
(2) 求所有线段长度之和.
答案 (1) .
(2) .
解析 (1) 共有 个端点,所以有 条.
(2)

巩固5
五位朋友 、 、 、 、 在公园聚会,见面时握手致意问候.已知: 握了 次, 握了 次, 握了
次, 握了 次.到目前为止, 握了( )次.
A. B. C. D.
答案 B
解析 可画为线段图如下:
握了 次,意为从 点出发只有 条线段;
握了 次,意为从 点出发只有 条线段;
握了 次,意为从 点出发只有 条线段;
握了 次,意为从 点出发只有 条线段;
由图可得:从 点出发有 条线段,即 握了 次,分别是和 , .
故选 .
巩固6
定义:若线段上的一个点把这条线段分成 的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点,
如图 ,点 在线段 上,且 ,则点 是线段 的一个三等分点,显然,一条线
段的三等分点有两个.

(1) 已知:如图 , ,点 是 的三等分点,求 的长.

(2) 已知,线段 ,如图 ,点 从点 出发以每秒 的速度在射线 上向点 方向
运动;点 从点 出发,先向点 方向运动,当与点 重合后立马改变方向与点 同向而行
且速度始终为每秒 ,设运动时间为 秒.

1 若点 点 同时出发,且当点 与点 重合时,求 的值.
2 若点 点 同时出发,且当点 是线段 的三等分点时,求 的值.
答案 (1) 的长为 或 .
(2) 1 .
2 秒、 秒或 秒.
解析 (1) 当 时, ,
当 时, ,
综上所述, 的长为 或 .
(2) 1 根据题意得 ,解得 ,
答:当 秒时,点 与点 重合.
2 点 , 重合前,
当 时,有 ,
解得 ,
当 时,有 ,
解得 .
点 , 重合后,
当 时,有 ,
解得 ;
当 时,有 ,
解得 (不合题意,舍去).
综上所述,当 秒、 秒或 秒时,点 是线段 的三等分点.

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