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第10讲 角的计算和证明
一、角的基本概念
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1. 角的概念
⑴角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条
射线是角的两条边．
⑵角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写
在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这
个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数
字（∠1，∠2…）表示．
⑶平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条
直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
⑷角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
2. 度分秒的换算
以度、分，秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
度、分，秒的意义如下：
①把一个平角 等分，每一份就是 度的角，记作 .
②把 度的角 等分，每一份就是 分的角，记作 .
③把 分的角 等分，每一份就是 秒的角，记作 .
, , ,
， ，1周角 ，1平角
温馨提示
①度，分、秒是 进制．
②在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐级进
行．
3. 方向角
方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于 的角叫做方向角．如图，射线 与
正北方向的夹角为 ，则 的方向角是北偏东 ; 与正北方向的夹角为 ，则 的方向角
是北偏西 ；同理， 的方向角为南偏西 或说成是西南方向； 的方向角为南偏东 ．
北
西 东
南
温馨提示
温在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度
或西偏北（南）多少度．当方向角在 方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．
4. 时针和分针夹角的求解方法
时针和分针夹角问题实际上就是行程问题，只不过有两个速度，一个是时针的速度，为
（度/时） （度/分）；另一个是分针的速度，为 （度/分）.用时针与分针
走的时间分别乘它们的速度，即得它们各自转过的角度．
经典例题
例题1
1 下列说法正确的是（ ）
A. 平角是一条直线 B. 角的边越长，角越大
C. 大于直角的角叫做钝角 D. 两个锐角的和不一定是钝角
2 如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）．
C
B
1
O A
A. 与 表示同一个角
B. 表示的是
C. 图中共有三个角： ， ，
D. 也可用 来表示
3 下面等式成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
例题2
1 如图，甲从 点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点 出发向南偏西 方向走到点 ，则
的度数是（ ）．
北
东
A. B. C. D.
2
已知点 在点 的北偏西 方向，点 在 的东南方向，若 平分 ，则 的方向是（
）．
A. 东偏东 B. 北偏东
C. 东北方向 D. 东偏北
例题3
1 时钟面上分针和时针的夹角为 度．
2 钟表盘上指示的时间是 时 分，此时时针与分针之间的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
二、角的计算
经典例题
例题4
1 如图，已知 ， 平分 ，且 ，则 的度数为 ．
2 如图，已知 是直角， 是锐角， 平分 ， 平分 ，则 的度数是
（ ）．
A. B. C. D. 不能计算
例题5
1 已知有公共端点的三条射线 、 、 ，若 ， ，则
．
2 已知 ， ， 平分 ， 平分 ，则 （ ）．
A. B. C. 或 D. 不能确定
例题6
1 将长方形 沿 折叠，得到如图所示的图形，已知 ， 的度数是（ ）．
A. B. C. D.
2 如图所示，将一张长方形的纸片沿着 ， 对折，使得点 落在点 ，点 落在点 ，如果
，则 ．
三、角的计数问题
知识导航
在计算角的个数时，一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个。另一
种方法是使用排列组合知识。
经典例题
例题7
1 如下图，在已知角内画射线，
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角．
2 如下图， ，图中所有角之和等于 ，求 ．
四、学霸笔记
五、数学万花筒
一种新的说理方法
我们来看下面的问题：
“为什么在直角三角形中，只能有一个直角：在钝角三角形中，只能有一个钝角？
回答这个问题，需要用到一种与过去不同的新的说理方法，为了研究这种方法，我先和同学
们讲一段小故事．
星期天，侄儿带着他3岁的孩子晨晨来我家玩．在客厅里，大家谈得很欢．许久，我回到自
己房间，继续写我的书稿．晨晨和我玩熟了，竟追了过来，他一面向我身上爬，一面用手抓我的
眼镜．
“戴眼镜爷爷，我要眼镜，我要眼镜！”
我一手抱着他，一手护着眼镜，孩子纠缠不已，我难以招架、急中生智：
“晨晨，别闹，你看，你爸走啰！”
这话真灵，孩子听说爸爸走了，立即停止了吵闹，显得有些紧张．可他仔细倾听了一会儿，又
恢复了笑容：
“戴眼镜爷爷骗人，爸爸没有走．”
“你怎么知道他没有走？”
“爸爸要是走了，还在隔壁讲话啦？”
晨晨在这里就用到一种新的说理方法，他是这样想的：
要是爸爸走了，
我就不可能听到爸爸讲话的声音，
现在爸爸还在讲话，
说明爸爸没有走．
于是决心和戴眼镜爷爷纠缠下去．
我的“退兵之计”宣告彻底失败了．但晨晨思考问题的方法却给了我们启发．
现在，我们就用这种思维方法来说明上面提出的问题．先回答“为什么直角三角形中，只能有一
个直角？”
假如直角三角形中有两个直角；
那么两个直角的和就是180°，再加上第三个角就大于180°；
而三角形三内角的和只能是180°，
所以直角三角形中不能有两个直角．
同学们用这样的方法不难说明问题的后一半：“为什在钝角三角形中，只能有一个钝角？”
这个就是数学中一种很重要的证明方法，叫做“反证法”！
六、巩固加油站
巩固1
在下列说法中，正确的是（ ）．
①两条射线组成的图形叫做角；
②角的大小与边的长短无关；
③角的两边可以一样长，也可以一长一短；
④角的两边是两条射线．
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
巩固2
如图所示四个图形中，能用 、 、 三种方法表示同一个角的图形是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固3
下列关系式正确的是（ ）．
A. B. C. D.
巩固4
某人在 处看点 在北偏东 的方向上，看点 在北偏东 方向上，则 的度数为（ ）．
A. B. C. D.
巩固5
时钟时间 时，时针与分针所夹的角是 度．
巩固6
已知 ， ，则 = ．
巩固7
已知如图， ， 是 的平分线， 是 的平分线，且
，求 的度数．
巩固8
如图所示，将一平行四边形纸片 沿 ， 折叠，使点 ， ， 在同一条直线上，则
．
巩固9
已知 ， ， 平分 ， 平分 ，求 的度数．
图 图
巩固10
如图，已知 、 、 是 内的三条射线．
（1） 图中共有 个锐角．
（2） 若 、 、 为 的四等分线，且图中所有角的和为 ，求 的度数．
（3） 若 ， ，求图中所有锐角的和．第10讲 角的计算和证明
一、角的基本概念
知识导航
1. 角的概念
⑴角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条
射线是角的两条边．
⑵角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写
在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这
个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数
字（∠1，∠2…）表示．
⑶平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条
直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
⑷角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
2. 度分秒的换算
以度、分，秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
度、分，秒的意义如下：
①把一个平角 等分，每一份就是 度的角，记作 .
②把 度的角 等分，每一份就是 分的角，记作 .
③把 分的角 等分，每一份就是 秒的角，记作 .
, , ,
， ，1周角 ，1平角
温馨提示
①度，分、秒是 进制．
②在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐级进
行．
3. 方向角
方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于 的角叫做方向角．如图，射线 与
正北方向的夹角为 ，则 的方向角是北偏东 ; 与正北方向的夹角为 ，则 的方向角
是北偏西 ；同理， 的方向角为南偏西 或说成是西南方向； 的方向角为南偏东 ．
北
西 东
南
温馨提示
温在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度
或西偏北（南）多少度．当方向角在 方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．
4. 时针和分针夹角的求解方法
时针和分针夹角问题实际上就是行程问题，只不过有两个速度，一个是时针的速度，为
（度/时） （度/分）；另一个是分针的速度，为 （度/分）.用时针与分针
走的时间分别乘它们的速度，即得它们各自转过的角度．
经典例题
例题1
1 下列说法正确的是（ ）
A. 平角是一条直线 B. 角的边越长，角越大
C. 大于直角的角叫做钝角 D. 两个锐角的和不一定是钝角
答案 D
解析 平角是两条射线组成的一条直线，故此选项错误； 角的边越长，与角的大小无关，故此
选项错误； 大于直角且小于 的角叫做钝角，故此选项错误； 两个锐角的和不一定是
钝角，正确．故选： .
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角的定义和分类 > 题型：角的表示
2 如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）．
C
B
1
O A
A. 与 表示同一个角
B. 表示的是
C. 图中共有三个角： ， ，
D. 也可用 来表示
答案 D
解析 A选项： 与 表示同一个角，正确；
B选项： 表示的是 ，正确；
C选项：图中共有三个角： ， ， ，正确；
D选项： 不能用 表示，故 错误．
故选D.
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角的定义和分类 > 题型：角的表示
3 下面等式成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ． ，故 错误；
． ，故 错误；
． ，故 错误；
． ，故 正确．
故选 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角度换算
例题2
1 如图，甲从 点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点 出发向南偏西 方向走到点 ，则
的度数是（ ）．
北
东
A. B. C. D.
答案 C
解析 ，故答案为 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：方位角
2 已知点 在点 的北偏西 方向，点 在 的东南方向，若 平分 ，则 的方向是（
）．
A. 东偏东 B. 北偏东
C. 东北方向 D. 东偏北
答案 B
解析 由题意可知，
∵ ， 北
又∵ 平分 ，
∴ ， 东
∴ ． 西
则 方向北偏东 ．
南
故选 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：方位角
例题3
1 时钟面上分针和时针的夹角为 度．
答案
解析 化为 ，分针一分走 ，时针一小时走 ，
分针转过的角度： ，
时针转过的角度： ，
则时针与分针夹角： ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：钟面角
2 钟表盘上指示的时间是 时 分，此时时针与分针之间的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 时针每分钟走 ， 分钟时针走了 ．
∴钟表上 时 分，时针与分针之间的夹角为 ．
故选 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：钟面角
二、角的计算
经典例题
例题4
1 如图，已知 ， 平分 ，且 ，则 的度数为 ．
答案
解析 ∵ ， 平分 ，且 ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为： ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图
2 如图，已知 是直角， 是锐角， 平分 ， 平分 ，则 的度数是
（ ）．
A. B. C. D. 不能计算
答案 A
解析
．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图
例题5
1 已知有公共端点的三条射线 、 、 ，若 ， ，则
．
答案 或
解析 略．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-无图
2 已知 ， ， 平分 ， 平分 ，则 （ ）．
A. B. C. 或 D. 不能确定
答案 C
解析 如图 所示：
∵ ， ， 平分 ， 平分 ，
∴
（ ） ，
如图 所示：
∵ ， ， 平分 ， 平分 ，
∴
（ ）
，
故选： ．
标注 【题型】 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
例题6
1 将长方形 沿 折叠，得到如图所示的图形，已知 ， 的度数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵ 是 沿 折叠而得，
∴ .
又∵ ，即 ,
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 相交线与平行线 > 平行线 > 题型：折叠问题
2 如图所示，将一张长方形的纸片沿着 ， 对折，使得点 落在点 ，点 落在点 ，如果
，则 ．
答案
解析 由对称性得︰ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 相交线与平行线 > 平行线 > 题型：折叠问题
三、角的计数问题
知识导航
在计算角的个数时，一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个。另一
种方法是使用排列组合知识。
经典例题
例题7
1 如下图，在已知角内画射线，
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角．
答案 1:
2:
3:
4:
解析 画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角；
画 条射线，图中共有 个角．
标注 【题型】 几何图形初步 > 直线、射线、线段 > 直线、射线、线段问题 > 题型：计数
2 如下图， ，图中所有角之和等于 ，求 ．
答案 ．
解析 以 为始边的角的总和 ，以 为始边的角的总和
．以 为始边的角的总和 ．以 为始边的角的总和是 ．依
条件有， ，解出 ，于是 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图
四、学霸笔记
五、数学万花筒
一种新的说理方法
我们来看下面的问题：
“为什么在直角三角形中，只能有一个直角：在钝角三角形中，只能有一个钝角？
回答这个问题，需要用到一种与过去不同的新的说理方法，为了研究这种方法，我先和同学
们讲一段小故事．
星期天，侄儿带着他3岁的孩子晨晨来我家玩．在客厅里，大家谈得很欢．许久，我回到自
己房间，继续写我的书稿．晨晨和我玩熟了，竟追了过来，他一面向我身上爬，一面用手抓我的
眼镜．
“戴眼镜爷爷，我要眼镜，我要眼镜！”
我一手抱着他，一手护着眼镜，孩子纠缠不已，我难以招架、急中生智：
“晨晨，别闹，你看，你爸走啰！”
这话真灵，孩子听说爸爸走了，立即停止了吵闹，显得有些紧张．可他仔细倾听了一会儿，又
恢复了笑容：
“戴眼镜爷爷骗人，爸爸没有走．”
“你怎么知道他没有走？”
“爸爸要是走了，还在隔壁讲话啦？”
晨晨在这里就用到一种新的说理方法，他是这样想的：
要是爸爸走了，
我就不可能听到爸爸讲话的声音，
现在爸爸还在讲话，
说明爸爸没有走．
于是决心和戴眼镜爷爷纠缠下去．
我的“退兵之计”宣告彻底失败了．但晨晨思考问题的方法却给了我们启发．
现在，我们就用这种思维方法来说明上面提出的问题．先回答“为什么直角三角形中，只能有一
个直角？”
假如直角三角形中有两个直角；
那么两个直角的和就是180°，再加上第三个角就大于180°；
而三角形三内角的和只能是180°，
所以直角三角形中不能有两个直角．
同学们用这样的方法不难说明问题的后一半：“为什在钝角三角形中，只能有一个钝角？”
这个就是数学中一种很重要的证明方法，叫做“反证法”！
六、巩固加油站
巩固1
在下列说法中，正确的是（ ）．
①两条射线组成的图形叫做角；
②角的大小与边的长短无关；
③角的两边可以一样长，也可以一长一短；
④角的两边是两条射线．
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
答案 B
解析 ①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；
②角的大小与边的长短无关，故正确；
③角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故错误；
④角的两边是两条射线，故正确．
②④正确，故选 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角的定义和分类 > 题型：角的表示
巩固2
如图所示四个图形中，能用 、 、 三种方法表示同一个角的图形是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 、因为顶点 处有四个角，所以这四个角均不能用 表示，故本选项错误；
、因为顶点 处只有一个角，所以这个角能用 、 及 表示，故本选项正确；
、因为顶点 处有三个角，所以这三个角均不能用 表示，故本选项错误；
、因为 与 表示的不是同一个角，故本选项错误．
故选 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角的定义和分类 > 题型：角的表示
巩固3
下列关系式正确的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 、 ， ，故 错误；
、 ， ，故 错误；
、 ， ，故 错误；
、 ， ，故 正确．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角度换算
巩固4
某人在 处看点 在北偏东 的方向上，看点 在北偏东 方向上，则 的度数为（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图： .
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：方位角
巩固5
时钟时间 时，时针与分针所夹的角是 度．
答案
解析 以从 点刻度处出发计算时针、分针各自所转角度，
时针： ，
分针： ，
所以 时，二者夹角为 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：钟面角
巩固6
已知 ， ，则 = ．
答案 或
解析 略．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-无图
巩固7
已知如图， ， 是 的平分线， 是 的平分线，且
，求 的度数．
答案 ．
解析 设 ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图
巩固8
如图所示，将一平行四边形纸片 沿 ， 折叠，使点 ， ， 在同一条直线上，则
．
答案
解析 由折叠的性质可得， ， ，
∴
．
标注 【题型】 几何图形初步 > 相交线与平行线 > 平行线 > 题型：折叠问题
巩固9
已知 ， ， 平分 ， 平分 ，求 的度数．
图 图
答案 或 ．
解析 如图 ，
．
如图 ，
．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图
巩固10
如图，已知 、 、 是 内的三条射线．
（1） 图中共有 个锐角．
（2） 若 、 、 为 的四等分线，且图中所有角的和为 ，求 的度数．
（3） 若 ， ，求图中所有锐角的和．
答案 （1）
（2） ．
（3） ．
解析 （1） 略．
（2） 设 ，则 ，则 ；故 ．
故答案为： ．
（3）
．
故答案为： ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图

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