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第11讲 转角问题
一、三角板问题
经典例题
例题1
如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中 的图形有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
例题2
如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点 ，则 ．
二、转角问题
知识导航
转角问题是角度的综合运算，涉及到动态的变化，和动点问题一样，难点在于t时间以后角的
具体问题的表示。
经典例题
例题3
如图，点 为直线 上一点，过 点作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角顶
点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
图
（1） 将图 中的三角板绕点 按逆时针方向旋转 至图 的位置，此时 ．
图
（2） 将图 中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图 的位置，使得 在 的内部．试探
究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由．
图
（3） 在上述直角三角板从图 逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点 按 每秒的速度旋转，
当直角三角板的直角边 所在直线恰好平分 时，求此时三角板绕点 的运动时间
的值．
例题4
如图 ，两个形状．大小完全相同的含有 、 的三角板如图放置， 、 与直线 重合，
且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转．
（1） 试说明： ．
（2） 如图 ，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转一定角度， 平分 ，
平分 ，求 ．
（3） 如图 ，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 /秒，同时三角板
的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 /秒，在两个三角板旋转过程中（
转到与 重合时，两三角板都停止转动），以下两个结论：① 为定值；②
为定值，请选出正确的结论，并说明理由．
图
例题5
已知：如图 ，点 、 、 依次在直线 上，现将射线 绕点 沿顺时针方向以每秒 的速度
旋转，同时射线 绕点 沿逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图 ，设旋转时间为 秒
秒 ．
图
图
（1） 用含 的代数式表示 的度数．
（2） 在运动过程中，当 第二次达到 时，求 的值．
（3） 在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 是由射线 、射线 、射线 中的其中
两条组成的角（指大于 而不超过 的角）的角平分线？如果存在，请直接写出 的
值；如果不存在，请说明理由．
例题6
如图 ，射线 在 的内部，图中共有 个角： 、 和 ，若其中有一个角的
度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“奇妙线”．
图
（1） 一个角的角平分线 这个角的“奇妙线”．（填“是”或“不是”）
（2） 如图 ，若 ，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，
当 首次等于 时停止旋转，设旋转的时间为 ．
图
1 当 为何值时，射线 是 的“奇妙线”？
2 若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止旋转，请求出
当射线 是 的“奇妙线”时 的值．
三、学霸笔记
四、数学万花筒
学好几何文字语言
人们交流思想离不开语言,思考问题也离不开语言.在科学性很强的几何中，对文字的要求更
高．为了迅速适应比较系统的几何学习，我们应该就下面几点加强对几何文字语言的训练．
第一，必须理解和熟悉几何中常用的名词和用语．
《几何》第一章有许多概念，这些概念都有它们的名词．其中有少数几个名词是用文字语言
来描述它们的含意，而含意的描述又往往不能达意．如直线，我们只能给出它的形象── 一根拉
得很紧的线，但这不能展现直线向两方无限延伸的本质．如果不理解这个直线可向两方无限延伸
的本质，就没法正确判断图1中的两条直线a，b是否相交，不能肯定图2中点P是否在直线AB上．
因此今后提到直线，我们就应该知道：“这条直线不仅仅是笔直的，而且是向两方无限延伸着的”
除了极少数几个描述的名词外，其余的名词都用文字语言规定它们含意——定义．这些名词
的定义都是用那些描述含意的名词和学过的有定义的名词来叙述，叙述通常用“......叫做......”形
式，如“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线殷的端点”．
学习定义或用语都要咬文嚼字，因为对它们的意义的理解一旦差之毫厘，就会导致失之千
里．如“小于直角的角叫做锐角”是正确的，“大于直角的角叫做钝角”就错了，又如“连结两点的线
段的长度，叫做这两点的距离”，因而两点的距离不是连结这两点的线段．
要深刻理解和掌握各个概念的本质，还需注意相近概念之间的联系和区别．比较才有鉴别，
通过文字语言的比较就能透彻理解概念，正确使用概念．如“两个角的和是一个直角，这两个角叫
做互为余角”，显然这两个角都必须是锐角，因此一个钝角不会有它的余角．又如“两个角的和是
一个平角，这两个角叫做互为补角”，也显然这两个角不可能都是锐角或者都是钝角，除非这两个
角都是直角，不然必定是一个锐角一个钝角．两个角互为余角或互为补角，是指两个角的数量关
系，没有涉及到它们的位置关系，只有当两个角互为邻补角时才既有数量关系又有位置关系．
除了学好几何名词外，我们还要学好几何中的规范用语．如图3不能说“延长直线AB”，“延长
线段BA”等等只能说“延长线段AB”，或“反向延长线段BA”．
几何名词是几何语言结构中的单位，规范的几何语言是人们长期积累的精练的几何语言．周
密的思考，严谨的推理和正确交流数学思想方法都必须明白准确的名词用语．
第二必须透彻理解并熟悉掌握公理和定理的题设和结论．
公理和定理都是命题，命题的文字语言有三种形式：第一种形式是：“如果......，那么......”，
或“若.....，则.....”，如“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．”这时很
容易确定“如果”、“若”后面就是题设，“那么”、“则”后面就是结论，第二种形式就不那么明显了，
但是叙述比较完整，如“两条直线相交，只有一个交点”，很容易必写成第一种形式：“如果两条直
线相交，那么只有一个交点．”这样，命题的题设和结论也清楚了．第三种形式因为叙相当简单，
所以首先要了解命题的意思，完整命题的叙述，然后改写成第一种形式，如“对顶角相等”，是
说“两个角成对顶角，它们就相等”，从而可改写成“如果∠A和∠B是对顶角，那么∠A=∠B．”它的
题设和结论也就明显了．
善于分析命题的题设和结论，是我们学好、用好公理和定理，以及提高审题和解题的必要的
能力．
第三，必须灵活运用等价语言．
在几何图形中，对同一个事实经常有几种不同的叙述方法，这些说法是等价语言．如图
4，“线段AB的中点M”还有如下各种等价的说法．
（1）M是线段AB的中点；
（2）A、M、B是同一条直线上的三点，且AM=MB；
（3）M是线段AB上的点，且AB=2AM（或AB=2MB）；
（4）点M在线段AB上，且 或 ；
（5）点B在线段AM的延长线上，且AM=MB；
......
然而有时不同的说法不是等价的．例如公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”．可
以说成“过两点有且只有一条直线”．其中前一个“有”，说出这样的直线存在，后一个“只有”，说明
这样的直线最多有一条．因此这个公理像生活用语那样说成”经过两点只有一条直线”，理由是这
句话少了一层“这样的直线存在”的意思．但是它可以说成“两点确定一条直线”．因为“确定”也是“有
目只有”的意思．所以我们要善于识别不同的说法是否等价．
等价语言运用自如，常常有利于开拓思路，有利于说理，并使叙述简捷．
五、巩固加油站
巩固1
用一副三角板不可以拼出的角是（ ）．
A. B. C. D.
巩固2
如图 ，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，将一直角三角形的直角顶点放在点 处，一边
在射线 上，另一边 在直线 的下方．
图 图
（1）
将图 中的三角板绕点 逆时针旋转至图 ，使一边 在 的内部，且恰好平分
，问：直线 是否平分 ？请说明理由．
（2） 若 ，将图 中的三角板绕点 按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋
转的过程中，第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为 （直接写出结
果）
（3） 在 的条件下，将图 中的三角板绕点 顺时针旋转至图 ，使 在 的内部，请探
究： 与 之间的数量关系，并说明理由．
图
巩固3
将一副直角三角板如图 摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ， ，
， ， ），保持三角板 不动，将三角板 绕点 以
每秒 的速度顺时针旋转，旋转时间为 秒．
备用图
图
（1） 如图 ，当 秒时，射线 平分 ？此时 ．
图
（2） 如图 ，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由．
图
（3） 若在三角板 开始旋转的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒 的速度顺时针旋
转，当 旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
1 当 秒时，射线 平分 ？
2 请直接写出在旋转过程中， 与 的数量关系．
巩固4
已知 为直线 上的一点， 是直角， 平分 ，
（1） 如图 ，若 ，则 ；若 ，则 ；
与 的数量关系为 ．
图
（2） 当射线 的位置如图 所示时，（ ）中 与 的数量关系是否依然成立？如成
立请写出关系式并说明理由；如不成立请说明原因．
图
（3） 在图 中，若 ，在 的内部是否存在一条射线 ，使得 与
的和等于 与 的差的一半？若存在，请求出 的度数，如不存在，请说明
理由．
图
巩固5
【探索新知】
如图 ，射线 在 的内部，图中共有 个角： ， 和 ，若其中有一个角的
度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”．
图 图 备用图
【解决问题】
（1） 一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）
（2） 如图 ，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ． 用含 的
代数式表示
（3） 【深入研究】
如图 ，若 ，且射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋
转，当 与 成 时停止旋转，旋转的时间为 秒．
当 为何值时，射线 是 的“巧分线”．
（4） 若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止，当射线 是
的“巧分线”时，求 的值．第11讲 转角问题
一、三角板问题
经典例题
例题1
如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中 的图形有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 根据角的和差关系可得第一个图形 ，
根据同角的余角相等可得第二个图形 ，
根据等角的补角相等可得第三个图形 ，
第四个图形 ，不相等，
因此 的图形个数共有 个．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图
例题2
如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点 ，则 ．
答案
解析
．
故答案为： ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：三角板的应用
二、转角问题
知识导航
转角问题是角度的综合运算，涉及到动态的变化，和动点问题一样，难点在于t时间以后角的
具体问题的表示。
经典例题
例题3
如图，点 为直线 上一点，过 点作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角顶
点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
图
（1） 将图 中的三角板绕点 按逆时针方向旋转 至图 的位置，此时 ．
图
（2） 将图 中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图 的位置，使得 在 的内部．试探
究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由．
图
（3） 在上述直角三角板从图 逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点 按 每秒的速度旋转，
当直角三角板的直角边 所在直线恰好平分 时，求此时三角板绕点 的运动时间
的值．
答案 （1）
（2） ．
（3） 或 ．
解析 （1） ∵ ，
∴ ，
∵ 则 ．
（2） 设 则 ， ．
∴ ．
（3） 当 第一次平分时， 所在直线平分 ，
此时 ，
则转过 时， ，
当 第二次所在线段平分 时，
此时 ，则转过了 ，
∴ ．
∴ 或 可平分 ．
标注 【题型】 几何变换 > 旋转 > 旋转基础 > 题型：旋转性质应用
例题4
如图 ，两个形状．大小完全相同的含有 、 的三角板如图放置， 、 与直线 重合，
且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转．
（1） 试说明： ．
（2） 如图 ，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转一定角度， 平分 ，
平分 ，求 ．
（3） 如图 ，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 /秒，同时三角板
的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 /秒，在两个三角板旋转过程中（
转到与 重合时，两三角板都停止转动），以下两个结论：① 为定值；②
为定值，请选出正确的结论，并说明理由．
图
答案 （1） 说明见解析．
（2） ．
（3） ① 正确，证明见解析．
解析 （1） ∵ ， ，
∴ ．
（2） 设 ，
∵ ，
，
，
∴ ，
，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
．
（3） ① 正确，
设运动时间为 秒，则 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
，
② ，
，
，
可以看出 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：三角板的应用
例题5
已知：如图 ，点 、 、 依次在直线 上，现将射线 绕点 沿顺时针方向以每秒 的速度
旋转，同时射线 绕点 沿逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图 ，设旋转时间为 秒
秒 ．
图
图
（1） 用含 的代数式表示 的度数．
（2） 在运动过程中，当 第二次达到 时，求 的值．
（3） 在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 是由射线 、射线 、射线 中的其中
两条组成的角（指大于 而不超过 的角）的角平分线？如果存在，请直接写出 的
值；如果不存在，请说明理由．
答案 （1） ．
（2） ．
（3） 存在； 的值分别为 、 、 秒．
解析 （1） 略．
（2） 如图，
根据题意知： ， ，
当 第二次达到 时，
，
即 ，解得： ，
第二次达到 ．
故答案为： ．
（3） 射线 是由射线 、射线 、射线 中的其中两条组成的角的平分线有以下三种
情况：
① 平分 时，∵ ，∴ ，解得： ；
② 平分 时，∵ ，即 ，
∴ ，或 ，解得： ，或 （不符合题意，舍去）；
③ 平分 时，∵ ，
∴ ，或 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）；
综上，当 的值分别为 、 、 秒时，射线 是由射线 、射线 、射线 中
的其中两条组成的角的平分线．
故答案为：存在； 的值分别为 、 、 秒．
标注 【题型】 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
例题6
如图 ，射线 在 的内部，图中共有 个角： 、 和 ，若其中有一个角的
度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“奇妙线”．
图
（1） 一个角的角平分线 这个角的“奇妙线”．（填“是”或“不是”）
（2） 如图 ，若 ，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，
当 首次等于 时停止旋转，设旋转的时间为 ．
图
1 当 为何值时，射线 是 的“奇妙线”？
2 若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止旋转，请求出
当射线 是 的“奇妙线”时 的值．
答案 （1） 是
（2） 1 或 或 ．
2 或 或 ．
解析 （1） 根据“奇妙线”的定义，一个角的角平分线是这个角的奇妙线．
（2） 1 依题意有：
第一种情况： ，解得 ．
第二种情况： ，解得 ．
第三种情况： ，解得 ．
2 依题意有：
第一种情况： ，解得 ．
第二种情况： ，解得 ．
第二种情况： ，解得 ．
故当射线 是 的奇妙线时 的值的值为 或 或 ．
标注 【题型】 综合类问题 > 阅读与应用问题 > 阅读-几何相关
三、学霸笔记
四、数学万花筒
学好几何文字语言
人们交流思想离不开语言,思考问题也离不开语言.在科学性很强的几何中，对文字的要求更
高．为了迅速适应比较系统的几何学习，我们应该就下面几点加强对几何文字语言的训练．
第一，必须理解和熟悉几何中常用的名词和用语．
《几何》第一章有许多概念，这些概念都有它们的名词．其中有少数几个名词是用文字语言
来描述它们的含意，而含意的描述又往往不能达意．如直线，我们只能给出它的形象── 一根拉
得很紧的线，但这不能展现直线向两方无限延伸的本质．如果不理解这个直线可向两方无限延伸
的本质，就没法正确判断图1中的两条直线a，b是否相交，不能肯定图2中点P是否在直线AB上．
因此今后提到直线，我们就应该知道：“这条直线不仅仅是笔直的，而且是向两方无限延伸着的”
除了极少数几个描述的名词外，其余的名词都用文字语言规定它们含意——定义．这些名词
的定义都是用那些描述含意的名词和学过的有定义的名词来叙述，叙述通常用“......叫做......”形
式，如“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线殷的端点”．
学习定义或用语都要咬文嚼字，因为对它们的意义的理解一旦差之毫厘，就会导致失之千
里．如“小于直角的角叫做锐角”是正确的，“大于直角的角叫做钝角”就错了，又如“连结两点的线
段的长度，叫做这两点的距离”，因而两点的距离不是连结这两点的线段．
要深刻理解和掌握各个概念的本质，还需注意相近概念之间的联系和区别．比较才有鉴别，
通过文字语言的比较就能透彻理解概念，正确使用概念．如“两个角的和是一个直角，这两个角叫
做互为余角”，显然这两个角都必须是锐角，因此一个钝角不会有它的余角．又如“两个角的和是
一个平角，这两个角叫做互为补角”，也显然这两个角不可能都是锐角或者都是钝角，除非这两个
角都是直角，不然必定是一个锐角一个钝角．两个角互为余角或互为补角，是指两个角的数量关
系，没有涉及到它们的位置关系，只有当两个角互为邻补角时才既有数量关系又有位置关系．
除了学好几何名词外，我们还要学好几何中的规范用语．如图3不能说“延长直线AB”，“延长
线段BA”等等只能说“延长线段AB”，或“反向延长线段BA”．
几何名词是几何语言结构中的单位，规范的几何语言是人们长期积累的精练的几何语言．周
密的思考，严谨的推理和正确交流数学思想方法都必须明白准确的名词用语．
第二必须透彻理解并熟悉掌握公理和定理的题设和结论．
公理和定理都是命题，命题的文字语言有三种形式：第一种形式是：“如果......，那么......”，
或“若.....，则.....”，如“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．”这时很
容易确定“如果”、“若”后面就是题设，“那么”、“则”后面就是结论，第二种形式就不那么明显了，
但是叙述比较完整，如“两条直线相交，只有一个交点”，很容易必写成第一种形式：“如果两条直
线相交，那么只有一个交点．”这样，命题的题设和结论也清楚了．第三种形式因为叙相当简单，
所以首先要了解命题的意思，完整命题的叙述，然后改写成第一种形式，如“对顶角相等”，是
说“两个角成对顶角，它们就相等”，从而可改写成“如果∠A和∠B是对顶角，那么∠A=∠B．”它的
题设和结论也就明显了．
善于分析命题的题设和结论，是我们学好、用好公理和定理，以及提高审题和解题的必要的
能力．
第三，必须灵活运用等价语言．
在几何图形中，对同一个事实经常有几种不同的叙述方法，这些说法是等价语言．如图
4，“线段AB的中点M”还有如下各种等价的说法．
（1）M是线段AB的中点；
（2）A、M、B是同一条直线上的三点，且AM=MB；
（3）M是线段AB上的点，且AB=2AM（或AB=2MB）；
（4）点M在线段AB上，且 或 ；
（5）点B在线段AM的延长线上，且AM=MB；
......
然而有时不同的说法不是等价的．例如公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”．可
以说成“过两点有且只有一条直线”．其中前一个“有”，说出这样的直线存在，后一个“只有”，说明
这样的直线最多有一条．因此这个公理像生活用语那样说成”经过两点只有一条直线”，理由是这
句话少了一层“这样的直线存在”的意思．但是它可以说成“两点确定一条直线”．因为“确定”也是“有
目只有”的意思．所以我们要善于识别不同的说法是否等价．
等价语言运用自如，常常有利于开拓思路，有利于说理，并使叙述简捷．
五、巩固加油站
巩固1
用一副三角板不可以拼出的角是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 已知一副三角板各角的度数是 度， 度， 度， 度，
可以拼出的度数就是用 度， 度， 度， 度相加减，
，
，
，
显然得不到 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：三角板的应用
巩固2
如图 ，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，将一直角三角形的直角顶点放在点 处，一边
在射线 上，另一边 在直线 的下方．
图 图
（1） 将图 中的三角板绕点 逆时针旋转至图 ，使一边 在 的内部，且恰好平分
，问：直线 是否平分 ？请说明理由．
（2） 若 ，将图 中的三角板绕点 按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋
转的过程中，第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为 （直接写出结
果）
（3） 在 的条件下，将图 中的三角板绕点 顺时针旋转至图 ，使 在 的内部，请探
究： 与 之间的数量关系，并说明理由．
图
答案 （1） 直线 平分 ，理由见解析．
（2） 或
（3） ，理由见解析．
解析 （1） 设 的反向延长线为 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
即直线 平分 ．
（2） ∵ ，
∴ ，
∴ ，
即旋转 时 平分 ，
由题意得， 或 ，
∴ 或 ．
（3） ∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
即 ．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图
巩固3
将一副直角三角板如图 摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ， ，
， ， ），保持三角板 不动，将三角板 绕点 以
每秒 的速度顺时针旋转，旋转时间为 秒．
备用图
图
（1） 如图 ，当 秒时，射线 平分 ？此时 ．
图
（2） 如图 ，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由．
图
（3） 若在三角板 开始旋转的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒 的速度顺时针旋
转，当 旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
1 当 秒时，射线 平分 ？
2 请直接写出在旋转过程中， 与 的数量关系．
答案 （1） 1:
2:
（2） ．
（3） 1
2 ．
解析 （1） ∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ 秒，
∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ， ．
（2） ∵ ，
∴
，
∵ ，
∴ ．
（3） 1 ∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 秒，
故答案为： ．
2 ∵ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴
．
∴ ．
标注 【题型】 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
巩固4
已知 为直线 上的一点， 是直角， 平分 ，
（1） 如图 ，若 ，则 ；若 ，则 ；
与 的数量关系为 ．
图
（2） 当射线 的位置如图 所示时，（ ）中 与 的数量关系是否依然成立？如成
立请写出关系式并说明理由；如不成立请说明原因．
图
（3）
在图 中，若 ，在 的内部是否存在一条射线 ，使得 与
的和等于 与 的差的一半？若存在，请求出 的度数，如不存在，请说明
理由．
图
答案 （1） 1:
2:
3:
（2） 与 的数量关系仍然成立，理由见解析．
（3） 存在， ．
解析 （1） ∵ 是直角， ，
∴ ．
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
当 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以有 ．
（2） 与 的数量关系仍然成立．理由如下：
设 ，如图 ，
∵ 是直角，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（3） 存在．理由如下：
如图 ，
∵ ，
∴ ，
，
而 与 的和等于 与 的差的一半，
∴ ，
∴ ．
标注 【题型】 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
巩固5
【探索新知】
如图 ，射线 在 的内部，图中共有 个角： ， 和 ，若其中有一个角的
度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”．
图 图 备用图
【解决问题】
（1） 一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）
（2） 如图 ，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ． 用含 的
代数式表示
（3） 【深入研究】
如图 ，若 ，且射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋
转，当 与 成 时停止旋转，旋转的时间为 秒．
当 为何值时，射线 是 的“巧分线”．
（4） 若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止，当射线 是
的“巧分线”时，求 的值．
答案 （1） 是
（2）
备选答案1:
备选答案2:
（3） 当 为 或 或 时，射线 是 的“巧分线”．
（4） 当 为 或 或 时，射线 是 的“巧分线”．
解析 （1） 一个角的平分线是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2） ，
或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
（3） 依题意有：
① ，解得 ；
② ，解得 ；
③ ，解得 ．
故当 为 或 或 时，射线 是 的“巧分线”．
（4） 依题意有：
① ，解得 ；
② ，解得 ；
② ，解得 ．
故当 为 或 或 时，射线 是 的“巧分线”．
标注 【题型】 几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：转角问题

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