资源简介 第12讲 一元一次方程进阶一、一元一次方程定义及方程的解知识导航1.方程的定义方程的定义：含有未知数的等式叫方程．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．2.方程的解（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．（2）规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．3.等式的性质（1）等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．4.一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1.经典例题例题11 下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； ⑥；⑦ ；⑧ ；⑨ ．其中是方程的是 ，一元一次方程的是 ．答案 1:①③④⑤⑥⑦⑧⑨2:①⑥⑧解析 略．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：判断一元一次方程2 已知 是关于 的一元一次方程，则 ， ，.答案 1:2:3:标注【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的定义求参数的值3 已知关于 的方程 的解是 ，其中 且 ，求代数式 的值．答案 ．解析 方法一：把 代入 中得： ，∴ ．方法二：把 代入 得 ，∴ ，．∴ ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求参数的值例题2解下列一元一次方程：（1） ．（2） ．答案 （1） ．（2） ．解析 （1） 略．（2） 略．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：解含小数的一元一次方程二、技巧方程知识导航对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中 的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴整体法；⑵进行拆项和添项，从而化简原方程；⑶对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项．【注意】此类很多题目的核心是将方程转换成了 的形式，若 ，则经典例题例题3解方程：（1） ．（2） ．（3） ．答案 （1） ．（2） ．（3） ．解析 （1） 原方程可变为 ，即，又 ，所以 ，即 ．故答案为： ．（2）．故答案为： ．（3）因为 ，所以 ．故答案为： ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：分离法解一元一次方程例题41 解方程：答案 ．解析 去分母，得 ，移项、合并同类项得 ，去分母，得 ，移项、合并同类项得去分母，得移项、合并同类项得解得 ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：常规一元一次方程解法2 .答案 ．解析 方法一：解得： .方法二：，，．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：裂项法解一元一次方程三、绝对值方程知识导航a形如 方程的解法 示例剖析当a<0时，方程无解；当a=0时，方程的解为x=0; 解关于 的方程 .当a＞0时，方程有两个解，x=a或x=-a. 解：①当 时，方程无解；②当 时， .③ 当 ， 或即 或.经典例题例题5解方程：（1） ．（2） ．答案 （1） 或 ．（2） 和 ．解析 （1） 略．（2） 令 得 ，将数分成两段进行讨论：①当 时，原方程可化简为： ， 在 的范围内，是方程的解．②当 时，原方程可化简为： ， 在 的范围内，是方程的解．综上所述：原方程的解是 和 ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：含绝对值的一元一次方程例题6．答案 或 ．解析 根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以由原方程可以得到 或 ，解得 或 ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：含绝对值的一元一次方程四、学霸笔记五、数学万花筒方程的解的历史人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法．关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述．到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法．在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式卡当公式．在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里．所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式．三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出．这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法．遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决．到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解．既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来．阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题．后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了．伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁．六、巩固加油站巩固1① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（ ）个．A. B. C. D.答案 B解析 ①不是，分母中含有未知数；②是；③不是，化简后最高次项次数为 ；④是，分母中并未含有字母；⑤是；⑥不是，含有两个未知数；综上所述，②④⑤是一元一次方程，共 个．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：判断一元一次方程巩固2小强在解方程 时，不小心把一个数字用墨水污染成了 ，他翻阅了答案知道这个方程的解为 ，于是他判断 应该是 ．答案解析 ，则 ，，，．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求参数的值巩固3如果方程 是表示关于 的一元一次方程，那么 的取值是 ．答案解析 是关于 的一元一次方程，∴ ，∴ ，∴ ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的定义求参数的值巩固4解方程：（1） ．（2） ．答案 （1） ．（2） ．解析 （1） 略．（2） 略．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：常规一元一次方程解法巩固5解方程： ，把分母化为整数，得（ ）．A. B.C. D.答案 B解析 根据分数基本性质，等号右边的 不变，可得 ．故选 ．标注 【题型】 式 > 分式 > 分式的基础 > 题型：分式基本性质的运用巩固6已知关于 的方程 的解为 ，求：的值．答案解析 方程 的解为 ，则有 ，求得 ，．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解为定值问题巩固7解方程：（1） ．（2） ．（3） ．答案 （1） ．（2） 若 ， ；若 ，原方程的解为任意实数．（3） ．解析 （1）．（2）若 ， ；若 ，原方程的解为任意实数．（3） ∵ ， ， ， ， ，∴，∴ ，∴ ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况巩固8解方程：（1） ．（2） ．答案 （1） 或 ．（2） ．解析 （1） 略．（2） 由 ，得 或 ，所以 或 ．经检验知 方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为．故答案为： ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：含绝对值的一元一次方程巩固9解方程： ．答案 或 ．解析 依题意得： 和 相等或互为相反数，即 或 ，解得 或 ．标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：含绝对值的一元一次方程第12讲 一元一次方程进阶一、一元一次方程定义及方程的解知识导航1.方程的定义方程的定义：含有未知数的等式叫方程．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．2.方程的解（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．（2）规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．3.等式的性质（1）等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．4.一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1.经典例题例题11 下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； ⑥；⑦ ；⑧ ；⑨ ．其中是方程的是 ，一元一次方程的是 ．2 已知 是关于 的一元一次方程，则 ， ，.3 已知关于 的方程 的解是 ，其中 且 ，求代数式 的值．例题2解下列一元一次方程：（1） ．（2） ．二、技巧方程知识导航对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中 的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴整体法；⑵进行拆项和添项，从而化简原方程；⑶对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项．【注意】此类很多题目的核心是将方程转换成了 的形式，若 ，则经典例题例题3解方程：（1） ．（2） ．（3） ．例题41 解方程：2 .三、绝对值方程知识导航a形如 方程的解法 示例剖析当a<0时，方程无解；当a=0时，方程的解为x=0; 解关于 的方程 .当a＞0时，方程有两个解，x=a或x=-a. 解：①当 时，方程无解；②当 时， .③ 当 ， 或即 或.经典例题例题5解方程：（1） ．（2） ．例题6．四、学霸笔记五、数学万花筒方程的解的历史人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法．关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述．到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法．在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式卡当公式．在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里．所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式．三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出．这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法．遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决．到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解．既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来．阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题．后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了．伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁．六、巩固加油站巩固1① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（ ）个．A. B. C. D.巩固2小强在解方程 时，不小心把一个数字用墨水污染成了 ，他翻阅了答案知道这个方程的解为 ，于是他判断 应该是 ．巩固3如果方程 是表示关于 的一元一次方程，那么 的取值是 ．巩固4解方程：（1） ．（2） ．巩固5解方程： ，把分母化为整数，得（ ）．A. B.C. D.巩固6已知关于 的方程 的解为 ，求：的值．巩固7解方程：（1） ．（2） ．（3） ．巩固8解方程：（1） ．（2） ．巩固9解方程： ． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第12讲 一元一次方程进阶(学生版).pdf 第12讲 一元一次方程进阶(教师版).pdf
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