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第13讲 含字母系数的一元一次方程
一、含字母系数的一元一次方程
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定义 示例剖析
关于 的方程
当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的
其中 就称为字母系数，这个方
方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为 的形式.
程就称为字母系数的方程.
的解法 示例剖析
①当 时，方程有唯一解 ． 解关于 的方程 .
②当 且 时，方程有无数个解，解是任意数． 解 ： ① 当
③当 且 时，方程无解． 时，方程无解；
②当 时， .
经典例题
例题1
1 解关于 的方程 ．
2 解关于 的方程：
例题2
1 若关于 的方程 没有解，则 的值为 ．
2 若关于 的方程 有无数解，则 的值是 ．
3 若关于 的方程 有唯一解，则题中的字母系数应满足的条件是 ．
例题3
若 、 为定值，关于 的一元一次方程 ，无论 为何值时，它的解总是
，求 的值．
二、整数解问题
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关于方程的整数解问题，本质为分离常数的问题，做题中，基本步骤如下：
①求出方程的解；
②将解写成形如 的形式，其中 为字母系数， 为常数;
③求出字母系数 的值.
【注意】在做题过程中一定要注意题目条件，方程的解是整数，正整数还是负整数，以免出错.
经典例题
例题4
关于 的方程 是一元一次方程．
（1） 则 ， 应满足的条件为： ， ．
（2） 若此方程的解为整数，求整数 的值．
例题5
1 已知关于 的方程 的解为整数，求符合条件的所有整数 的和．
2 若 为整数，求使得关于 的方程 的解是负整数的 值．
例题6
1 如果关于 的方程 与方程 的解相同，那么 （ ）．
A. B. C. D.
2 若 和 是关于 的同解方程，求 的值．
3 关于 的一元一次方程 的解是 解的 倍，则 的值为 ．
4 已知： 与 都是关于 的一元一次方程，且它们的解互为
相反数，求关于 的方程 的解．
三、学霸笔记
四、数学万花筒
皮斯阿司与达蒙
公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻人触犯了国王。皮斯阿司被判绞刑，在某
个法定的日子要被处死。皮斯阿司是个孝子，在临死之前，他希望能与远在百里之外的母亲见最
后一面，以表达他对母亲的歉意，因为他不能为母亲养老送终了。他的这一要求被告知了国王。
国王感其诚孝，决定让皮斯阿司回家与母亲相见，但条件是皮斯阿司必须找一个人来替他坐牢，
否则他的一愿望只能是镜中花水中月。
这是一个看似简单其实近乎不可能实现的条件。有谁肯冒着被杀头的危险替别人坐牢，这岂不是
自寻死路。但，茫茫人海，没有人不怕死，而且真的替别人坐牢，他就是皮斯阿司的朋友达蒙。
达蒙住进牢房以后，皮斯阿司回家与母亲诀别。人们都静静地看着事态的发展。日子如水，皮斯
阿司一去不回头。眼看刑期在即，皮斯阿司也没有回来的迹象。人们一时间议论纷纷，都说达蒙
上了皮斯阿司的当。行刑日是个雨天，当达蒙被押赴刑场之时，围观的人都在笑他的愚蠢，那真
叫愚不可及，幸灾乐祸的人大有人在。但刑车上的达蒙，不但面无惧色，反而有一种慷慨赴死的
豪情。追魂炮被点燃了，绞索也已经挂在达蒙的脖子上。
但是，就在这千钧一发之际，在淋漓的风雨中，皮斯阿司飞奔而来，他高喊着：“我回来了！我回
来了！”这真是人世间最最感人的一幕，大多数人都以为自己在梦中，但事实不容怀疑。这个消息
宛如长了翅膀，很快便传到了国王的耳中。国王闻听此言，也以为这是痴人说梦。国王亲自赶到
刑场，他要亲眼看一看自己优秀的子民。最终，国王万分喜悦地为皮斯阿司松了绑，并亲口赦免
了他的罪。
五、巩固加油站
巩固1
已知关于 的方程 有无数多个解，那么 ， ．
巩固2
如果不论 为何值， 总是关于 的方程 的解，则 ，
．
巩固3
若方程 与方程 的解相同，则 的值为 ．
巩固4
关于 的方程 的解为正整数，求整数 的值．
巩固5
若关于 的方程 的解为负整数，求整数 的值．
巩固6
若关于 的方程 与方程 的解相同，则 ．
巩固7
若方程 与关于 的方程 的解互为倒数，求 的值．第13讲 含字母系数的一元一次方程
一、含字母系数的一元一次方程
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定义 示例剖析
关于 的方程
当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的
其中 就称为字母系数，这个方
方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为 的形式.
程就称为字母系数的方程.
的解法 示例剖析
①当 时，方程有唯一解 ． 解关于 的方程 .
②当 且 时，方程有无数个解，解是任意数． 解 ： ① 当
③当 且 时，方程无解． 时，方程无解；
②当 时， .
经典例题
例题1
1 解关于 的方程 ．
答案 （方程可以转化为 ，
（ ）当 ， 为任意值时， ，方程有唯一解；
（ ）当 ， ，方程有无数解；
（ ）当 ， 时，无解．
解析 （方程可以转化为 ，
（ ）当 ， 为任意值时， ，方程有唯一解；
（ ）当 ， ，方程有无数解；
（ ）当 ， 时，无解．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
2 解关于 的方程：
答案 当 时， ，所以此方程无解；
当 时，
解析 ， ， ，
当 时， ，所以此方程无解；
当 时， ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
例题2
1 若关于 的方程 没有解，则 的值为 ．
答案
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
2 若关于 的方程 有无数解，则 的值是 ．
答案
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求
参数的值
3 若关于 的方程 有唯一解，则题中的字母系数应满足的条件是 ．
答案
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
例题3
若 、 为定值，关于 的一元一次方程 ，无论 为何值时，它的解总是
，求 的值．
答案 ．
解析 方程 可化为： ，由该方程总有解 可
知， ，即 ，又 为任意值，故 ，
．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解为定值问题
二、整数解问题
知识导航
关于方程的整数解问题，本质为分离常数的问题，做题中，基本步骤如下：
①求出方程的解；
②将解写成形如 的形式，其中 为字母系数， 为常数;
③求出字母系数 的值.
【注意】在做题过程中一定要注意题目条件，方程的解是整数，正整数还是负整数，以免出错.
经典例题
例题4
关于 的方程 是一元一次方程．
（1） 则 ， 应满足的条件为： ， ．
（2） 若此方程的解为整数，求整数 的值．
答案 （1） 1:
2:
（2） 、 、 、 .
解析 （1） 略．
（2） 由（ ）可知方程为 ，
则 ，
∵此方程的解为整数，
∴ 为整数，
又∵ 为整数，
则 ， ， ， ．
∴ ， ， ， ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：一元一次方程的整数解问
题
例题5
1 已知关于 的方程 的解为整数，求符合条件的所有整数 的和．
答案 ．
解析 ， ， ， ， ， ， ， ，和为
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：一元一次方程的整数解问
题
2 若 为整数，求使得关于 的方程 的解是负整数的 值．
答案 ， ， ， ．
解析 ， ， ， ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：含参整数解
例题6
1 如果关于 的方程 与方程 的解相同，那么 （ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 方程 的解为 ，
∵方程 与方程 的解相同，
∴方程 的解为 ，
当 时， ，
解得 ，
故选： ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求
参数的值
2 若 和 是关于 的同解方程，求 的值．
答案 ．
解析 法一：方程 的解为 ，方程 的解为 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
法二：方程 等号两边乘以 得 ，故 ，则
．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求
参数的值
3 关于 的一元一次方程 的解是 解的 倍，则 的值为 ．
答案
解析 解 ，
得 ，
则 ，
，
．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求
参数的值
4 已知： 与 都是关于 的一元一次方程，且它们的解互为
相反数，求关于 的方程 的解．
答案 或 ．
解析 由题意可知， ，故题中的两个方程变为 和 ，由上
述两个方程的解互为相反数可知， ，故方程 变为
，从而可知， 或 ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的定义
求参数的值
三、学霸笔记
四、数学万花筒
皮斯阿司与达蒙
公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻人触犯了国王。皮斯阿司被判绞刑，在某
个法定的日子要被处死。皮斯阿司是个孝子，在临死之前，他希望能与远在百里之外的母亲见最
后一面，以表达他对母亲的歉意，因为他不能为母亲养老送终了。他的这一要求被告知了国王。
国王感其诚孝，决定让皮斯阿司回家与母亲相见，但条件是皮斯阿司必须找一个人来替他坐牢，
否则他的一愿望只能是镜中花水中月。
这是一个看似简单其实近乎不可能实现的条件。有谁肯冒着被杀头的危险替别人坐牢，这岂不是
自寻死路。但，茫茫人海，没有人不怕死，而且真的替别人坐牢，他就是皮斯阿司的朋友达蒙。
达蒙住进牢房以后，皮斯阿司回家与母亲诀别。人们都静静地看着事态的发展。日子如水，皮斯
阿司一去不回头。眼看刑期在即，皮斯阿司也没有回来的迹象。人们一时间议论纷纷，都说达蒙
上了皮斯阿司的当。行刑日是个雨天，当达蒙被押赴刑场之时，围观的人都在笑他的愚蠢，那真
叫愚不可及，幸灾乐祸的人大有人在。但刑车上的达蒙，不但面无惧色，反而有一种慷慨赴死的
豪情。追魂炮被点燃了，绞索也已经挂在达蒙的脖子上。
但是，就在这千钧一发之际，在淋漓的风雨中，皮斯阿司飞奔而来，他高喊着：“我回来了！我回
来了！”这真是人世间最最感人的一幕，大多数人都以为自己在梦中，但事实不容怀疑。这个消息
宛如长了翅膀，很快便传到了国王的耳中。国王闻听此言，也以为这是痴人说梦。国王亲自赶到
刑场，他要亲眼看一看自己优秀的子民。最终，国王万分喜悦地为皮斯阿司松了绑，并亲口赦免
了他的罪。
五、巩固加油站
巩固1
已知关于 的方程 有无数多个解，那么 ， ．
答案 1:
2:
解析 即 ，故 且 ，即 ，
．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求
参数的值
巩固2
如果不论 为何值， 总是关于 的方程 的解，则 ，
．
答案 1:
2:
解析 原方程整理为以 为未知数的方程 ．
对于任何实数 的方程有 ，
所以有 ，求得 ， ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解为定值问题
巩固3
若方程 与方程 的解相同，则 的值为 ．
答案
解析 根据题意， 的解为 ，
将其代入另一方程得，
∴ ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：方程解的关系
巩固4
关于 的方程 的解为正整数，求整数 的值．
答案 或
解析 ， 为正整数，即 是 的因数，即 或 .
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：含参整数解
巩固5
若关于 的方程 的解为负整数，求整数 的值．
答案 或 ．
解析 可以转化为 ，
即： ，
又∵ 为负整数， 为整数，
∴ 为 的负因数，即为 或 ，
∴ 或 ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：含参整数解
巩固6
若关于 的方程 与方程 的解相同，则 ．
答案
备选答案:
解析 由 得， ．由 得， ．
∴ ，解得
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求
参数的值
巩固7
若方程 与关于 的方程 的解互为倒数，求 的值．
答案
解析 由方程 可知， ，
故方程 的解为 ，代入可知 ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：方程解的关系

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