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第14讲 方程中的设元
一、行程问题
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能分析行程问题中已知数与未知数之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系：
，列出一元一次方程解应用题.
常考的有两种题型，追及问题和相遇问题.
追及问题：双方行程的差=原来的路程（开始时双方相距的路程）
相遇问题：双方所走路程之和=全部路程
经典例题
例题1
1 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行，若快车甲 的速度为 ，慢车乙的速度比
快车甲慢 ， 、 两地相距 ，求两车出发到相遇所行时间．如果设 后两车相遇，则
根据题意列出方程（ ）
A. B.
C. D.
2 、 两地相距 千米，甲 、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行 已知甲车速度为 千
米/时，乙车速度为 千米/时，经过 小时两车相距 千米，则 的值是（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3 如图，甲乙两人沿着边长为 的正方形，按 的方向行走．甲从 点以
米/分的速度行走，与此同时乙从 点以 米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，用了多长时
间，在什么位置追上甲．
甲
乙
二、经济利润问题
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经济利润问题相关知识点：
⑴打折销售问题中几个基本量及其之间的关系：销售问题中的基本量有，进价 元，售价 元，利
润 元，利润率 ，这些量之间的关系为： ， ， 等，这是解决此类问题的基
础． ⑵商品打 折，是按指定价的 销售，而不是把定价减少 销售，另要注意，打 折后用
参与计算，而不是用 参与计算．
⑶辅助设元：有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需要把
这些未知的常量设成未知数，作为桥梁帮助分析.
经典例题
例题2
1 某品牌商品，按标价八折出售，仍可获得 的利润，若该商品标价 元，则商品的进价为（
）．
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2 某件商品，若按标价的八折出售，可获利 ，若按原价出售，则可获利（ ）．
A. B. C. D.
3
在我们身边有一些股民，在每一次的股票交易中或盈利或亏损，某股民将甲，乙两种股票卖出，
甲种股票卖出 元，盈利 ，乙种股票卖出 元，但亏损 ，该股民在这次交易中是（
）．
A. 盈利 元 B. 亏损 元 C. 不赔不赚 D. 亏损 元
4 已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为 %，每件乙种商品的利润率为
．当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多 %时，这个商人得到的总利润率为
%．那么，当每件甲种商品的进价为 元，求每件乙种商品的进价为多少元？提示：商品利润
率 （商品出售价－商品成本价） 商品成本价
三、图形问题
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观察图形找到等量关系，列出方程，进行求解．
经典例题
例题3
如图所示，一个长方形被分割为 个大小不同的正方形，其中最小的正方形边长为 ．这个长方
形的长比宽多 ．
例题4
用正方形硬纸板做三棱柱盒子，如图，每个盒子由 个长方形侧面和 个三边均相等的三角形底面
组成，硬纸板以如图 两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），现有 张硬纸板，裁剪时 张用
了 方法，其余用 方法．
方法 方法
图 图
（1） 用含 的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数．
（2） 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
四、方案选择问题
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对于方案选择问题，通常根据具体情况，列出方程，进行求解，最后进行最优方案的选择．
经典例题
例题5
为发展校园足球运动，雅礼实验中学决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙商场以
同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多 元，两套队服与三个
足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案
是：若购买队服超过 套，则购买足球打八折．
（1） 求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2） 若购买 套队服和 个足球（ ），请用含 的式子分别表示出到甲商场和乙商场买
装备所花的费用．
（3） 在（ ）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
例题6
今年某网上购物商城在“双 购物节”期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过 元不给优惠：②购物超过 元但不超过 元的，全部打 折；③购物超过 元
的，其中 元部分打 折，超过 元部分打 折．
（1） 小丽第 次购得商品的总价（标价和）为 元，按活动规定实际付多少元？
（2） 小丽第 次购物花费 元，与没有促销相比，第 次购物节约了多少钱？（请利用一元一
次方程解答）
（3） 若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
例题7
剃须刀由刀片和刀架组成，某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式
剃须刀（刀片可更换）．有关销售策略与售价等信息如下表所示：
新式剃须刀
老式剃须刀
刀架 刀片
售价 2.5（元／把） 1（元／把） 0.55（元／片）
成本 2（元／把） 5（元／把） 0.05（元／片）
某段时间内，甲厂家销售了 把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的 倍，乙厂家获
得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？
五、学霸笔记
六、数学万花筒
方程发展简史
公元前1700年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载：一个量，加上它的 ，等于19，求这
个量．另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形
分为两个小正方形，一个边长是另一个的 ．古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为
倒数，二者之差是7，求这两个数”．
欧几里得几何《原本》中则有很多问题还要用到解二次方程．
中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题．“今有上禾三秉，中
禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中
禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”《九章算术》没有表示未知
数的符号，而是用算筹将zyx,,的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的
来源．
希腊数学家丢番图《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不
定方程．印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法．婆罗摩笈多
在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式．
花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的．该
书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述．
13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献．1247年，秦九昭给出
了一般高次方程的数值解法．李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303
年）能够求解一大类的高次联立方程．
16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式．1515年，费罗用代数方法求
解三次方程 ．1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如
的三次方程代数解法．1545年，卡尔丹在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法．三次
方程 (p,q>0)的解法，实质是考虑恒等式 若选取a,b，使
得 不难解出
于是得到a-b所求的x，后人称之为卡尔丹公式．
人们开始讨论一般的五次方程的解法．欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终．19世纪
鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出．
七、巩固加油站
巩固1
甲乙两人同时从相距 千米的 地去 地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲到达
地停留了 分钟，然后从 地返回 地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好 小时，甲的
速度是 千米/小时，乙的速度是 千米/小时．
巩固2
对某种商品优惠，按原价的 折出售，此时商品的利润率是 ，此商品的进价为 元，商品的
原价是 元．
巩固3
国美电器中某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 元，其
利润率为 ．现如果按同一标价打九折销售该电器一件．那么获得的纯利润为（ ）．
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
巩固4
某种商品的进价是每件 元，标价是每件 元．
（1） 商店要求以利润不低于 的售价打折出售，售货员最低可以打几折售出此商品？
（2） 为了在十一黄金周获取更多利润，老板决定写上“大酬宾， 折优惠”进行广告促销，为了
使利润仍不低于 ，最低需多少元标价？
巩固5
在矩形 中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽 ，
若 （ ），依题意可得方程（ ）．
A. B.
C. D.
巩固6
新年快到了，贫困山区的孩子想给资助他们的王老师写封信，折叠长方形信纸装入标准信封时发
现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有 ．若将信纸如图②
三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰 ，试求信纸的纸长和信封的口宽．
宽约
图
宽约
图
巩固7
为开展阳光体育活动，某班需要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现了解情况如下：甲、乙两家商店
出售同样品牌的羽毛球拍和羽毛球．羽毛球拍每副定价 元，羽毛球每盒定价 元，且两家都有
优惠：甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球；乙店全部按定价的 折优惠．
（1） 若该班需购买羽毛球拍 副，购买羽毛球 盒（不小于 盒），当购买多少盒羽毛球时，在
两家商店购买所花的钱相等？
（2） 若需购买 副羽毛球拍， 盒羽毛球，怎样购买更省钱？
巩固8
年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共 人，
其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够 人．经了解，该风景区的门票价格如下
表：
数量（张） 张及以上
单价（元/张） 元 元 元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付 元．
（1） 如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2） 甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3） 如果甲单位有 名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比
较，你该如何购买门票才能最省钱？第14讲 方程中的设元
一、行程问题
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能分析行程问题中已知数与未知数之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系：
，列出一元一次方程解应用题.
常考的有两种题型，追及问题和相遇问题.
追及问题：双方行程的差=原来的路程（开始时双方相距的路程）
相遇问题：双方所走路程之和=全部路程
经典例题
例题1
1 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行，若快车甲 的速度为 ，慢车乙的速度比
快车甲慢 ， 、 两地相距 ，求两车出发到相遇所行时间．如果设 后两车相遇，则
根据题意列出方程（ ）
A. B.
C. D.
答案 C
解析 此题无解析
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：行程——相遇问
题
2 、 两地相距 千米，甲 、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行 已知甲车速度为 千
米/时，乙车速度为 千米/时，经过 小时两车相距 千米，则 的值是（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案 C
解析
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：行程——相遇问
题
3 如图，甲乙两人沿着边长为 的正方形，按 的方向行走．甲从 点以
米/分的速度行走，与此同时乙从 点以 米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，用了多长时
间，在什么位置追上甲．
甲
乙
答案 用了 ，在 处追上甲．
解析 方法一：设乙第一次追上甲用了 分钟，
由题意得： ，解得： ．
，
，则在 处追上甲．
答：用了 ，在 处追上甲．
方法二：设乙第一次追上甲用了 分钟，
由题意得： ，解得： ．
∵ ，乙走了 圈，则在 处追上甲．
答：用了 ，在 处追上甲．
标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：行程——追及问
题
二、经济利润问题
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经济利润问题相关知识点：
⑴打折销售问题中几个基本量及其之间的关系：销售问题中的基本量有，进价 元，售价 元，利
润 元，利润率 ，这些量之间的关系为： ， ， 等，这是解决此类问题的基
础． ⑵商品打 折，是按指定价的 销售，而不是把定价减少 销售，另要注意，打 折后用
参与计算，而不是用 参与计算．
⑶辅助设元：有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需要把
这些未知的常量设成未知数，作为桥梁帮助分析.
经典例题
例题2
1 某品牌商品，按标价八折出售，仍可获得 的利润，若该商品标价 元，则商品的进价为（
）．
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
答案 B
解析 设商品进价为 元，则
故商品进价为 元．
故选 .
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--打折
2 某件商品，若按标价的八折出售，可获利 ，若按原价出售，则可获利（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 略．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--利润
3 在我们身边有一些股民，在每一次的股票交易中或盈利或亏损，某股民将甲，乙两种股票卖出，
甲种股票卖出 元，盈利 ，乙种股票卖出 元，但亏损 ，该股民在这次交易中是（
）．
A. 盈利 元 B. 亏损 元 C. 不赔不赚 D. 亏损 元
答案 B
解析 设甲种股票、乙种股票买进价分别是 元， 元．
根据题意得： ，
∴ ，
，
∴ ，
（元）．
故选 ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--利润
4 已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为 %，每件乙种商品的利润率为
．当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多 %时，这个商人得到的总利润率为
%．那么，当每件甲种商品的进价为 元，求每件乙种商品的进价为多少元？提示：商品利润
率 （商品出售价－商品成本价） 商品成本价
答案 每件乙种商品的进价为 元．
解析 设每件乙种商品的进价为 元，再设甲种商品售出 件，则乙售出 件，
依题意可得 ，
解得 ．
答：每件乙种商品的进价为 元．
标注 【题型】 方程与不等式 > 分式方程 > 分式方程与实际问题 > 题型：分式方程经济问题
三、图形问题
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观察图形找到等量关系，列出方程，进行求解．
经典例题
例题3
如图所示，一个长方形被分割为 个大小不同的正方形，其中最小的正方形边长为 ．这个长方
形的长比宽多 ．
答案
解析
设（ ）边长为 ，
则（ ）为 ，
( )为 ，
依次类推( )为 ，
( )为 ，
( )为 ，
( )为 ，
可列方程 ，
解得 ．
∴矩形一边长 ，
相邻边长为 ,
∴长方形长为 ，宽为 ．
∴ ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：一元一次方程几
何问题
例题4
用正方形硬纸板做三棱柱盒子，如图，每个盒子由 个长方形侧面和 个三边均相等的三角形底面
组成，硬纸板以如图 两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），现有 张硬纸板，裁剪时 张用
了 方法，其余用 方法．
方法 方法
图 图
（1） 用含 的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数．
（2） 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
答案 （1） 侧面的个数为： 个，底面的个数为： 个．
（2） 裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做 个盒子．
解析 （1） ∵裁剪时 张用了 方法，∴裁剪时 张用了 方法．
∴侧面的个数为： 个，底面的个数为：
个；
故答案为：侧面的个数为： 个，底面的个数为： 个．
（2） 由题意，得 ，解得： ，
则盒子的个数为： ．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做 个盒子．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：一元一次方程其
他实际问题
四、方案选择问题
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对于方案选择问题，通常根据具体情况，列出方程，进行求解，最后进行最优方案的选择．
经典例题
例题5
为发展校园足球运动，雅礼实验中学决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙商场以
同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多 元，两套队服与三个
足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案
是：若购买队服超过 套，则购买足球打八折．
（1） 求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2） 若购买 套队服和 个足球（ ），请用含 的式子分别表示出到甲商场和乙商场买
装备所花的费用．
（3） 在（ ）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
答案 （1） 每套队服 元，每个足球 元．
（2） 到甲商场购买所花的费用为： （元），
到乙商场购买所花的费用为： （元）．
（3） 等于 个时，两家一样合算；
多于 个时，乙商场合算；
少于 个时，甲商场合算．
解析 （1） 设每个足球的定价是 元，则每套队服是 元，根据题意得
，
解得 ，
．
故答案为：每套队服 元，每个足球 元．
（2） 到甲商场购买所花的费用为： （元），
到乙商场购买所花的费用为： （元）．
故答案为：到甲商场购买所花的费用为： （元），
到乙商场购买所花的费用为： （元）．
（3） 当在两家商场购买一样合算时， ，
解得 ．
所以购买的足球数等于 个时，则在两家商场购买一样合算；
购买的足球数多于 个时，则到乙商场购买合算；
购买的足球数少于 个时，则到甲商场购买合算．
故答案为：等于 个时，两家一样合算；
多于 个时，乙商场合算；
少于 个时，甲商场合算．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：一元一次方程方
案选择问题
例题6
今年某网上购物商城在“双 购物节”期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过 元不给优惠：②购物超过 元但不超过 元的，全部打 折；③购物超过 元
的，其中 元部分打 折，超过 元部分打 折．
（1） 小丽第 次购得商品的总价（标价和）为 元，按活动规定实际付多少元？
（2） 小丽第 次购物花费 元，与没有促销相比，第 次购物节约了多少钱？（请利用一元一
次方程解答）
（3） 若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
答案 （1） 元．
（2） 元．
（3） 小丽将这两次购得的商品合为一次购买更省钱．
解析 （1） （元）．
（2） 假设小丽购物刚好满 元，则应付 元 元，
∴小丽消费大于 元，
设小丽购物 元，则她实际支付 ，
解得 ，
∴小丽购物 元，节约了 （元）．
（3） 若小丽将两次购得商品合为一次购买，
则花费： （元），
分开购买花费为 （元）， ，
∴小丽将这两次购得的商品合为一次购买更省钱．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--打折
例题7
剃须刀由刀片和刀架组成，某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式
剃须刀（刀片可更换）．有关销售策略与售价等信息如下表所示：
新式剃须刀
老式剃须刀
刀架 刀片
售价 2.5（元／把） 1（元／把） 0.55（元／片）
成本 2（元／把） 5（元／把） 0.05（元／片）
某段时间内，甲厂家销售了 把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的 倍，乙厂家获
得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？
答案 把刀架， 片刀片
解析 设乙厂家销售了 把刀架，则销售的刀片数量为 ，由题意可得
，解得 ，故销售了 把刀架，
片刀片
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--其它
五、学霸笔记
六、数学万花筒
方程发展简史
公元前1700年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载：一个量，加上它的 ，等于19，求这
个量．另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形
分为两个小正方形，一个边长是另一个的 ．古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为
倒数，二者之差是7，求这两个数”．
欧几里得几何《原本》中则有很多问题还要用到解二次方程．
中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题．“今有上禾三秉，中
禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中
禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”《九章算术》没有表示未知
数的符号，而是用算筹将zyx,,的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的
来源．
希腊数学家丢番图《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不
定方程．印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法．婆罗摩笈多
在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式．
花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的．该
书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述．
13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献．1247年，秦九昭给出
了一般高次方程的数值解法．李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303
年）能够求解一大类的高次联立方程．
16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式．1515年，费罗用代数方法求
解三次方程 ．1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如
的三次方程代数解法．1545年，卡尔丹在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法．三次
方程 (p,q>0)的解法，实质是考虑恒等式 若选取a,b，使
得 不难解出
于是得到a-b所求的x，后人称之为卡尔丹公式．
人们开始讨论一般的五次方程的解法．欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终．19世纪
鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出．
七、巩固加油站
巩固1
甲乙两人同时从相距 千米的 地去 地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲到达
地停留了 分钟，然后从 地返回 地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好 小时，甲的
速度是 千米/小时，乙的速度是 千米/小时．
答案 1:
2:
解析 设乙的速度为 千米/小时，则甲的速度为 千米/小时．
由题可得
，
，
，
解得 ．
．
则甲的速度为 千米/小时，乙的速度为 千米/小时．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：行程——相遇问
题
巩固2
对某种商品优惠，按原价的 折出售，此时商品的利润率是 ，此商品的进价为 元，商品的
原价是 元．
答案
解析 设商品的原价是 ，则商品的售价为 ，
由题意得，
解得，
答：商品的原价是 元．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--利润
巩固3
国美电器中某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 元，其
利润率为 ．现如果按同一标价打九折销售该电器一件．那么获得的纯利润为（ ）．
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
答案 D
解析 设该电器的标价为 ，
则售价为 ，成本为 ，可得 ，
解得 ，
则打九折销售获得利润为 （元）．
标注 【题型】 方程与不等式 > 分式方程 > 分式方程与实际问题 > 题型：分式方程经济问题
巩固4
某种商品的进价是每件 元，标价是每件 元．
（1） 商店要求以利润不低于 的售价打折出售，售货员最低可以打几折售出此商品？
（2） 为了在十一黄金周获取更多利润，老板决定写上“大酬宾， 折优惠”进行广告促销，为了
使利润仍不低于 ，最低需多少元标价？
答案 （1） 最低打 折出售此商品．
（2） 最低需 元标价．
解析 （1） 方法一：设售货员最低可以打 折售出此商品．
答：售货员最低可以打 折售出此商品．
方法二：设打 折出售此商品，
则： ．
∴ ，故最低打 折出售此商品．
（2） 设最低需 元标价．
答：最低需 元标价．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--利润
巩固5
在矩形 中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽 ，
若 （ ），依题意可得方程（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设 为 ，则 为 ，
根据题意得出：∵ ，
∴ ，
即
故选： ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：一元一次方程几
何问题
巩固6
新年快到了，贫困山区的孩子想给资助他们的王老师写封信，折叠长方形信纸装入标准信封时发
现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有 ．若将信纸如图②
三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰 ，试求信纸的纸长和信封的口宽．
宽约
图
宽约
图
答案 信纸的纸长为 ，信封的口宽为 ．
解析 设信纸的纸长为 ，则信封的口宽为 ．
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ， ．
答：信纸的纸长为 ，信封的口宽为 ．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：一元一次方程几
何问题
巩固7
为开展阳光体育活动，某班需要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现了解情况如下：甲、乙两家商店
出售同样品牌的羽毛球拍和羽毛球．羽毛球拍每副定价 元，羽毛球每盒定价 元，且两家都有
优惠：甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球；乙店全部按定价的 折优惠．
（1） 若该班需购买羽毛球拍 副，购买羽毛球 盒（不小于 盒），当购买多少盒羽毛球时，在
两家商店购买所花的钱相等？
（2） 若需购买 副羽毛球拍， 盒羽毛球，怎样购买更省钱？
答案 （1） ．
（2） 甲方案更省钱．
解析 （1） 设购买 盒相等，
甲付款 ，
乙付款 ，
∴
．
答：当购买 盒羽毛球时，在两家商店购买所花的钱相等．
（2） 甲方案： （元），
乙方案： （元），
∵甲 乙，
∴甲方案更省钱．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：经济--其它
巩固8
年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共 人，
其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够 人．经了解，该风景区的门票价格如下
表：
数量（张） 张及以上
单价（元/张） 元 元 元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付 元．
（1） 如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2） 甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3） 如果甲单位有 名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比
较，你该如何购买门票才能最省钱？
答案 （1） （元）．
（2） 甲单位有 人，乙单位有 人．
（3） 甲乙两单位联合起来选择按 元一次购买 张门票最省钱．
解析 （1） 如果甲、乙两单位联合起来购买门票需 （元），
则比各自购买门票共可以节省： （元）．
（2） 设甲单位有退休职工 人，则乙单位有退休职工 人．
依题意得： ，
解得： ．
则乙单位人数为： ．
答：甲单位有 人，乙单位有 人．
（3） 方案一：各自购买门票需 （元）．
方案二：联合购买门票需 （元）．
方案三：联合购买 张门票需 （元）．
综上所述：因为 ．
故应该甲乙两单位联合起来选择按 元一次购买 张门票最省钱．
标注 【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程与实际问题 > 题型：一元一次方程方
案选择问题

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