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第15讲 幂的运算
一、幂的运算
知识导航
1. 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ( , 都是正整数）．
易错警示
①同底数幂的乘法法则可以逆用，即
( , 为正整数）.
②当幂指数是 时，不要误认为没有指数，如 ，而不是 ．
③三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用．如： ( , , 都是正
整数）.
④ 要 注 意 同 底 数 幂 的 乘 法 与 整 式 加 法 不 可 混 淆 ， 如 是 同 底 数 幂 的 乘 法 ，
. 而 是 整 式 的 加 法 ， 计 算 时 ， 只 能 合 并 同 类 项 ，
，其中 和 不是同类项，不能合并．
2. 幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （ 都是正整数）．
温馨提示
①幂的乘方中底数可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式．
②幂的乘方可以逆用，即 ， ( , 为正整数）.
③幂的乘方可以推广 ( , , 为正整数）.
3. 积的乘方
法则 字母表示 举例
积的乘方 积的乘方，等于把积 （ 为 正 整
的每一个因式分别 数）
乘方，再把所得的幂
相乘
温馨提示 ①积的乘方可逆用，即 ( 为正整数）.
②积的乘方可推广到多个因式．如 ( 为正整数）.
③运用积的乘方法则时，应先看积中有哪些因式，再把每一个因式分别乘方，
尤其是字母的系数，不要漏掉乘方
4. 同底数幂的除法
法则 字母表示 举例
同底数幂的除法 同底数幂相除，底数 （
不变，指数相减 ， , 都是正整
数，并且 ）
温馨提示 ①同底数幂的除法可逆用，即 ( , , 都是正整
数，并且 ).
②底数 可以是单独的一个数或一个字母，也可以是一个单项式或
多项式，但 .
③同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算，可类比同底数幂
的乘法学习同底数幂的除法，同时还可用同底数幕的乘法运算检验
同底数幂的除法运算是否正确．
5. 零指数幂
零指数幂的规定
1.计算： .
一方面：根据除法的意义，可知 ;
另一方面：依照同底数幂的除法，可得 .
2.规定： (a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于 .
温馨提示
① (a≠0)，这是对零指数幂意义的规定，不能把 理解成 个 相乘．
②正整数指数幂的运算法则对于零指数幂也同样适用，如 ，
, ( ）等．
③ 次幂的底数不能为 ，因为同底数幂的除法法则 的前提条件是 , , 为正整
数，且 。
6. 负整数指数幂
1.定义：任何不等于零的数的 ( 为正整数）次幂，等于这个数的 次幂的倒数，即 （
, 为正整数）.
⒉解读
(1) 是由 在 , 时转化而来的．也就是说当同底数幂相除时，若
被除式的指数小于除式的指数，则转化成负指数幂的形式．
(2) 的结果为 的倒数，也就是说一个不为零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒
数，也可以等于这个数的倒数的正整数次幂，即 ( , 为正整数）.
注意事项
① 中底数 不等于零，否则无意义
②当指数由正整数拓展到 与负整数时，正整数指数幂的法则及性质仍然成立．
③在有关幂的运算中，最终结果要求化成正整数指数幂的形式
经典例题
例题1
1 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
2 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
3 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
4 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
例题2
计算：
（1） ．
（2） ．
例题3
计算：
（1） ① ；
② ．
（2） ① ；
② ；
③ ；
④ ．
二、幂的应用
知识导航
1. 利用幂的运算法则比较大小的方法
所给幂的指数、底数均不相同，可利用幂的乘方化为同指数的幂，根据底数的大小关系确定原
来幂的大小关系，或利用幂的乘方化为同底数的幂，然后根据指数的大小比较幂的大小
经典例题
例题4
指数含字母的幂的运算：
（1） 如果 ，则 ．
（2） 已知 ，则 的值为 ．
（3） 如果 无意义， ，则 ．
例题5
幂的运算逆用：
（1） 已知 ， ，求：
1 ．
2 ．
3 ．
（2） 已知 ，求 ．
（3） 已知 ， ，求 的值．
例题6
1 比较 ， ， ， 的大小关系，并用“ ”号连接 ．
2 已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
三、学霸笔记
四、数学万花筒
数学史上最无解的局
分马的故事：从前，有一个老汉，临死前对三个儿子："我不行了。咱们家只有十七匹马，我死
后，老大分二分之一，老二分三分之一，老三分九分之一，但都必须分得活马。"老汉死了。兄弟
三人安葬了父亲，便来到马圈，按老人的遗嘱分马，怎么分也分不开，兄弟三个一筹莫展，谁也
没有办法。
正在这时，一个邻居骑马路过这里，看到他们愁眉苦脸的样子，便上前问道："兄弟仨这般发愁，
为了何事？"三兄弟把父亲的临终嘱咐和分马的难处告诉了他。这个邻居略一沉思，就想出了一个
分马的好办法。
邻居的办法是将自己的一匹马借与他们，然后够成了18匹马，结果是老大9匹，老二6匹，老三分
了2匹，还剩余1匹又还给了邻居。
其实这道题是没有答案的，上面的答案是错的，给我们造了一个假象。
其一，根据题目的要求–要分的是活马，17匹马按照所给的1/2,1/3,1/6,的比例是无法分割的,结果
不可能得到整的马匹数。
其二，我们假设可以得到小数点的马匹数，那老大的马数是8.5，老二5.666666，老三是
1.888888，那应该还余17/18匹马没有归属,如果按照邻居的算法兄弟三人的马匹数都大了。
原因是邻居一匹马的介入，使17/18匹马又一次被划分给了兄弟三人，这显然是不符合遗嘱的，
尽管邻居的分法是整马数（PS：因为按照老人的遗嘱理解，单位"1"是17匹马，而不是18匹）。
如此多的自相矛盾，所以这道题该是无解的，可是这个答案却如此堂而皇之地流行了数千年
五、巩固加油站
巩固1
下列运算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
巩固2
下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
巩固3
计算： ．
巩固4
计算： ．
巩固5
已知 为正整数，且 ，则 ．
巩固6
已知 ， ，则 ．
巩固7
若 ， ，则 的值 ．
巩固8
若 ，则 ．
巩固9
已知 ， ， ，那么 、 、 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
巩固10
已知 ， ， ， ，则关于 ， ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.第15讲 幂的运算
一、幂的运算
知识导航
1. 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ( , 都是正整数）．
易错警示
①同底数幂的乘法法则可以逆用，即
( , 为正整数）.
②当幂指数是 时，不要误认为没有指数，如 ，而不是 ．
③三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用．如： ( , , 都是正
整数）.
④ 要 注 意 同 底 数 幂 的 乘 法 与 整 式 加 法 不 可 混 淆 ， 如 是 同 底 数 幂 的 乘 法 ，
. 而 是 整 式 的 加 法 ， 计 算 时 ， 只 能 合 并 同 类 项 ，
，其中 和 不是同类项，不能合并．
2. 幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （ 都是正整数）．
温馨提示
①幂的乘方中底数可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式．
②幂的乘方可以逆用，即 ， ( , 为正整数）.
③幂的乘方可以推广 ( , , 为正整数）.
3. 积的乘方
法则 字母表示 举例
积的乘方 积的乘方，等于把积 （ 为 正 整
的每一个因式分别 数）
乘方，再把所得的幂
相乘
温馨提示 ①积的乘方可逆用，即 ( 为正整数）.
②积的乘方可推广到多个因式．如 ( 为正整数）.
③运用积的乘方法则时，应先看积中有哪些因式，再把每一个因式分别乘方，
尤其是字母的系数，不要漏掉乘方
4. 同底数幂的除法
法则 字母表示 举例
同底数幂的除法 同底数幂相除，底数 （
不变，指数相减 ， , 都是正整
数，并且 ）
温馨提示 ①同底数幂的除法可逆用，即 ( , , 都是正整
数，并且 ).
②底数 可以是单独的一个数或一个字母，也可以是一个单项式或
多项式，但 .
③同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算，可类比同底数幂
的乘法学习同底数幂的除法，同时还可用同底数幕的乘法运算检验
同底数幂的除法运算是否正确．
5. 零指数幂
零指数幂的规定
1.计算： .
一方面：根据除法的意义，可知 ;
另一方面：依照同底数幂的除法，可得 .
2.规定： (a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于 .
温馨提示
① (a≠0)，这是对零指数幂意义的规定，不能把 理解成 个 相乘．
②正整数指数幂的运算法则对于零指数幂也同样适用，如 ，
, ( ）等．
③ 次幂的底数不能为 ，因为同底数幂的除法法则 的前提条件是 , , 为正整
数，且 。
6. 负整数指数幂
1.定义：任何不等于零的数的 ( 为正整数）次幂，等于这个数的 次幂的倒数，即 （
, 为正整数）.
⒉解读
(1) 是由 在 , 时转化而来的．也就是说当同底数幂相除时，若
被除式的指数小于除式的指数，则转化成负指数幂的形式．
(2) 的结果为 的倒数，也就是说一个不为零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒
数，也可以等于这个数的倒数的正整数次幂，即 ( , 为正整数）.
注意事项
① 中底数 不等于零，否则无意义
②当指数由正整数拓展到 与负整数时，正整数指数幂的法则及性质仍然成立．
③在有关幂的运算中，最终结果要求化成正整数指数幂的形式
经典例题
例题1
1 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
答案 （1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
解析 （1） 略．
（2） 略．
（3） 略．
（4） 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：同底数幂的乘法运用
2 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
答案 （1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
解析 （1） 略．
（2） 略．
（3） 略．
（4） 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：幂的乘方运用
3 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
答案 （1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
解析 （1） 略．
（2） 略．
（3） 略．
（4） 略．
标注 【题型】 式 > 整式加减 > 整式有关的概念 > 题型：合并同类项
4 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
答案 （1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
解析 （1） 略．
（2） 略．
（3） 略．
（4） 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：同底数幂的除法运用
例题2
计算：
（1） ．
（2） ．
答案 （1） ．
（2） ．
解析 （1） 略．
（2） 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：幂的综合运算
例题3
计算：
（1） ① ；
② ．
（2） ① ；
② ；
③ ；
④ ．
答案 （1） ① ；② ．
（2） ① ；② ；③ ；④ ．
解析 （1） 略．
（2） 略．
标注 【题型】 数 > 实数 > 实数运算 > 题型：含负指数幂的实数的运算
二、幂的应用
知识导航
1. 利用幂的运算法则比较大小的方法
所给幂的指数、底数均不相同，可利用幂的乘方化为同指数的幂，根据底数的大小关系确定原
来幂的大小关系，或利用幂的乘方化为同底数的幂，然后根据指数的大小比较幂的大小
经典例题
例题4
指数含字母的幂的运算：
（1） 如果 ，则 ．
（2） 已知 ，则 的值为 ．
（3） 如果 无意义， ，则 ．
答案 （1）
（2）
（3）
解析 （1） 略．
（2） 略．
（3） 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：零指数幂
例题5
幂的运算逆用：
（1） 已知 ， ，求：
1 ．
2 ．
3 ．
（2） 已知 ，求 ．
（3） 已知 ， ，求 的值．
答案 （1） 1 ．
2 ．
3 ．
（2） ．
（3） ．
解析 （1） 1 略．
2 略．
3 略．
（2） 略．
（3） 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：同底数幂的除法的逆用
例题6
1 比较 ， ， ， 的大小关系，并用“ ”号连接 ．
答案
解析 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：利用幂比较大小
2 已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ，∴ ．
，∴ ．
，∴ ．
∵ ，∴ ．
标注 【知识点】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算
三、学霸笔记
四、数学万花筒
数学史上最无解的局
分马的故事：从前，有一个老汉，临死前对三个儿子："我不行了。咱们家只有十七匹马，我死
后，老大分二分之一，老二分三分之一，老三分九分之一，但都必须分得活马。"老汉死了。兄弟
三人安葬了父亲，便来到马圈，按老人的遗嘱分马，怎么分也分不开，兄弟三个一筹莫展，谁也
没有办法。
正在这时，一个邻居骑马路过这里，看到他们愁眉苦脸的样子，便上前问道："兄弟仨这般发愁，
为了何事？"三兄弟把父亲的临终嘱咐和分马的难处告诉了他。这个邻居略一沉思，就想出了一个
分马的好办法。
邻居的办法是将自己的一匹马借与他们，然后够成了18匹马，结果是老大9匹，老二6匹，老三分
了2匹，还剩余1匹又还给了邻居。
其实这道题是没有答案的，上面的答案是错的，给我们造了一个假象。
其一，根据题目的要求–要分的是活马，17匹马按照所给的1/2,1/3,1/6,的比例是无法分割的,结果
不可能得到整的马匹数。
其二，我们假设可以得到小数点的马匹数，那老大的马数是8.5，老二5.666666，老三是
1.888888，那应该还余17/18匹马没有归属,如果按照邻居的算法兄弟三人的马匹数都大了。
原因是邻居一匹马的介入，使17/18匹马又一次被划分给了兄弟三人，这显然是不符合遗嘱的，
尽管邻居的分法是整马数（PS：因为按照老人的遗嘱理解，单位"1"是17匹马，而不是18匹）。
如此多的自相矛盾，所以这道题该是无解的，可是这个答案却如此堂而皇之地流行了数千年
五、巩固加油站
巩固1
下列运算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 A选项： ；
B选项： ；
C选项： ；
D选项： ．
故选D.
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：同底数幂的除法运用
巩固2
下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 A． ， 错误．
B． ， 错误．
C． ， 正确．
D． ， 错误．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：积的乘方运用
巩固3
计算： ．
答案
解析 原式
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：幂的综合运算
巩固4
计算： ．
答案
解析 原式
标注 【题型】 数 > 实数 > 实数运算 > 题型：含零次幂的实数的运算
巩固5
已知 为正整数，且 ，则 ．
答案
解析
标注
【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：幂的综合运算
巩固6
已知 ， ，则 ．
答案
解析 由题可得：
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：幂的综合运算
巩固7
若 ， ，则 的值 ．
答案
解析 由题可得： ，
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：幂的综合运算
巩固8
若 ，则 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：同底数幂的除法的逆用
巩固9
已知 ， ， ，那么 、 、 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选： ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：利用幂比较大小
巩固10
已知 ， ， ， ，则关于 ， ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案 C
解析
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 幂的运算 > 题型：利用幂比较大小

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